Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 28 de noviembre Problema 1 Verifica que $Latex \displaystyle f(x,y,z,t) = \sin\big(k_1(u_1 x+u_2 y+u_3 z-ct)+k_2\big)$ satisface la ecuación de derivadas parciales $Latex \displaystyle \square^2f=0$. Problema 2 Muestra que si $Latex g$ es una función dos veces diferenciable, $Latex \vec u = (u_1,u_2,u_3)$ es un vector unitario, y si $Latex f(x,y,z,t) = g(u_1 x+u_2 y+u_3 z-ct)$, entonces $Latex \displaystyle \square^2f=0$. Problema 3 Sea $Latex \phi$ un campo escalar que depende solo de $Latex x, z$, y $Latex t$ y satisface la ecuación de d'Alembert: $Latex \displaystyle \square^2 \phi =0$. Muestra que $Latex \vec B=(0,-c^2\partial\phi/\partial t,0)$ y $Latex \vec E = (\partial\phi/\partial z,0,-\partial\phi/\partial z)$ satisfacen las ecuaciones de Maxwell en la ausencia de cualquier carga o corriente. Problema 4 Sea $Latex \displaystyle \Phi = \sin\Big(\frac{\sqrt{2}}{2}(x+z)-ct\Big)dzdxdt$. Verifica que $Latex \Phi$ es cerrada y satisface $Latex \displaystyle \e...

Fecha de entrega: 21 de noviembre Problema 1 Una carga puntual se localiza en el punto $latex (0,0,2)$. Encuentra el flujo del campo eléctrico $latex \mathbf E$ producido por esta carga a través del disco $latex \{(x,y,z): x^2+y^2\le 1, z=0\}.$ Problema 2 Averigua la falacia del siguiente argumento, que supuestamente demuestra que  no existen los campos magnéticos : Sea $latex \vec B$ un campo magnético. Empezamos del hecho que $latex \vec B$ es incompresible, por lo que $latex \nabla\cdot\vec B = 0$. Como un campo incompresible es el rotacional de un campo vectorial, $latex \vec B = \nabla\times\vec A.$ Entonces $latex \displaystyle \int \nabla\times\vec A\cdot\hat n d\sigma = \int \vec B\cdot \hat n d\sigma=\int \nabla\cdot\vec B dV = 0,$ donde hemos usado el teorema de Gauss. Por el teorema de Stokes, $latex \displaystyle \int \nabla\times\vec A \cdot\hat n d\sigma=\oint \vec A\cdot d\vec r,$ y entonces $latex \displaystyle \oint \vec A \cdot d\vec r = 0.$ Como un campo irrotacional...

Fecha de entrega: 14 de noviembre Problema 1 Usa el teorema de Stokes para evaluar las siguientes integrales. En cada caso, determina la dirección en la cual es necesario orientar $latex C$ para obtener un valor positivo. a) $Latex \displaystyle \oint_C ydx+(2x-z)dy+(z-x)dz,$ $Latex \qquad$ donde $Latex C$  es la intersección de $Latex x^2+y^2+z^2=$ y $Latex z=1$. b) $Latex \displaystyle \oint_C (y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy+(x^2-y^2)dz,$ $Latex \qquad$ donde $Latex C$ es formada por la intersección de $Latex x+2y+3z=4$ con los planos $Latex x=3, y=2$ y, $latex z=1$, respectivamente. Hint: $Latex C$ es la frontera de un triángulo. Encuentra el pullback de este triángulo al triángulo fundamental en el espacio $Latex uv$. Problema 2 Verifica que las imagenes del campo vectorial $Latex \vec F(0,e^{-x^2},0)$ son paralelas, pero su rotacional no es $Latex \vec 0$. Explica por qué una hoja empujada por el flujo descrito por el campo vectorial, rota sobre sí misma. Problema 3 Encuentra un campo pot...

Fecha de entrega: 7 de noviembre Problema 1 Determina cuáles de las siguientes formas son cerradas: $Latex (2xy+y^2)dx+(2xy+x^2)dy$, $Latex y^2dx+(2xy+z^2)dy+2yzdz$, $Latex (xdx+ydy+zdz)/(x^2+y^2+z^2)$. Problema 2 Determina cuáles de las 1-formas del problema anterior son exactas. Para aquellas que lo son, encuentra un campo escalar del cual la forma es el diferencial. Si la forma no es exacta, encuentra dos trayectorias con los mismos extremos donde las integrales de línea sean diferentes. Problema 3 Usa el teorema de Green para evaluar $Latex \displaystyle \oint_C x^3ydx+xydy,$ donde $Latex C$ es el cuadrado con vertices en $Latex (0,0), (2,0), (2,2), (0,2)$. Problema 4 Usa el teorema de Green para evaluar $Latex \displaystyle \oint_C ydx+x^2dy,$ donde $Latex C$ es la parabola $Latex y=x^2$ de $Latex (-1,1)$ a $Latex (1,1)$ junto con la recta de $Latex (1,1)$ a $Latex (-1,1)$. Problema 5 Si un fluido tiene vector de velocidad $Latex (3x^2-y^2,x^2+3y^2)$ en el punto $Latex (x,y)...

Fecha de entrega: 31 de octubre Problema 1 Encuentra los extremos de $latex f$ bajo las condiciones dadas. $latex f(x,y) = x^2+y^2, \quad x^3-xy^2=1$ $latex f(x,y) = 2x+3y, \quad x^2-2xy+2y^2=1$ $latex f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2, \quad (x-y)^2=1, \quad xyz = 1$ Problema 2 Encuentra el punto en la cónica $latex x^2-xy+y^2=1$ más cercano al origen. Problema 3 Encuentra el punto en la intersección de $latex (x+1)^2+(y-3)^2+(z-12)^2=4$ y $latex x-2y+z=5$ más cercano al origen. Encuentra también el punto más lejano. Problema 4 Encuentra las dimensiones desconocidas del paralelepípedo rectángulo de volumen máximo con aristas paralelas a los ejes inscrito en la elipsoide $latex x^2 + \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{z^2}{9} = 1$.

Fecha de entrega: 24 de octubre Problema 1 Usa diferenciación implícita para expresar $Latex dy / dx$ como función de $Latex x$ y $Latex y$. $Latex x^2 y + x^3 y^4 =1$, $Latex x e^y + y e^x = 2e$. Problema 2 Encuentra $Latex \partial y /\partial x$ en el punto especificado, si existe. $Latex x^3 + y^3 + z^3 = 10$ en $Latex (1,2,1)$, $Latex (x^2 + y^2)/(y^2 + z^2) = 1$ en $Latex (-1,3,1)$, $Latex \log(xyz) = 3$ en $Latex (e,e^2,1)$, $Latex \sin x \cos y - \cos y\sin z = 0$ en $Latex (\pi,0,\pi/2)$. Problema 3 Sean $Latex x, y, u, v$ tales que $Latex \begin{array}{rcl} xy &=& 2e^{uv},\\x+y &=& e^{u+v}.\end{array}$ Encuentra $Latex \partial x/\partial u$ considerando $latex v$ constante en el punto $Latex (x,y,u,v) = (1,2,0,\log 3)$. Después, calcula $Latex \partial x/\partial u$ en el mismo punto tomando $latex y$ constante. Problema 4 Sean $Latex x, y, r, \theta$ relacionados por $Latex \begin{array}{rcl} x&=&r\cos\theta,\\y&=&r\sin\theta.\end...

Fecha de entrega: 17 de octubre Problema 1 Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_S x dydz - z dzdx + z^2 dxdy$ para cada una de las siguientes superficies $latex S$, con orientación alejándose del origen. El hemisferio superior $latex S = \{(x,y,z): x = \cos\theta\cos\varphi, y = \sen\theta\cos\varphi, z = \sen\varphi,$ $latex 0 \le \theta \le 2\pi, 0\le \varphi \le \pi/2\}$. El cono hacia abajo con vértice en $latex (0,0,3)$ $latex S = \{(x,y,z): x = r\cos\theta, y = r\sen\theta, z = 3 - 3r,$ $latex 0\le r\le 1, 0\le \theta\le 2\pi\}$ El paraboloide hacia arriba cno vértice en $latex (0,0,-2)$ $latex S = \{(x,y,z): x = r\cos\theta, y = r\sen\theta, z = -2 + 2r^2,$ $latex 0\le r \le 1, 0\le \theta \le 2\pi\}$ Problema 2 Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_S y^2 dydz + 2z dzdx - dxdy$ para cada una de las superficies $latex S$ del problema anterior. Problema 3 Muestra que, si la superficie $latex S$ está descrita por $latex S = \{(x,y,z): z = f(x,y), (x,y)\in R\}$,...

Fecha de entrega: 10 de octubre Problema 1 Para los siguientes pares de una función vectorial, $Latex \vec r(t)$, y un campo escalar, $Latex f(\vec x)$, sea $Latex F(t) = f(\vec r(t))$. Encuentra $Latex F'(t)$. $Latex f(x,y) = x^y$, $Latex \;\vec r(t) = (t^2,\log t)$, $Latex f(x,y) = xy\tan z$, $Latex \;\vec r(t) = (\cos t,\sin t,t)$. Problema 2 Encuentra $Latex \dfrac{\partial f}{\partial u}$ y $Latex \dfrac{\partial f}{\partial v}$ para cada una de las siguientes funciones. $Latex f(x,y) = x^2+xy$, $Latex \;x = v e^u$, $Latex \;y = u e^v$, $Latex f(x,y) = x\log (x^2+y^2)$, $Latex \;x = u^2-v^2$, $Latex \;y = u^2+v^2$. Problema 3 Para cada uno de los siguientes campos escalares, encuentra la dirección en la cual su derivada es máxima. $Latex f(x,y) = \log(x^2+2y^2)$ en $Latex (-1,1)$, $Latex f(x,y,z) = \sin xy-\cos xz$ en $Latex (\pi,1/2,1)$. Problema 4 Encuentra la ecuación del plano tangente a cada una de las superficies siguientes en el punto indicado. $Latex x^2+...

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Indica cuántas raíces reales tiene cada uno de los siguientes polinomios. $latex x^3 - 3x - 2$ $latex x^3 - 3x + 4$ $latex x^3 + 2x -6$ $latex x^3 + x^2 + x + 1$ Problema 2 Encuentra una raíz real de cada uno de los siguientes polinomios. $latex x^3 - 3x - 2$ $latex x^3 - 3x + 6$ $latex x^3 + x^2 + x + 1$ $latex 2x^3 - x + 2$

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Examinando el discriminante, determina la existencia y cantidad de raíces reales a los siguientes polinomios. $Latex 2x^2-8x+8$ $Latex x^2-3x+2$ $Latex x^2-4x+5$ $Latex 9x^2+6x+1$ $Latex x^2+6x+13$ $Latex x^2-9$ Problema 2 Encuentra el punto máximo o mínimo de cada uno de los polinomios anteriores. Problema 3 Utilizando los resultados obtenidos en los problemas anteriores haz un bosquejo de cada uno de polinomios del problema 1. Indica el valor donde se alcanza el máximo o mínimo e indica también las raíces de cada polinomio.

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Encuentra las soluciones racionales a los siguientes polinomios.  $Latex 5x^3-3x^2-7x-2$ $Latex 14x^4-37x^3+19x^2-37x+5$ $Latex 15x^4-3x^3-8x^2+6x-4$ Problema 2 Demuestra que $Latex 3x^n = 91$ no tiene raíces racionales para ningún $Latex n>1$. Problema 3 Demuestra utilizando el criterio de Eisenstein que los siguientes polinomios son irreducibles. $Latex x^3-3x-1$ $Latex x^3+x^2-2x-1$ $Latex x^4-42x^2+21x+56$

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Muestra que $latex \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} = 0$ mostrando que, dado $latex \e>0$, existe $latex \delta>0$ tal que si $latex |(x,y)-(1,0)| = \sqrt{(x-1)^2+y^2}<\delta$ entonces $latex \Big|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\Big| < \e$. Sigue los siguientes pasos. Muestra que $latex |(x,y)-(1,0)|<\delta$ implica que $latex -\delta<y<\delta$ y $latex 1-\delta<x<1+\delta$. De las desigualdades anteriores, concluye que, si $latex 0<\delta<1$, entonces $latex \Big|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\Big|<\dfrac{\delta(1+\delta)}{(1-\delta)^2}.$ Utiliza el punto anterior para encontrar $latex \delta$ en función de $latex \e$. Problema 2 Extiende la función $latex f(x,y) = \dfrac{\sen(x^2+y^2)}{x^2+y^2}, \; (x,y)\not=(0,0)$, al punto $latex (0,0)$ de tal manera que sea continua en ese punto. Problema 3 Averigua si las siguientes funciones son continuas en $latex (0,0)$. $latex f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2-y...

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Considera los polinomios $latex f = x^3-x+1, \quad g = x^4-x^3+2x^2+2x-3, \quad h = 2x^4-x^2+1.$ Calcula los siguientes polinomios. $latex f + g$ $latex x^2f - xg$ $latex fg$ $latex g + 2h$ $latex h - 2g$ $latex fh$ $latex f(2g-h)$ $latex gh$ $latex 4g + 3h$ $latex 2x^3g - fh$ Problema 2 Sean $latex f, g, h$ los polinomios del problema anterior. Calcula polinomios $latex q_1, r_1$ tales que $latex g = q_1f+r_1$ y el grado de $latex r_1$ es menor que el grado de $latex f$. Calcula polinomios $latex q_2, r_2$ tales que $latex h = q_2f+r_2$ y el grado de $latex r_2$ es menor que el grado de $latex f$. Problema 3 Calcula el máximo común divisor de las siguientes parejas de polinomios. $latex x^3 + 2x^2 - 4x - 3,\; 2x^4+5x^3-3x^2-3x-9$ $latex x^4-x^3+x^2-2x-2, \; x^5-2x^4+2x^3-7x^2-6$

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Averigua si las siguientes matrices son invertibles, y en tal caso calcula su inversa. $latex \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-6&9\\4&-6\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-2&4\\2&0\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}1&-1&0\\2&3&-1\\-1&6&5\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&2&0\\-1&-1&-1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&0&-1\\-1&-1&-3\end{pmatrix}$

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Considera las siguientes matrices: $latex \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&0&2\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2&2&1\\0&1&-2\end{pmatrix},\; C=\begin{pmatrix}0&1&1\\2&-1&3\\3&1&0\end{pmatrix},\; D=\begin{pmatrix}1&-1\\2&-3\\1&1\end{pmatrix}.$ Calcula $latex A+B$ $latex 2A-B$ $latex AC$ $latex AD$ $latex BC$ $latex BD$ $latex C^2$ $latex CD$ $latex DA$ $latex DB$

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex \begin{array}{rcl}2x-2y+z&=&2\\x-y-z&=&-1\\-3x+6y-z&=&6\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}3x+3y-z&=&1\\2x+y+z&=&0\\x-y+3z&=&1\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x-3y&=&1\\3x-y&=&2\\x-5y&=&0\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}x+y+z &=& 2\\x-y-2z&=&-3\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x+4y-z&=&-1\\x+y+z&=&0\\-x-y+z&=&3\end{array}$

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Averigua cuáles de las siguientes transformaciones del plano son lineales. En tal caso, calcula su matriz y su determinante. Cizalla: $latex (x,y) \mapsto (x+cy, y)$, para alguna constante $latex c$ Traslación: $latex (x,y)\mapsto (x+a,y+b)$, para $latex a,b$ constantes Explosión: $latex (x,y) \mapsto (ax,by)$, para $latex a,b$ constantes Rotación: si $latex x=r\cos\theta$ y $latex y=r\sen\theta$, entonces $latex (x,y)\mapsto (r\cos(\theta+\varphi),r\sen(\theta+\varphi))$, para alguna constante $latex \varphi$ Proyección: dado un vector fijo $latex \vec r=(a,b)$, $latex \vec x \mapsto \vec x_r = \dfrac{\vec x\cdot\vec r}{r^2}\vec r$ Reflexión: dado un vector fijo $latex \vec r=(a,b)$, $latex \vec x\mapsto \vec x - 2\vec x_{r\perp} = 2\vec x_r - \vec x$ Problema 2 Calcula el determinante de las siguientes matrices. $latex \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}1&1...

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Para las siguientes ecuaciones, haz un bosquejo de la recta y encuentra su pendiente. $latex 2x -3y + 1 = 0$ $latex 2x=2$ $latex 2x + 4y = 1$ Problema 2 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex 2x+y=1\quad 3x-y=1$ $latex -x-2y=2\quad 3x+6y=6$ $latex 2x-6y=0\quad 3x-2y=1$ $latex -5x+2y=-2\quad 8x-y=1$ $latex 2x+y=4\quad-4x-2y=-8$

Fecha de entrega: 19 de septiembre Problema 1 Resuelve las siguientes ecuaciones. $latex z^2 - z - 1 + i = 0$ $latex z^2 - iz - 1 - i = 0$ $latex z^2 + (1+i)z + 10 + 11i = 0$ Problema 2 Factoriza $latex x^4+1$ en polinomios con coeficientes reales.

Fecha de entrega: 19 de septiembre Problema 1 Calcula explícitamente, en coordenadas cartesianas, las raíces sextas de la unidad. Problema 2 Resuelve las siguientes ecuaciones. $latex z^2 = -2+2i$ $latex z^3 = -i$ $latex z^4 = -1$ $latex z^3 = -8+8i$ $latex z^2 = -4i$

Fecha de entrega: 19 de septiembre Problema 1 Escribe los siguientes números complejos en forma polar. $latex z = 2-2i$ $latex z = -3\sqrt 3 + 3i$ $latex z = -4-4i$ $latex z = 4 + 4\sqrt 3 i$ $latex z = -2-2i$ Problema 2 Escribe los siguientes números complejos en forma cartesiana. $latex z = 4e^{i\pi/2}$ $latex z = 2e^{2i\pi/3}$ $latex z = e^{7i\pi/4}$ $latex z = 6e^{-5i\pi/3}$ $latex z = 3e^{-9i\pi/4}$

Fecha de entrega: 19 de septiembre Problema 1 Calcula la integral $latex \displaystyle \int_T (y-1)dydz + (y+z)dzdx - xdxdy$, donde $latex T=[(1,0,-2), (-1,2,0),(1,1,2)]$. Problema 2 Encuentra el área, la masa y el centro de masa de la región elíptica $latex x^2+4y^2\le 4$ con densidad $latex \rho(x,y) = x^2+y^2$. Problema 3 Encuentra la masa del sólido descrito por $latex x\ge 0, \quad y\ge 0, \quad z\ge 0, \quad z^2\le 4x, \quad x^2+y^2\le 16,$ cuya densidad está dada por $latex \rho(x,y,z) = xyz^3$. Problema 4 Encuentra el centro de masa del sólido de densidad constante igual a 1 descrito por $latex x\ge 0, \quad y \ge 0, \quad x+y\le 2, \quad 0\le z\le 1+x+2y.$

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Dibuja en el plano complejo los números $latex z, w, z+w, z-w $ y $latex zw $ para los siguientes números complejos. $latex z=2+3i, w=1-i $ $latex z=1+i, w=1-i $ $latex z=2+2i, w=1-2i $ $latex z=-3-2i, w=-3+4i $ $latex z=5i, w=1-2i $ Problema 2 Calcula $latex |z|, |w|, |z+w|$ y $latex |zw|$ para los números del problema anterior. En cada caso, verifica que $latex |z+w| \le |z| + |w|$ y que $latex |zw| = |z| |w|$. Problema 3 Sean $latex z, w\in\C $. Demuestra que $latex |z+w|^2 + |z-w|^2 = 2|z|^2 + 2|w|^2$.

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Calcula las siguientes operaciones con números complejos. $latex (2-i) + (3-2i)$ $latex (2-i)(3-2i)$ $latex (5-4i)(5+4i)$ $latex (2-3i)(2-i)$ $latex (1+i)^2$ $latex \dfrac{(1+i)(2+i)}{1+2i}$ $latex \dfrac{3+i}{3-2i}$ $latex 2+i +\dfrac{2-i}{(3-i)(2+i)}$ $latex 4i(1-3i) - 2\dfrac{1+i}{1-i}$ $latex \dfrac{3-i}{2-i} + \dfrac{3+i}{2+i}$

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Indica si los siguientes conjuntos son acotados por arriba o por abajo y, en tal caso, indica su supremo y/o ínfimo. $latex \Big\{\dfrac{1}{n}: n\in\N\Big\}$ $latex \Big\{\dfrac{(-1)^n}{n}:n\in\N\Big\}$ $latex \{x\in\Z: x^2 < 5 \}$ $latex \{x\in\Q: x^2-x<2\}$ $latex \{x\in\R: |x^2-5| \ge 1\}$ Problema 2 Sea $latex f:[0,1]\to[0,1]$ una función continua. Utiliza el teorema del valor intermedio para mostrar que existe $latex x\in[0,1]$ tal que $latex f(x)=x$.

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Integra la forma $latex xy^2dx+ ydy$ sobre cada una de las siguientes trayectorias de $latex (0,0)$ a $latex (1,1)$. Los segmentos de $latex (0,0)$ a $latex (0,1)$ a $latex (1,1)$ La curva $latex y = x^2$ La curva $latex x = y^2$ Problema 2 Integra la forma $latex yzdx + zxdy + xydz$ sobre cada una de las siguientes trayectorias de $latex (0,1,0)$ a $latex (2,1,1)$. El segmento Los segmentos de $latex (0,1,0)$ a $latex (0,1,1)$ a $latex (2,1,1)$ El arco $latex (2t, (2t-1)^2,t),\quad 0\le t\le 1$ Problema 3 Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_\gamma (x^2-2xy+y^2)ds,$ donde $latex \gamma = \{(2\cos t, 2\sen t): 0\le t\le \pi\}$. Problema 4 Evalúa las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_R (x^2+y^2)dxdy, \quad R=\{(x,y)|1\le x\le 2, -1\le y\le 1\}$ $latex \displaystyle \int_R x\sen y dxdy, \quad R=\{(x,y)|0\le x\le 1, x^2\le y\le 2x^2\}$ $latex \displaystyle \int_R xydxdy, \quad R$ el triángulo con vértic...

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Muestra que $latex \sqrt 3$ es irracional. Problema 2 Muestra que, si $latex d\in\Z_+$ y $latex \sqrt d$ es racional, entonces cada factor primo de $latex d$ aparece un número par de veces en su factorización prima y, por lo tanto, $latex d$ es un cuadrado. Problema 3 Encuentra dos números irracionales tales que su suma es un número racional. Encuentra dos números irracionales tales que su multiplicación es un número racional.

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Muestra que, si $latex n$ no es primo, entonces $latex (\Z_n, +,\times)$ no es un campo. Problema 2 Muestra que, si $latex p$ es primo, entonces $latex \displaystyle p\Big|\binom{p}{k}$ para $latex 0<k<p$. ( Sugerencia: Utiliza la fórmula $latex \displaystyle \binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!}$.) Problema 3 Utiliza el problema anterior para mostrar que, en el campo $latex \mathbb F_p,$ $latex (a+b)^p = a^p + b^p$.

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Ordena los siguientes números racionales de menor a mayor: $latex \dfrac{2}{4}, \;\dfrac{-2}{-7}, \;\dfrac{5}{-2}, \;\dfrac{13}{-11}, \;\dfrac{1}{4}, \;\dfrac{44}{-60}, \;\dfrac{4}{5}, \;\dfrac{5}{4}, \;\dfrac{-23}{11}, \;\dfrac{5}{-5}$. Problema 2 Demuestra que, si $latex \dfrac{p}{q} = \dfrac{m}{n}$ y $latex q\not=-n$, entonces $latex \dfrac{p+m}{q+n} = \dfrac{p}{q}$. Problema 3 Indica si las siguientes relaciones son relaciones de equivalencia. En $latex \Z$, $latex m\sim n$ si $latex m+n$ es múltiplo de $latex 10$. Entre los países del planeta, $latex X\sim Y$ si su nombre tiene el mismo número de letras. Entre los países del planeta, $latex X\sim Y$ si en $latex X$ y en $latex Y$ se habla el mismo idioma.

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Calcula $latex \phi(n)$ para $latex n = 7, 9, 10, 12, 15, 16, 20, 30, 60, 105$. Problema 2 Calcula la clase de congruencia de $latex 2^{340} \pmod{341}$. ¿Qué te dice sobre la inversa del teorema de Fermat?

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Evalúa la forma diferencial $latex 4dx - 2dy + 3dz$ en cada uno de los segmentos definidos por las siguientes parejas de vectores. $latex (-1, 2, 5), (-3, 3, 2)$ $latex (2,0,1), (-1,0,2)$ $latex (0,5,3), (-3,3,2)$ Problema 2 Evalúa la forma $latex ydx + zdy + xdz$ en cada uno de los segmentos del problema anterior. Problema 3 Muestra que el campo gravitacional generado por un cuerpo de masa $latex M$ en el origen está dado por $latex -GM \Big( \dfrac{x}{r^3}dx + \dfrac{y}{r^3}dy + \dfrac{z}{r^3}dz\Big)$, donde $latex r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. (Nota que no está definido en el origen.) Además, muestra que el trabajo realizado por este campo al mover una partícula de $latex \vec a$ a $latex \vec b$ depende solo en $latex |\vec a|$ y $latex |\vec b|$. Problema 4 Calcula el flujo del fluido con velocidad $latex \vec v=(x+y,xy)$ en el plano a través de los segmentos definidos por los siguientes pares de vectores. $latex (2,2), (3,5)$ $latex...

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Indica cuáles de los siguientes conjuntos, con la operación dada, es un grupo. Los números enteros con la operación resta. Los números racionales con la operación multiplicación. Los números reales positivos con la operación multiplicación. Problema 2 Construye la tabla del grupo multiplicativo $latex \Z^*_8$. ¿Es este grupo abeliano? ¿Es cíclico? Problema 3 Utiliza el teorema de Lagrange para demostrar que, si $latex |G|$ es primo, entonces $latex G$ es cíclico.

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Calcula la clase de congruencias de las siguientes potencias de enteros $latex 2^{82} \pmod 5$ $latex 3^{1502}\pmod{13}$ $latex 26^{1004}\pmod 7$ $latex 6^{654654654}\pmod{11}$ Problema 2 Para cada entero $latex a=1,2,3,4$, resuelve la congruencia $latex ax\equiv1\pmod 5$, o indica si no tiene solución. Repite el ejercicio para $latex a=1, 2, 3, 4, 5$ y $latex ax\equiv 1\pmod 6$. Problema 3 Resuelve las siguientes ecuaciones, si tienen solución. $latex 8x\equiv 4\pmod 6$ $latex 15x\equiv 6 \pmod{21}$

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de enteros, usando el algoritmo de Euclides. 30 y 84 792 y 561 568 y 4292 227761 y 661643 Problema 2 Decide si las siguientes ecuaciones tienen solución con enteros $latex x$ y $latex y$ y, en tal caso, encuentra sus soluciones. $latex 25x + 40y = 345$ $latex 66x + 561y = 22$ $latex 3145x + 23001y = 4$ $latex 3145x + 23001y = -85$

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Muestra que si $latex 2^n-1$ es primo, entonces $latex n$ es primo. Problema 2 ¿La inversa del problema 1 es cierta? Si es cierto, demuéstralo. Si no, encuentra un contraejemplo. Problema 3 Verifica que los enteros de la forma $latex n^2-n+41$ son primos para $latex n=0,1,2,3,\ldots,40$. ¿Existe algún polinomio cuadrático $latex an^2+bn+c$, con $latex a,b,c\in\Z$, tal que su valor es un primo para todo $latex n\in\N$?

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Para cada una de las funciones $latex \vec r(t) = (t^2, -4t,-t^2)$   y   $latex \vec r(t) = (t\cos t, t\sen t, 1)$, calcula lo siguiente. $latex \vec v(t)$ y $latex \vec a(t)$. $latex r(t)$ y $latex v(t)$. El coseno del ángulo entre $latex \vec v(t)$ y $latex \vec a(t)$. ¿Para cuáles $latex t$ son estos vectores perpendiculares o paralelos? $latex \vec v\times\vec a$. La ecuación del plano osculatorio para cada $latex t$. La curvatura en cada $latex t$. Problema 2 Considera una partícula que se mueve sobre la elipse $latex r(2 + \cos\theta) = 2$, en el sentido opuesto a las manecillas del reloj alrededor del origen, y que barre una unidad de área por unidad de tiempo: $latex \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{1}{2}r^2\dfrac{d\theta}{dt} = 1$. Encuentra la velocidad y aceleración en términos de las coordenadas locales. Problema 3 Marte tiene un radio aproximado de 3300 km y una masa 0.15 veces la de la Tierra. Calcula la velocidad de escape en ...

Fecha de entrega: 29 de agosto Problema 1 Muestra las siguientes propiedades de divisibilidad. Si $latex n,a,b\in\Z$ y $latex n$ divide a $latex a$, entonces $latex n$ divide a $latex ab$. Si $latex a,b,c\in\Z$, $latex a$ divide a $latex b$ y $latex b$ divide a $latex c$, entonces $latex a$ divide a $latex c$. Problema 2 Indica cuáles de los siguientes enteros son números primos. 365, 401, 451, 517, 533, 543, 575, 693, 797, 823, 917, 993, 1011, 1035, 1131, 1383, 1513, 1697, 1741, 1945. Problema 3 Encuentra números $latex q$ y $latex r$ tales que, para cada par de enteros $latex a,b$, $latex b>0$, dados, $latex a=bq+r$ y $latex 0\le r < b$. $latex a=100, b=17$ $latex a=0, b=8$ $latex a= -25, b=11$ $latex a=-2,b=2$

En clase, para demostrar el principio del buen orden, utilizamos el principio de inducción fuerte, que dice lo siguiente. Principio de inducción fuerte. Sea $latex K\subset\N$ tal que $latex 0\in K$ Si $latex 0,1,\ldots, n\in K $, entonces $latex n+1\in K $. Entonces $latex K=\N $. Para demostrar el principio de inducción fuerte, necesitaremos el siguiente lema. Lema. Para $latex n\in\N $, cualquier subconjunto no vacío de $latex \{0,1,\ldots, n\} $ tiene un mínimo. Demostración: Demostraremos este lema por inducción en $latex n $. Si $latex n=0$, el resultado es claro porque, si $latex S\subset\{0\} $ es no vacío, entonces $latex S=\{0\} $, y $latex 0$ es su mínimo. Suponemos ahora que el resultado es cierto para $latex n $, y sea $latex S\subset\{0,1,\ldots, n+1\} $ no vacío. Si $latex S\cap\{0,1,\ldots, n\} =\emptyset $, entonces $latex S=\{n+1\} $, y $latex n+1$ es el mínimo de $latex S $. Si $latex S\cap\{0,1,\ldots, n\} \not=\emptyset $, entonces es un subconjunto no vacío ...

Fecha de entrega: 22 de agosto Problema 1 Muestra que, dados tres números naturales, la suma de dos de ellos es un número par. Problema 2 Demuestra, o da un contraejemplo, para el siguiente enunciado:  Cualquier conjunto $latex A$ de nueve números naturales contiene un subconjunto $latex B$ tal que la suma de los elementos de $latex B$ es un múltiplo de 10.

Fecha de entrega: 22 de agosto Problema 1 Muestra que, para todo $latex n\in\N$, $latex 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$ Problema 2 Muestra que, para todo $latex n\in\N$, $latex 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2.$ Problema 3 (Desigualdad de Bernoulli) Muestra que, para todo número natural $latex n>1$ y todo real $latex \alpha>-1, \alpha\not=0$, $latex (1 + \alpha)^n > 1 + n\alpha$.

Fecha de entrega: 22 de agosto Problema 1 Sean $latex m$ y $latex n$ dos enteros. Muestra que los siguientes enunciados son equivalentes. $latex m^2-n^2$ es par, $latex m-n$ es par, $latex m^2+n^2$ es par. Problema 2 Muestra que $latex \forall m \in \mathbb{N}$, $latex \exists k \in \mathbb{N}$ tal que $latex (m-n)^2 > m^2$, $latex \forall n > k$. Problema 3 Un entero $latex z$ es un  elemento identidad aditivo en $latex \mathbb{Z}$ si $latex z+n = n$, para todo $latex n\in \mathbb{Z}$. Muestra que existe un único elemento identidad aditivo en $latex \mathbb{Z}$.

Fecha de entrega: 22 de agosto Problema 1 Para cada uno de los siguientes pares de vectores, calcula su suma, producto interno y producto cruz. $latex (2, -3, 1), (6, 2, -3)$ $latex (5, -6, 1), (3, 2, -3)$ $latex (3, 0, -2), (-6, 0, 4)$ $latex (-2, 5, 1), (3, 0, 6)$ Indica en cuáles de los pares anteriores los vectores son paralelos o perpendiculares. Problema 2 Considera el plano $latex \mathcal P$ definido por la ecuación $latex x - 4y + 7z = 3$ Encuentra un vector perpendicular al plano. Encuentra dos vectores que generen a $latex \mathcal P$. Encuentra una representación paramétrica. Encuentra la distancia del punto $latex (1,1,1)$ al plano. Encuentra la ecuación del plano paralelo a $latex \mathcal P$, pero que pasa por el punto $latex (2,0,3)$. Problema 3 Muestra que $latex |\vec a + \vec b|^2 + |\vec a - \vec b|^2 = 2|\vec a|^2 + 2|\vec b|^2$. ¿A qué propiedad geométrica se refiere esta identidad?

Fecha de entrega: 22 de agosto Problema 1 Sea $latex p(x) = ax^2+bx+c$. Muestra que $latex p(1)=p(-1)$ si, y solo si, $latex p(2)=p(-2)$. Problema 2 Muestra que $latex n^3+n$ es par para todo entero $latex n$. Problema 3 Muestra que, si $latex a,b,c$ son enteros, entonces el producto $latex (a-b)(a-c)(b-c)$ es par.

Fecha de entrega: 15 de agosto Problema 1 Para cada una de las siguientes colecciones de conjuntos, determina si sus elementos son mutuamente disjuntos o encajados. También calcula la unión y la intersección de la colección. $latex \mathcal A = \{(n,n+1)|n\in\Z_+\}$ $latex \mathcal B = \{(-1/n,1/n)|n\in\Z_+\}$ $latex \mathcal C = \{(n,\infty)|n\in\N\}$ Problema 2 Muestra que $latex A\times(B\cap C) = (A\times B)\cap(A\times C)$.

Fecha de entrega: 15 de agosto Problema 1 ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto vacío? ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto $latex \{ 1\}?$ Problema 2 Sea $latex S_1 = \{u,n,o\}$, $latex S_2 = \{d,o,s\}$, $latex S_3 = \{t,r,e,s\}$, y así sucesivamente. ¿Para qué valores de $latex k$ entre $latex 1$ y $latex 10$ se tiene que $latex |S_k|=4$? Encuentra el menor valor entero positivo $latex k$ tal que $latex a \in S_k$. Sea $latex \mathscr{G} = \{S_k\}_{k=1}^{10}$. Determina si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos. $latex \{t,a,c,o\} \subset S_4$. $latex S_3 \subset \mathscr{G}$. $latex \varnothing \subset \mathscr{G}$. $latex \varnothing \in \mathscr{G}$. Problema 3 Sea $latex U$ el conjunto de las 52 cartas que constituyen la baraja estándar. Sea $latex E$ el conjunto de las cartas marcadas con espadas, $latex D$ el conjunto de diamantes, $latex A$ el conjunto de aces, y $latex R$ el conjunto de reyes. Dí que elementos pertenecen a los conjuntos mostr...

Fecha de entrega: 15 de agosto Problema 1 Escribe cada enunciado utilizando los símbolos $latex \forall$ y $latex \exists$. Para todo número real positivo $latex \e$ existe un número real positivo $latex \delta$ tal que $latex x^2 < \e$ cuando $latex |x|<\delta$. Existe un entero $latex m$ con la propiedad de que para todo entero $latex x$ existe un entero $latex y$ tal que $latex xy=m$. Problema 2 Determina si cada enunciado es verdadero o falso, y da la negación de cada uno. $latex \exists a\in\R$ tal que $latex \forall x\in\N, a < x$ $latex \forall a\in\R, \sqrt{a^2} = a$ Problema 3 Considera las proposiciones $latex I=$ las tasas de interés bajan. $latex H = $ más gente compra casa. $latex S = $ la bolsa sube. $latex U = $ el desempleo aumenta. Escribe cada implicación, su inversa y su contrapositiva en palabras: $latex I\implies S$ $latex \sim U \implies H$ $latex S\implies (I\wedge H)$ Escribe cada uno de los siguientes enunciados en símbolos. ...

Fecha de entrega: 15 de agosto Problema 1 Para $latex a\ge b > 0$,  $latex \theta\in[0,2\pi]$ fijos, definimos $latex G = G(\phi) = (a\cos(\theta + \phi), b\sen(\theta + \phi))$ $latex G' = G'(\phi) = (a\cos(\theta - \phi), b\sen(\theta - \phi))$. Nota que, en la notación vista en clase, $latex Q=G(\phi/2), Q'=G'(\pi/2)$. Muestra que la pendiente de $latex GG'$ es $latex (-b/a)\cot\theta$ para todo $latex \phi$. Así, $latex GG'$ es paralela a $latex QQ'$. Si $latex H$ en la elipse es tal que $latex GH$ es paralela a $latex QQ'$, entonces $latex H = G'$. Prueba la propiedad (ii) vista en clase usando el punto anterior, y mostrando que el punto medio de $latex GG'$ es igual a $latex M=\cos\phi(a\cos\theta,b\sen\theta)$. Prueba la propiedad  (iii) mostrando que $latex |PM||P'M| = \sen^2\phi |OP|^2$, y que $latex |GM|^2 = \sen^2\phi |OQ|^2$. Muestra que el área del triángulo $latex QOP$ es $latex ab/2$. Concluye la propiedad  (iv) ...

Fecha de entrega: 15 de agosto Problema 1 Considera las proposiciones: P = "Natalia estudia"; Q = "Natalia saca buenas calificaciones"; R = "Natalia obtiene ayuda cuando la necesita". Escribe cada una de las siguientes proposiciones en símbolos. "Natalia estudia pero no saca buenas calificaciones". "Natalia obtiene ayuda cuando la necesita o no estudia". "Natalia estudia o no estudia, y obtiene buenas calificaciones". "Natalia estudia y obtiene ayuda cuando la necesita, o no obtiene buenas calificaciones". Problema 2 Utiliza una tabla de verdad para demostrar la propiedad distributiva $latex (P\wedge Q)\vee R = (P\vee R)\wedge(Q\vee R).$ Problema 3 Utiliza una tabla de verdad para verificar la ecuación $latex \sim(P\wedge Q)\wedge \sim Q = \sim Q.$ Justifica con palabras la validez de la ecuación anterior. Problema 4 Utiliza una tabla de verdad para verificar que la proposición $latex (P\wedge\sim Q) \vee (\s...

Fecha de entrega: 30 de mayo Problema 1 Encuentra todas las posibles expansiones de Laurent las siguientes funciones, centradas en el punto dado. Describe los anillos de convergencia de cada una. $latex \displaystyle \frac{1}{z^2+z}$, alrededor de $latex z=1$ $latex \displaystyle e^{1/z^3}$, alrededor de $latex \infty$ $latex \displaystyle \frac{1}{(z-1)(z^3+z)}$, alrededor de $latex z=0$ Problema 2 Encuentra la descomposición en fracciones parciales de cada una de las siguientes funciones. $latex \dfrac{1}{(z+1)(z^2+2z+2)}$ $latex \dfrac{z^9+1}{z^6-1}$ $latex \dfrac{1}{(z^2+1)^2}$ Problema 3 Evalúa las siguientes integrales. $latex \displaystyle \oint_{|z|=2} \frac{e^z}{z^2-1}dz$ $latex \displaystyle \oint_{|z-1|=1} \frac{1}{z^8-1}dz$ Problema 4 Utiliza la teoría del residuo de verificar las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{x}{(x^2+2x+2)(x^2+4)} dx = -\frac{\pi}{10}$ $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{x^3-1} dx =...

Fecha de entrega: 23 de mayo Problema 1 Muestra las siguientes identidades, utilizando el contorno apropiado. $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{x^{-a}}{1+x} dx = \frac{\pi}{\sen \pi a}, \qquad 0 < a < 1$ $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{x^a(x+1)} dx = \frac{\pi^2\cos\pi a}{\sen^2\pi a}, \qquad 0 < a < 1$ $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{x^a(x-1)} dx = \frac{2\pi^2}{1-\cos(2\pi a)}, \qquad 0 < a < 1$ $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin ax}{x(\pi^2-a^2x^2)} dx = \frac{2}{\pi}, \qquad a > 0$ $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\sen^2 x}{x^2} dx = \pi$ Problema 2 Muestra la identidad de valor principal $latex \displaystyle \PV\int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{x^b-1} dx = -\frac{\pi}{b} \cot\Big(\frac{\pi a}{b}\Big), \qquad 0 < a < b, b > 1$. ( Sugerencia: Considera el sector de apertura $latex 2\pi/b$.) Problema 3 Muestra que $latex \displaystyle \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^R \frac{x^3\...

Fecha de entrega: 16 de mayo Problema 1 Calcula los siguientes residuos. $latex \Res_{2i} \dfrac{1}{z^2+4}$ $latex \Res_1 \dfrac{1}{z^5-1}$ $latex \Res_0 \dfrac{\sin z}{z^2}$ $latex \Res_1 \dfrac{z}{\Log z}$ $latex \Res_0 \dfrac{e^z}{z^5}$ Problema 2 Evalúa las siguientes integrales usando el teorema del residuo. $latex \displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{\sin z}{z^2} dz$ $latex \displaystyle \oint_{|z-1/2|=3/2}\frac{\tan z}{z}dz$ Problema 3 Utiliza la teoría del residuo de verificar las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+a^2)^2} = \frac{\pi}{2a^3},\qquad a>0$ $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{x^4+1} dx = \frac{\pi}{\sqrt 2}$ $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{(x^2+1)^2} dx = \frac{\pi}{e}$ $latex \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{\cos\theta}{2+\cos\theta} d\theta = 2\pi\Big(1 - \frac{2}{\sqrt 3}\Big)$ $latex \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a+b\sin\theta} = \frac{2...

Fecha de entrega: 9 de mayo Problema 1 Muestra que, si $latex f(z)$ y $latex g(z)$ tienen período $latex \omega$, entonces también $latex f(z) + g(z)$ y $latex f(z)g(z)$. Problema 2 Expande la función $latex 1/\cos(2\pi z)$ en una serie de potencias de $latex e^{2\pi i z}$ que converge en el semiplano superior. Determina dónde la serie converge absolutamente y dónde uniformemente. Problema 3 Expande $latex \tan z$ en una serie de potencias de $latex e^{ikz}$ que converge en el semiplano superior. También encuentra una serie de exponenciales que converge en el semiplano inferior. Problema 4 Considera la función continua $latex f(e^{i\theta}) = |\theta|, -\pi\le\theta\le\pi$. Encuentra la serie de Fourier de $latex f(e^{i\theta})$ y muestra que se puede escribir en una serie de cosenos. Discute su convergencia. En particular, ¿converge uniformemente? Problema 5 Sea $latex f(e^{i\theta}) = \theta, -\pi < \theta\le\pi$. Encuentra su serie de Fourier, y escríbela como una serie de senos....

Fecha de entrega: 2 de mayo Problema 1 Encuentra las singularidades aisladas de las siguientes funciones, y determina si son removibles, polos, o esenciales. En caso de ser un polo, determina el orden y calcula su parte principal. $latex \displaystyle \frac{z}{(z^2-1)^2}$ $latex \displaystyle \frac{e^{2z}-1}{z}$ $latex z^2\sin\dfrac{1}{z}$ $latex \Log\Big(1 - \dfrac{1}{z}\Big)$ $latex e^{1/(z^2+1)}$ Problema 2 En el problema anterior, determina cuáles funciones tienen una singularidad aislada en infinito, y clasifícala. Problema 3 Para cada una de las siguientes funciones, encuentra el radio de convergencia de su serie de potencias alrededor del punto indicado. $latex \dfrac{z-1}{z^4-1}$, alrededor de $latex 3+i$ $latex \dfrac{\cos z}{z^2-\pi^2/4}$, alrededor de $latex 0$ $latex \dfrac{z}{\sin z}$, alrededor de $latex \pi i$ $latex \dfrac{z^2}{\sin^3 z}$, alrededor de $latex \pi i$ $latex \dfrac{z^2-z}{\tan\pi z}$, alrededor de $latex 1/2+i$ Problema 4 Encuentra la ...

Fecha de entrega: 4 de abril. Problema 1 Encuentra los ceros y sus órdenes en las siguientes funciones: $latex \dfrac{z^2+1}{z^2-1}$ $latex \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^5}$ $latex \dfrac{\cos{z}-1}{z}$ $latex \cos{z}-1$ Problema 2 De las funciones del ejercicio anterior determina cuáles son analíticas en $latex \infty$, y determina el orden de todos los ceros en $latex \infty$. Problema 3 Muestra que los ceros de $latex \tan{z}$ son todos simples. Problema 4 Encuentra todas las posibles expansiones de Laurent centradas en $latex 0$ de las siguientes funciones: $latex \dfrac{1}{z^2-z}$ $latex \dfrac{z-1}{z+1}$ $latex \dfrac{1}{(z^2-1)(z^2-4)}$ Problema 5 Para cada una de las funciones en el ejercicio anterior, encuentra la expansión de Laurent centrada en $latex z=-1$ que converge en $latex z=\frac{1}{2}$. Determina el mayor conjunto abierto en el cual cada serie converge.

Fecha de entrega: 4 de abril. Problema 1 Expande la siguientes funciones en su serie de potencias alrededor de $latex \infty$: $latex \dfrac{1}{z^2+1}$ $latex \dfrac{z^2}{z^3-1}$ $latex e^{1/z^2}$ $latex z\sinh{1/z}$ Problema 2 Suponga que $latex f(z)$ es analítica en $latex \infty$, con expansión en serie $latex f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{b_k}{z^k},\qquad |z|>\frac{1}{\rho}$. Sea $latex \sigma \ge 0$ el menor número tal que $latex f(z)$ extiende una función analítica para $latex |z| > \sigma$. Muestra que la serie $latex \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{b_k}{z^k}$ converge absolutamente para $latex |z|>\sigma$ y diverge para $latex |z|<\sigma$. Problema 3 Calcula los términos al orden 5 de la expansión en serie alrededor de $latex z=0$ de la función $latex z/\sen z$. Problema 4 Calcula los términos al orden 7 de la expansión en serie alrededor de $latex z=0$ de la función $latex \cot z$. Problema 5 Define los números de Bernoulli $latex B_n$  por $latex \dfrac{z}{2}\c...

Fecha de entrega: 28 de marzo Problema 1 Encuentra el radio de convergencia de las siguientes series de potencias. $latex \displaystyle \sum_{k=0}^\infty 2^k z^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{k}{6^k} z^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k z^{2k}}{k^2+k}$ $latex \displaystyle \sum_{k=3}^\infty (\log k)^{k/2} z^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{z^{2k}}{4^kk^k}$ Problema 2 Determina para cuáles $latex z$ las siguientes series convergen. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty (z-1)^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=0}^\infty 2^k(z-2)^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac{2^k}{k^2} (z-2-i)^k$ Problema 3 Indica qué funciones son representadas por las siguientes series de potencias. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k z^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k^2 z^k$ Problema 4 Encuentra el radio de convergencia de las series de potencias para las siguientes funciones alrededor del punto $latex z_0$ indicado. $...

Fecha de entrega: 21 de marzo Problema 1 Muestra que $latex |\Re z|\le |z|$ y $latex |\Im z| \le |z|$. Muestra que $latex |z+w|^2 = |z|^2 + |w|^2 + 2\Re(z\bar w)$. Usa esto para probar la desigualdad del triángulo $latex |z+w|\le |z|+|w|$. Problema 2 Dibuja bocetos de las siguientes curvas, así como de sus imágenes bajo las funciones $latex w=z^2$  y la rama principal de $latex w=\sqrt z$. $latex x=1$ $latex y^2=x^2-1$, $latex x >0$ $latex |z-i|=1$ $latex y=x$ Problema 3 Dibuja un boceto de las siguientes figuras y de sus imágenes bajo $latex w=e^z$. el rectángulo $latex 0<\Re z<1, 0<\Im z<\pi/4$ el disco $latex |z|\le \pi/2$ la banda vertical $latex -1 <\Re z < 0$ Problema 4 Muestra que las siguientes funciones son armónicas, y calcula su armónica conjugada. $latex xy$ $latex \cos x\cosh y$ $latex xy + 3x^2y - y^3$ $latex \dfrac{x}{x^2+y^2}$ Problema 5 Calcula explícitamente las transformaciones de Möbius determinadas por las siguientes corre...

Fecha de entrega: 14 de marzo Problema 1 Sea $latex \gamma$ la frontera del triángulo $latex \{0 \le y \le 1-x, 0\le x\le 1\}$, en la orientación positiva. Calcula las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_\gamma \Re z dz$ $latex \displaystyle \int_\gamma \Im z dz$ $latex \displaystyle \int_\gamma z dz$ Problema 2 Sea $latex \gamma$ el círculo unitario en la orientación positiva. Calcula las siguientes integrales, donde $latex m\in\Z.$ $latex \displaystyle \int_\gamma |z^m| dz$ $latex \displaystyle \int_\gamma \bar z^m dz$ $latex \displaystyle \int_\gamma z^m |dz|$ $latex \displaystyle \int_\gamma |z^m| |dz|$ Problema 3 Muestra que, si $latex D$ es un dominio acotado con frontera suave, entonces $latex \displaystyle \int_{\partial D} \bar z dz = 2i \text{\'Area}(D)$. Problema 4 Evalúa las siguientes integrales, primero para una curva $latex \gamma_1$ del punto $latex -\pi i$ al punto $latex \pi i$ en el semiplano derecho, y luego para una curva de $latex -\...

Fecha de entrega: 7 de marzo. Problema 1 Para cada una de las funciones armónicas $latex u$ encuentra $latex du, dv$ y $latex v$, la armónica conjugada de $latex u$. $latex u(x,y) = x-y$ $latex u(x,y) = x^3-3xy^2$ $latex u(x,y) = \sinh x\cos y$ $latex u(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2}$ Problema 2 Sea $latex D =\{a<|z|<b\}\setminus(-b,-a)$, un anillo ranurado a lo largo del eje real negativo. Mostrar que cualquier función armónica en $latex D$ tiene una armónica conjugada en $latex D$. Sugerencia:  Fija $latex c$ entre $latex a$ y $latex b$, y define $latex v(z)$ explícitamente como una integral de línea a lo largo de la curva que consiste de la línea recta de $latex c$ a $latex |z|$ seguida del arco circular formado de $latex |z|$ a $latex z$. O mapea el anillo ranurado  a un rectángulo por $latex w = \Log z$. Problema 3 Sea $latex f(z)$ una función continua en un dominio $latex D$. Mostrar que si $latex f(z)$ tiene la propiedad del valor medio con respecto a círculos, entonces ...

Fecha de entrega: 28 de febrero Problema 1 Evalúa $latex \displaystyle \int_\gamma y^2dx+x^2dy$ sobre las siguientes curvas de $latex (0,0)$ a $latex (2,4)$: la parábola $latex y=x^2$ el intervalo horizontal de $latex (0,0)$ a $latex (2,0)$ seguido por el intervalo vertical de $latex (2,0)$ a $latex (2,4)$ el intervalo vertical de $latex (0,0)$ a $latex (0,4)$ seguido por el intervalo horizontal de $latex (0,4)$ a $latex (2,4)$. Problema 2 Evalúa $latex \int_{\partial D} x^2dy$ tanto directamente como usando el teorema de Green, donde $latex D$ es el cuarto de disco visto en clase. Problema 3 Muestra que si $latex P$ y $latex Q$ son funciones con valores complejos continuas en la curva $latex \gamma$, entonces $latex \displaystyle F(w) = \int_\gamma \frac{Pdx}{z-w} + \int_\gamma \frac{Qdy}{z-w}, \qquad z =x+iy,$ es analítica en $latex w\in\C\setminus\gamma$. Además, expresa $latex F'(w)$ como una integral de línea sobre $latex \gamma$. Problema 4 Determina si las siguientes i...

Fecha de entrega: 21 de febrero Problema 1 Sea $latex a\in\C$, $latex a\not=0$, y $latex f$ una rama de $latex z^a$ en $latex \C\setminus(-\infty,0]$. Muestra que $latex f'(z)=af(z)/z$ (es decir, $latex f'(z)=az^{a-1}$, donde tomamos la rama de $latex z^{a-1}$ correspondiente a la de $latex z^a$, dividido entre $latex z$). Problema 2 Sea $latex g(z)$ una rama de $latex \cos^{-1}(z)$ definida en un dominio $latex D$. Encuentra $latex g'(z)$ e indica para qué ramas de $latex \cos^{-1}(z)$ tenemos la misma derivada. Problema 3 Calcula $latex \displaystyle \iint_D |f'(z)|^2dxdy,$ donde $latex f(z)=z^2$ y $latex D$ es el disco abierto unitario. Interpreta tu respuesta en términos de áreas. Problema 4 Muestra que las siguientes funciones son armónicas, y calcula su armónica conjugada. $latex x^2-y^2$ $latex \sinh x\sin y$ $latex e^{x^2-y^2}\cos 2xy$ $latex \tan^{-1}\dfrac{y}{x}$, $latex x>0$ Problema 5 Muestra que la ecuación de Laplace, en coordenadas polares, est...

Fecha de entrega: 14 de febrero Problema 1 Encuentra y dibuja en el plano los valores de $latex \log z$ paralos siguientes números complejos $latex z$: $latex 2$ $latex i$ $latex 1 + i$ $latex \dfrac{1+i\sqrt 3}{2}$ Problema 2 Dibuja la imagen bajo la función $latex w = \Log z$ de cada una de las siguientes figuras: el semiplano derecho $latex \Re z>0$ el semidisco $latex |z|<1, \Re z >0$ el anillo cortado $latex \sqrt e <|z|<e^2, z\not\in(-e^2,-\sqrt e)$ la recta vertical $latex x = e$ Problema 3 Encuentra y dibuja en el plano los siguientes números: $latex (1+i)^i$ $latex (-1)^{1+i}$ $latex 2^{-1/2}$ $latex (1+i\sqrt 3)^{1-i}$ Problema 4 Muestra que $latex (zw)^\alpha = z^\alpha w^\alpha$, donde en la derecha tomamos todos los posibles productos. Problema 5 Muestra que la función $latex \sqrt{z^2-1/z}$ puede ser definida continuamente afuera del círculo unitario. Dibuja las cortaduras de rama apropiadas, y describe su superficie de Riemann. Prob...

Fecha de entrega: 7 de febrero Problema 1 Dibuja bocetos de las siguientes curvas, así como de sus imágenes bajo las funciones $latex w = z^2$ y la rama principal de $latex w = \sqrt z$. $latex |z-1|=1$ $latex y=1$ $latex y = x+1$ $latex y=1/x, x\not=0$ Problema 2 Considera la función $latex w=z^3$. Describe lo más detalladamente posible su imagen (la imagen de rayos que salen del origen, del círculos, etc.) Realiza los cortes de rama necesarios para definir su inversa. Describe la construcción de la superficie de Riemann de $latex z^{1/3}$ Problema 3 Dibuja un boceto de las siguientes figuras y de sus imágenes bajo $latex w=e^z$. la banda vertical $latex 0 < \Re z < 1$ la banda hrizontal $latex 5\pi/3 < \Im z < 8\pi/3$ el disco $latex |z|\le \pi$

Aquí tienen las soluciones a los ejercicios 4 y 6 de la tarea 1. Ejercicio 4 $Latex |\arg z|\le \frac{\pi}{4}$.   $Latex 0<\arg{z-1-i}<\frac{\pi}{3}$.   $Latex |z|<\arg z$.   $Latex \log|z|=\arg z$. Ejercicio 6 Hemisferio interior $Latex Z\le0$.   Tapa polar $Latex 3/4\le Z\le1$.   Líneas de latitud $Latex X=\sqrt{1-Z^2}\cos{\theta}, Y=\sqrt{1-Z^2}\sin{\theta}$ para $Latex Z$ fijo (en este caso $Latex Z =\frac{1}{2}$) y $Latex 0\le\theta\le2\pi$. Líneas de longitud $Latex X=\sqrt{1-Z^2}\cos{\theta}, Y=\sqrt{1-Z^2}\sin{\theta}$ para $Latex \theta$ fijo (en este caso $Latex \theta =\frac{\pi}{4}$) y $Latex -1\le \theta \le 2\pi$.   Tapa esférica $Latex A\le X\le1$ con centro sobre el ecuador para $Latex A$ fijo. $Latex A=-1$ $Latex A=-\frac{3}{4}$   $Latex A=-\frac{1}{2}$   $Latex A=-\frac{1}{8}$   $Latex A=0$   $Latex A=\frac{1}{4}$   $Latex A=\frac{2}{3}$   $Latex A=1$  

Fecha de entrega: 31 de enero Problema 1 Muestra que la ecuación $latex |z|^2-2\Re(\bar a z) + |a|^2=\rho^2$ representa un círculo centrado en $latex a$ con radio $latex \rho$. Problema 2 Dado $latex a\in\mathbb C$, muestra que $latex |z-a|/|1-\bar a z|=1$ si $latex |z|=1$ y $latex 1 - \bar a z\not=0$. Problema 3 Dado $latex \rho>0$, $latex \rho\not=1$, y dados $latex z_0, z_1\in\mathbb C$, muestra que el conjunto de los números $latex z\in\C$ que satisfacen $latex |z-z_0| = \rho|z-z_1|$ es un círculo si $latex \rho\not=1$. Dibuja un boceto para $latex \rho=1/2, 2$ con $latex z_0=0, z_1=1$. Describe qué sucede cuando $latex \rho=1$. Problema 4 Dibuja los siguientes conjuntos: $latex |\arg z|<\dfrac{\pi}{4}$ $latex 0 < \arg (z-1-i) < \dfrac{\pi}{3}$ $latex |z| = \arg z$ $latex \log |z | = -2\arg z$ Problema 5 Dado $latex n\ge 1$, mostrar que las $latex n$-ésimas raíces de $latex 1$, $latex \omega_0, \omega_1, \ldots, \omega_{n-1}$, satisfacen $latex (z-\omega_0)(z-...

El universo interconectado , por Miguel Ángel Aragón Calvo, de la Universidad de California en Riverside. Conferencia de la semana , jueves 30 de enero, 12:00 pm. Resumen:  La idea de la galaxia como un “universo isla” representó un gran avance en nuestro entendimiento de la escala del universo. Sin embargo actualmente sabemos que las galaxias forman una “red cósmica” donde todas las galaxias están interconectadas por puentes de materia. Observar y entender esta red es uno de los retos más fascinantes en cosmología y formación galáctica. En esta charla presentaré avances recientes en estas áreas así como sus aplicaciones.

Para los asistentes a mi curso Análisis en fractales en el ISAA 2014 , aquí les dejo links a las referencias bibliográficas. Para iniciar, el texto de Strichartz es esencial. Contiene explicaciones detalladas de la construcción de la estructura armónica en el triángulo de Sierpinski, la métrica de resistencia efectiva y el método de decimación. Robert Strichartz,  Differential Equations on Fractals: A Tutorial , Princeton University Press, 2006 También recomiendo el artículo original de Dalrymple, Strichartz y Vinson, con las construcciones de las funciones armónicas, las eigenfunciones de Dirichlet y soluciones a las ecuaciones de calor y onda. Kyallee Dalrymple, Robert S. Strichartz, Jade P. Vinson, Fractal differential equations on the Sierpinski gasket, J. Fourier Analysis and Applications 5  No. 2-3 (1999), 203-284 doi:10.1007/BF01261610 El texto de Kigami desarrolla la teoría abstracta en conjuntos autosimilares postcríticamente finitos. Jun Kigami, Analysis on Fractals, Cambrid...