Tarea 4, Cálculo 4

Fecha de entrega: 21 de febrero

Problema 1

Sea $latex a\in\C$, $latex a\not=0$, y $latex f$ una rama de $latex z^a$ en $latex \C\setminus(-\infty,0]$. Muestra que $latex f'(z)=af(z)/z$ (es decir, $latex f'(z)=az^{a-1}$, donde tomamos la rama de $latex z^{a-1}$ correspondiente a la de $latex z^a$, dividido entre $latex z$).

Problema 2

Sea $latex g(z)$ una rama de $latex \cos^{-1}(z)$ definida en un dominio $latex D$. Encuentra $latex g'(z)$ e indica para qué ramas de $latex \cos^{-1}(z)$ tenemos la misma derivada.

Problema 3

Calcula

$latex \displaystyle \iint_D |f'(z)|^2dxdy,$

donde $latex f(z)=z^2$ y $latex D$ es el disco abierto unitario. Interpreta tu respuesta en términos de áreas.

Problema 4

Muestra que las siguientes funciones son armónicas, y calcula su armónica conjugada.

1. $latex x^2-y^2$


2. $latex \sinh x\sin y$


3. $latex e^{x^2-y^2}\cos 2xy$


4. $latex \tan^{-1}\dfrac{y}{x}$, $latex x>0$

Problema 5

Muestra que la ecuación de Laplace, en coordenadas polares, está dada por

$latex \displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\theta^2}=0$.

Problema 6

Muestra que $latex \log|z|$ no tiene armónica conjugada en el plano punteado $latex \C\setminus\{0\}$, aunque sí la tiene en $latex \C\setminus(-\infty,0]$.

Problema 7

Dibuja las curvas de nivel de $latex u$ y $latex v$ para las siguientes funciones $latex f=u+iv$.

1. $latex f(z) = \dfrac{1}{z}$


2. $latex f(z)=\dfrac{1}{z^2}$


3. $latex f(z)=z^6$

Determina dónde $latex f(z)$ es conforme, y dónde no lo es.

Problema 8

Considera la función $latex f(z)=z+1/z$.

1. Determina dónde es conforme, y dónde no lo es.


2. Muestra que para cada $latex w$ existen a lo más dos valores $latex z$ para los cuales $latex f(z)=w$.


3. Muestra que si $latex r>1$, $latex f(z)$ mapea el círculo $latex |z|=r$ sobreyectivamente a una elipse y que $latex f(z)$ mapea el círculo $latex |z|<1/r$ sobreyectivamente a la misma elipse.


4. Muestra que $latex f(z)$ es inyectiva en el exterior del dominio $latex D=\{z:|z|>1\}.$


5. Determina la imagen de $latex D$ bajo $latex f(z)$.


6. Dibuja las imágenes bajo $latex f(z)$ de los círculos $latex |z|=r$, para $latex r>1$, y dibuja también las imágenes de la parte de los rayos $latex \arg z=\beta$ que pertenecen a $latex D$.

Problema 9

Calcula explícitamente las transformaciones de Möbius determinadas por las siguientes correspondencias de tercias de números.

1. $latex (1+i,2,0)\mapsto (0,\infty,i-1)$


2. $latex (\infty,1+i,2)\mapsto(0,1,\infty)$


3. $latex (-2,i,2)\mapsto(1,-2,i)$


4. $latex (1,2,\infty)\mapsto(0,1,\infty)$

Problema 10

Considera la transformación de Möbius que envía $latex 1\mapsto i, 0\mapsto 1+i$ y $latex -1\mapsto 1$. Determina la imagen del círculo unitario, la imagen del disco unitario abierto, y la imagen del eje imaginario. Dibuja estas imágenes.