Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 27 de febrero Problema 1 Si extendemos la definición de derivadas direccionales a vectores $latex u$ no necesariamente unitarios, demuestra que satisfacen $latex D_{tu}f(x_0) = t D_uf(x_0)$ y $latex D_{u+v}f(x_0) = D_u f(x_0) + D_v f(x_0),$ si $latex f$ es diferenciable en $latex x_0$. Problema 2 Si $latex f:U\to\R$ tiene un mínimo local en $latex x_0$ y sus derivadas parciales existen, muestra que $latex D_if(x_o)=0$ para cada $latex i=1,\ldots,n$. Problema 3 Muestra que, si $latex U\subset\R^n$ es abierto, $latex f:U \to \R$ es tal que sus derivadas parciales existen en cada $latex x\in U$, $latex x_0\in U$, y $latex t\in\R$ es tal que $latex (x_0^1, \ldots, x_0^i + s, \ldots, x_0^n) \in U$ para todo $latex s\in[0,t]$ (o $latex s\in[t,0]$, si $latex t<0$), entonces existe $latex c$ entre $latex x_0^i$ y $latex x_0^i+t$ tal que $latex f(x_0^1,\ldots,x_0^i+t,\ldots,x_0^n) - f(x_0^1,\ldots,x_0^i,\ldots,x_0^n) = t D_if(x_0^1,\ldots,c,\ldots,x_0^n).$ Problema 4 Sea $l

Fecha de entrega: 20 de febrero Problema 1 Si $latex f:U\to\R^m$ es diferenciable en $latex x_0\in U$, entonces es continua en $latex x_0$. Problema 2 Sea $latex U\subset\R^n$ abierto y $latex f,g:U\to\R$ tales que $latex f$ es continua en $latex x_0\in U$, $latex g$ es diferenciable en $latex x_0$ y $latex g(x_0) = 0$. Muestra que $latex fg$ es diferenciable en $latex x_0$. Problema 3 Calcula la derivada y el Jacobiano de cada una de las siguientes funciones, utilizando la regla de la cadena. $latex (x,y) \mapsto (x^2 - y^2, 2xy)$, en cada punto $latex (x_0, y_0)\in\R^2$ $latex (x,y) \mapsto (\sen(x^2 + xy + y^2), e^{xy} )$, en cada punto $latex (x_0,y_0)\in\R^2$ Problema 4 Decimos que $latex f:\R^n\to\R$ es homogénea de grado $latex \alpha$ si $latex f(tx) = t^\alpha f(x)$, para $latex x\in\R^n, t>0$. Si, además, $latex f$ es diferenciable, muestra la fórmula de Euler $latex \displaystyle\sum_{i=1}^n x^i D_if(x) = \alpha f(x)$. Problema 5 Si $latex f:\R^n\to\R$ es diferenciab

Fecha de entrega: 13 de febrero Problema 1 Muestra que, si $latex f:A\to\R^m$ tiene límites $latex L$ y $latex M$ en $latex x_0$, entonces $latex L = M$. Problema 2 Demuestra que la función $latex f:A\to\R^m$ es continua en $latex x\in A$ si y solo si cada una de sus componentes $latex f^i:A\to\R$ es continua en $latex x$. Problema 3 Considera la función en $latex \R^2$ definida por $latex f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{x^2 + y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\0 & (x,y)=(0,0).\end{cases}$ Muestra que, aunque cada una de las funciones $latex x\to f(x,y_0)$    y    $latex y\to f(x_0,y)$ son continuas en $latex \R$ para cualquier $latex x_0,y_0\in\R$, la función $latex f$ no es continua en $latex (0,0)$. Problema 4 Da un ejemplo de un conjunto $latex A\subset\R^n$ no acotado tal que toda función continua en $latex A$ es uniformemente continua. Problema 5 Calcula la oscilación en el punto $latex (0,0)$ de la función del problema 3.

Fecha de entrega: 6 de febrero Problema 1 Sea $latex (x_k)$ una sucesión en $latex \R^n$ tal que  $latex x_k\to L$ y $latex x_k\to M$. Muestra que $latex L = M$. Problema 2 Si $latex (x_k)$ es una sucesión de Cauchy, entonces es acotada. Sea $latex (x_k)$ una sucesión de Cauchy tal que una subsucesión converge, digamos $latex x_{k_l} \to L$. Muestra que $latex x_k\to L$. Concluye que toda sucesión de Cauchy en $latex \R^n$ converge. (Utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass.) Problema 3 Considera, en $latex \R^n$, la cubierta $latex \{A_n\}_n$ definida por $latex A_n = \{ x\in\R^n: \dfrac{1}{2n} < |x| < \dfrac{3}{2n}\},$ para la bola punteada $latex B_1^*(x) = \{ x: 0 < |x| \le 1 \}$. Muestra que esta cubierta no tiene subcubiertas finitas. Problema 4 Sean $latex A_1\supset A_2\supset\ldots$ compactos no vacíos en $latex \R^n$. Muestra que $latex \bigcap_i A_i \not=\emptyset.$ Muestra que el enunciado anterior es falso si los $latex A_i$ son solo cerrados. Problema