Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 1 de mayo Problema 1 Sea $latex f:\R^n\to\R$ diferenciable tal que $latex \grad f(p)\not=0$. Muestra que $latex \grad f(p)$ es el vector con la dirección de crecimiento más rápido de $latex f$ en el punto $latex p$. Es decir, si $latex \hat u = \dfrac{\grad f(p)}{|\grad f(p)|}$, entonces $latex Df(p)(\hat u) = \max\{ Df(p)(v): |v|=1\}$. ( Sugerencia:  Nota que $latex (\grad f(p))_p\cdot v_p = Df(p)(v)$, para $latex v_p\in\R^n_p$.) Problema 2 Sea $latex \w = f dx$ una 1-forma en $latex [0,1]$ tal que $latex f(0) = f(1)$. Muestra que existe un único $latex \lambda\in\R$ tal que $latex \w - \lambda dx = dg$, donde $latex g$ es una función que satisface $latex g(0) = g(1)$. Problema 3 Sea $latex \w = \w_1 dx + \w_2 dy + \w_3 dz$ una 1-forma diferencial tal que $latex \w_1,\w_2,\w_3$ son homogéneas de grado $latex \alpha$. Muestra que, si $latex \w$ es cerrada, entonces $latex \w = df$ donde $latex f(x,y,z) = \dfrac{1}{\alpha+1}(\w_1(x,y,z)x + \w_2(x,y,z)y + \w_3(x,y,z)z)$

Fecha de entrega: 24 de abril Problema 1 Calcula el producto cuña $Latex \phi \wedge \psi$ de las siguientes 1-formas en $Latex \mathbb R^3$. a) $Latex \phi = 3dx+dz, \quad \psi=dy-dz$; b) $Latex \phi=dx-dy+2dz,\quad \psi=3dx-4dy-2dz$. Escribe el resultado en la base $Latex dy\wedge dz, dz\wedge dx, dx\wedge dy$. Problema 2 Calcula el diferencial $Latex d\omega$ de las siguientes 1-formas diferenciales en $Latex \mathbb R^3$ a) $Latex \omega(x,y,z)=(z^2-x ^2)dx+(y^2-z^2)dy+(x^2-y^2)dz$; b) $Latex \omega(x,y,z)=(3x^2-y^2z)dx-2xyzdy-xy^2dz$. Problema 3 Calcula $Latex \omega\wedge\eta$, para las siguientes formas diferenciales en $Latex \mathbb R^3$. a) $Latex \omega=xdx-ydy,\quad \eta=zdz\wedge dy+xdy\wedge dz$; b) $Latex \omega=dx+dy+dz,\quad \eta=dx\wedge dy+dx\wedge dz+dy\wedge dz$; c) $Latex \omega=zdx\wedge dy+xdy\wedge dz,\quad \eta=\omega$. Problema 4 Sea $Latex \omega$ la 2-forma diferencial en $LAtex \mathbb R^{2n}$ dada por $Latex \displaystyle \omega=dx^1\wedge dx^2+dx^3\wedge

Fecha de entrega: 17 de abril Problema 1 Muestra que la integral impropia $Latex \displaystyle \int_{\mathbb R^n} e^{-|x|^2} dx = \lim_{N\rightarrow\infty}\int_{[-N,N]^n} e^{-|x|^2}dx = \pi^{n/2}.$ Problema 2 Si $Latex x>0$, muestra que la función $LAtex t\mapsto t^{x-1}e^{-t}$ es integrable en $Latex \mathbb R_+ = (0,\infty).$ Para $Latex x>0$, la función gama $Latex \Gamma(x)$ está definida como la integral $Latex \displaystyle \Gamma(x) = \int_{\mathbb R_+}t^{x-1}e^{-t} dt$. Muestra que $Latex \displaystyle \Gamma(x) = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_\varepsilon ^{1/\varepsilon} t^{x-1} e^{-t}.$ Muestra que, si $Latex n\in \mathbb Z_+$, entonces $Latex \displaystyle \Gamma(n+1) = n\Gamma(n).$ Concluye que, para $Latex n\in\mathbb N,\;\;n!=\Gamma(n+1).$ Problema 3 Muestra que el determinante del jacobiano de las coordenadas esféricas está dado por $Latex \displaystyle r^{n-1}\sin^{n-2}\phi_1\sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}$, para cada $Latex r>0$, $latex 0&l