Tarea 12, Cálculo 4

Fecha de entrega: 2 de mayo

Problema 1

Encuentra las singularidades aisladas de las siguientes funciones, y determina si son removibles, polos, o esenciales. En caso de ser un polo, determina el orden y calcula su parte principal.

1. $latex \displaystyle \frac{z}{(z^2-1)^2}$


2. $latex \displaystyle \frac{e^{2z}-1}{z}$


3. $latex z^2\sin\dfrac{1}{z}$


4. $latex \Log\Big(1 - \dfrac{1}{z}\Big)$


5. $latex e^{1/(z^2+1)}$

Problema 2

En el problema anterior, determina cuáles funciones tienen una singularidad aislada en infinito, y clasifícala.

Problema 3

Para cada una de las siguientes funciones, encuentra el radio de convergencia de su serie de potencias alrededor del punto indicado.

1. $latex \dfrac{z-1}{z^4-1}$, alrededor de $latex 3+i$


2. $latex \dfrac{\cos z}{z^2-\pi^2/4}$, alrededor de $latex 0$


3. $latex \dfrac{z}{\sin z}$, alrededor de $latex \pi i$


4. $latex \dfrac{z^2}{\sin^3 z}$, alrededor de $latex \pi i$


5. $latex \dfrac{z^2-z}{\tan\pi z}$, alrededor de $latex 1/2+i$

Problema 4

Encuentra la descomposición en fracciones parciales de cada una de las siguientes funciones.

1. $latex \dfrac{1}{z^2-z}$


2. $latex \dfrac{z^2+1}{z(z^2-1)}$


3. $latex \dfrac{z^2-4z+3}{z^2-z-6}$


4. $latex \dfrac{z^3+1}{z^2+1}$


5. $latex \dfrac{z^6}{(z^2+1)(z-1)^2}$