Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 30 de mayo Problema 1 Encuentra todas las posibles expansiones de Laurent las siguientes funciones, centradas en el punto dado. Describe los anillos de convergencia de cada una. $latex \displaystyle \frac{1}{z^2+z}$, alrededor de $latex z=1$ $latex \displaystyle e^{1/z^3}$, alrededor de $latex \infty$ $latex \displaystyle \frac{1}{(z-1)(z^3+z)}$, alrededor de $latex z=0$ Problema 2 Encuentra la descomposición en fracciones parciales de cada una de las siguientes funciones. $latex \dfrac{1}{(z+1)(z^2+2z+2)}$ $latex \dfrac{z^9+1}{z^6-1}$ $latex \dfrac{1}{(z^2+1)^2}$ Problema 3 Evalúa las siguientes integrales. $latex \displaystyle \oint_{|z|=2} \frac{e^z}{z^2-1}dz$ $latex \displaystyle \oint_{|z-1|=1} \frac{1}{z^8-1}dz$ Problema 4 Utiliza la teoría del residuo de verificar las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{x}{(x^2+2x+2)(x^2+4)} dx = -\frac{\pi}{10}$ $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{x^3-1} dx =...

Fecha de entrega: 23 de mayo Problema 1 Muestra las siguientes identidades, utilizando el contorno apropiado. $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{x^{-a}}{1+x} dx = \frac{\pi}{\sen \pi a}, \qquad 0 < a < 1$ $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{x^a(x+1)} dx = \frac{\pi^2\cos\pi a}{\sen^2\pi a}, \qquad 0 < a < 1$ $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{x^a(x-1)} dx = \frac{2\pi^2}{1-\cos(2\pi a)}, \qquad 0 < a < 1$ $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin ax}{x(\pi^2-a^2x^2)} dx = \frac{2}{\pi}, \qquad a > 0$ $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\sen^2 x}{x^2} dx = \pi$ Problema 2 Muestra la identidad de valor principal $latex \displaystyle \PV\int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{x^b-1} dx = -\frac{\pi}{b} \cot\Big(\frac{\pi a}{b}\Big), \qquad 0 < a < b, b > 1$. ( Sugerencia: Considera el sector de apertura $latex 2\pi/b$.) Problema 3 Muestra que $latex \displaystyle \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^R \frac{x^3\...

Fecha de entrega: 16 de mayo Problema 1 Calcula los siguientes residuos. $latex \Res_{2i} \dfrac{1}{z^2+4}$ $latex \Res_1 \dfrac{1}{z^5-1}$ $latex \Res_0 \dfrac{\sin z}{z^2}$ $latex \Res_1 \dfrac{z}{\Log z}$ $latex \Res_0 \dfrac{e^z}{z^5}$ Problema 2 Evalúa las siguientes integrales usando el teorema del residuo. $latex \displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{\sin z}{z^2} dz$ $latex \displaystyle \oint_{|z-1/2|=3/2}\frac{\tan z}{z}dz$ Problema 3 Utiliza la teoría del residuo de verificar las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+a^2)^2} = \frac{\pi}{2a^3},\qquad a>0$ $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{x^4+1} dx = \frac{\pi}{\sqrt 2}$ $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{(x^2+1)^2} dx = \frac{\pi}{e}$ $latex \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{\cos\theta}{2+\cos\theta} d\theta = 2\pi\Big(1 - \frac{2}{\sqrt 3}\Big)$ $latex \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a+b\sin\theta} = \frac{2...

Fecha de entrega: 9 de mayo Problema 1 Muestra que, si $latex f(z)$ y $latex g(z)$ tienen período $latex \omega$, entonces también $latex f(z) + g(z)$ y $latex f(z)g(z)$. Problema 2 Expande la función $latex 1/\cos(2\pi z)$ en una serie de potencias de $latex e^{2\pi i z}$ que converge en el semiplano superior. Determina dónde la serie converge absolutamente y dónde uniformemente. Problema 3 Expande $latex \tan z$ en una serie de potencias de $latex e^{ikz}$ que converge en el semiplano superior. También encuentra una serie de exponenciales que converge en el semiplano inferior. Problema 4 Considera la función continua $latex f(e^{i\theta}) = |\theta|, -\pi\le\theta\le\pi$. Encuentra la serie de Fourier de $latex f(e^{i\theta})$ y muestra que se puede escribir en una serie de cosenos. Discute su convergencia. En particular, ¿converge uniformemente? Problema 5 Sea $latex f(e^{i\theta}) = \theta, -\pi < \theta\le\pi$. Encuentra su serie de Fourier, y escríbela como una serie de senos....

Fecha de entrega: 2 de mayo Problema 1 Encuentra las singularidades aisladas de las siguientes funciones, y determina si son removibles, polos, o esenciales. En caso de ser un polo, determina el orden y calcula su parte principal. $latex \displaystyle \frac{z}{(z^2-1)^2}$ $latex \displaystyle \frac{e^{2z}-1}{z}$ $latex z^2\sin\dfrac{1}{z}$ $latex \Log\Big(1 - \dfrac{1}{z}\Big)$ $latex e^{1/(z^2+1)}$ Problema 2 En el problema anterior, determina cuáles funciones tienen una singularidad aislada en infinito, y clasifícala. Problema 3 Para cada una de las siguientes funciones, encuentra el radio de convergencia de su serie de potencias alrededor del punto indicado. $latex \dfrac{z-1}{z^4-1}$, alrededor de $latex 3+i$ $latex \dfrac{\cos z}{z^2-\pi^2/4}$, alrededor de $latex 0$ $latex \dfrac{z}{\sin z}$, alrededor de $latex \pi i$ $latex \dfrac{z^2}{\sin^3 z}$, alrededor de $latex \pi i$ $latex \dfrac{z^2-z}{\tan\pi z}$, alrededor de $latex 1/2+i$ Problema 4 Encuentra la ...

Fecha de entrega: 4 de abril. Problema 1 Encuentra los ceros y sus órdenes en las siguientes funciones: $latex \dfrac{z^2+1}{z^2-1}$ $latex \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^5}$ $latex \dfrac{\cos{z}-1}{z}$ $latex \cos{z}-1$ Problema 2 De las funciones del ejercicio anterior determina cuáles son analíticas en $latex \infty$, y determina el orden de todos los ceros en $latex \infty$. Problema 3 Muestra que los ceros de $latex \tan{z}$ son todos simples. Problema 4 Encuentra todas las posibles expansiones de Laurent centradas en $latex 0$ de las siguientes funciones: $latex \dfrac{1}{z^2-z}$ $latex \dfrac{z-1}{z+1}$ $latex \dfrac{1}{(z^2-1)(z^2-4)}$ Problema 5 Para cada una de las funciones en el ejercicio anterior, encuentra la expansión de Laurent centrada en $latex z=-1$ que converge en $latex z=\frac{1}{2}$. Determina el mayor conjunto abierto en el cual cada serie converge.

Fecha de entrega: 4 de abril. Problema 1 Expande la siguientes funciones en su serie de potencias alrededor de $latex \infty$: $latex \dfrac{1}{z^2+1}$ $latex \dfrac{z^2}{z^3-1}$ $latex e^{1/z^2}$ $latex z\sinh{1/z}$ Problema 2 Suponga que $latex f(z)$ es analítica en $latex \infty$, con expansión en serie $latex f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{b_k}{z^k},\qquad |z|>\frac{1}{\rho}$. Sea $latex \sigma \ge 0$ el menor número tal que $latex f(z)$ extiende una función analítica para $latex |z| > \sigma$. Muestra que la serie $latex \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{b_k}{z^k}$ converge absolutamente para $latex |z|>\sigma$ y diverge para $latex |z|<\sigma$. Problema 3 Calcula los términos al orden 5 de la expansión en serie alrededor de $latex z=0$ de la función $latex z/\sen z$. Problema 4 Calcula los términos al orden 7 de la expansión en serie alrededor de $latex z=0$ de la función $latex \cot z$. Problema 5 Define los números de Bernoulli $latex B_n$  por $latex \dfrac{z}{2}\c...

Fecha de entrega: 28 de marzo Problema 1 Encuentra el radio de convergencia de las siguientes series de potencias. $latex \displaystyle \sum_{k=0}^\infty 2^k z^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{k}{6^k} z^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k z^{2k}}{k^2+k}$ $latex \displaystyle \sum_{k=3}^\infty (\log k)^{k/2} z^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{z^{2k}}{4^kk^k}$ Problema 2 Determina para cuáles $latex z$ las siguientes series convergen. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty (z-1)^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=0}^\infty 2^k(z-2)^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac{2^k}{k^2} (z-2-i)^k$ Problema 3 Indica qué funciones son representadas por las siguientes series de potencias. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k z^k$ $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k^2 z^k$ Problema 4 Encuentra el radio de convergencia de las series de potencias para las siguientes funciones alrededor del punto $latex z_0$ indicado. $...

Fecha de entrega: 21 de marzo Problema 1 Muestra que $latex |\Re z|\le |z|$ y $latex |\Im z| \le |z|$. Muestra que $latex |z+w|^2 = |z|^2 + |w|^2 + 2\Re(z\bar w)$. Usa esto para probar la desigualdad del triángulo $latex |z+w|\le |z|+|w|$. Problema 2 Dibuja bocetos de las siguientes curvas, así como de sus imágenes bajo las funciones $latex w=z^2$  y la rama principal de $latex w=\sqrt z$. $latex x=1$ $latex y^2=x^2-1$, $latex x >0$ $latex |z-i|=1$ $latex y=x$ Problema 3 Dibuja un boceto de las siguientes figuras y de sus imágenes bajo $latex w=e^z$. el rectángulo $latex 0<\Re z<1, 0<\Im z<\pi/4$ el disco $latex |z|\le \pi/2$ la banda vertical $latex -1 <\Re z < 0$ Problema 4 Muestra que las siguientes funciones son armónicas, y calcula su armónica conjugada. $latex xy$ $latex \cos x\cosh y$ $latex xy + 3x^2y - y^3$ $latex \dfrac{x}{x^2+y^2}$ Problema 5 Calcula explícitamente las transformaciones de Möbius determinadas por las siguientes corre...

Fecha de entrega: 14 de marzo Problema 1 Sea $latex \gamma$ la frontera del triángulo $latex \{0 \le y \le 1-x, 0\le x\le 1\}$, en la orientación positiva. Calcula las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_\gamma \Re z dz$ $latex \displaystyle \int_\gamma \Im z dz$ $latex \displaystyle \int_\gamma z dz$ Problema 2 Sea $latex \gamma$ el círculo unitario en la orientación positiva. Calcula las siguientes integrales, donde $latex m\in\Z.$ $latex \displaystyle \int_\gamma |z^m| dz$ $latex \displaystyle \int_\gamma \bar z^m dz$ $latex \displaystyle \int_\gamma z^m |dz|$ $latex \displaystyle \int_\gamma |z^m| |dz|$ Problema 3 Muestra que, si $latex D$ es un dominio acotado con frontera suave, entonces $latex \displaystyle \int_{\partial D} \bar z dz = 2i \text{\'Area}(D)$. Problema 4 Evalúa las siguientes integrales, primero para una curva $latex \gamma_1$ del punto $latex -\pi i$ al punto $latex \pi i$ en el semiplano derecho, y luego para una curva de $latex -\...

Fecha de entrega: 28 de febrero Problema 1 Evalúa $latex \displaystyle \int_\gamma y^2dx+x^2dy$ sobre las siguientes curvas de $latex (0,0)$ a $latex (2,4)$: la parábola $latex y=x^2$ el intervalo horizontal de $latex (0,0)$ a $latex (2,0)$ seguido por el intervalo vertical de $latex (2,0)$ a $latex (2,4)$ el intervalo vertical de $latex (0,0)$ a $latex (0,4)$ seguido por el intervalo horizontal de $latex (0,4)$ a $latex (2,4)$. Problema 2 Evalúa $latex \int_{\partial D} x^2dy$ tanto directamente como usando el teorema de Green, donde $latex D$ es el cuarto de disco visto en clase. Problema 3 Muestra que si $latex P$ y $latex Q$ son funciones con valores complejos continuas en la curva $latex \gamma$, entonces $latex \displaystyle F(w) = \int_\gamma \frac{Pdx}{z-w} + \int_\gamma \frac{Qdy}{z-w}, \qquad z =x+iy,$ es analítica en $latex w\in\C\setminus\gamma$. Además, expresa $latex F'(w)$ como una integral de línea sobre $latex \gamma$. Problema 4 Determina si las siguientes i...

Fecha de entrega: 21 de febrero Problema 1 Sea $latex a\in\C$, $latex a\not=0$, y $latex f$ una rama de $latex z^a$ en $latex \C\setminus(-\infty,0]$. Muestra que $latex f'(z)=af(z)/z$ (es decir, $latex f'(z)=az^{a-1}$, donde tomamos la rama de $latex z^{a-1}$ correspondiente a la de $latex z^a$, dividido entre $latex z$). Problema 2 Sea $latex g(z)$ una rama de $latex \cos^{-1}(z)$ definida en un dominio $latex D$. Encuentra $latex g'(z)$ e indica para qué ramas de $latex \cos^{-1}(z)$ tenemos la misma derivada. Problema 3 Calcula $latex \displaystyle \iint_D |f'(z)|^2dxdy,$ donde $latex f(z)=z^2$ y $latex D$ es el disco abierto unitario. Interpreta tu respuesta en términos de áreas. Problema 4 Muestra que las siguientes funciones son armónicas, y calcula su armónica conjugada. $latex x^2-y^2$ $latex \sinh x\sin y$ $latex e^{x^2-y^2}\cos 2xy$ $latex \tan^{-1}\dfrac{y}{x}$, $latex x>0$ Problema 5 Muestra que la ecuación de Laplace, en coordenadas polares, est...

Fecha de entrega: 14 de febrero Problema 1 Encuentra y dibuja en el plano los valores de $latex \log z$ paralos siguientes números complejos $latex z$: $latex 2$ $latex i$ $latex 1 + i$ $latex \dfrac{1+i\sqrt 3}{2}$ Problema 2 Dibuja la imagen bajo la función $latex w = \Log z$ de cada una de las siguientes figuras: el semiplano derecho $latex \Re z>0$ el semidisco $latex |z|<1, \Re z >0$ el anillo cortado $latex \sqrt e <|z|<e^2, z\not\in(-e^2,-\sqrt e)$ la recta vertical $latex x = e$ Problema 3 Encuentra y dibuja en el plano los siguientes números: $latex (1+i)^i$ $latex (-1)^{1+i}$ $latex 2^{-1/2}$ $latex (1+i\sqrt 3)^{1-i}$ Problema 4 Muestra que $latex (zw)^\alpha = z^\alpha w^\alpha$, donde en la derecha tomamos todos los posibles productos. Problema 5 Muestra que la función $latex \sqrt{z^2-1/z}$ puede ser definida continuamente afuera del círculo unitario. Dibuja las cortaduras de rama apropiadas, y describe su superficie de Riemann. Prob...

Fecha de entrega: 7 de febrero Problema 1 Dibuja bocetos de las siguientes curvas, así como de sus imágenes bajo las funciones $latex w = z^2$ y la rama principal de $latex w = \sqrt z$. $latex |z-1|=1$ $latex y=1$ $latex y = x+1$ $latex y=1/x, x\not=0$ Problema 2 Considera la función $latex w=z^3$. Describe lo más detalladamente posible su imagen (la imagen de rayos que salen del origen, del círculos, etc.) Realiza los cortes de rama necesarios para definir su inversa. Describe la construcción de la superficie de Riemann de $latex z^{1/3}$ Problema 3 Dibuja un boceto de las siguientes figuras y de sus imágenes bajo $latex w=e^z$. la banda vertical $latex 0 < \Re z < 1$ la banda hrizontal $latex 5\pi/3 < \Im z < 8\pi/3$ el disco $latex |z|\le \pi$

Aquí tienen las soluciones a los ejercicios 4 y 6 de la tarea 1. Ejercicio 4 $Latex |\arg z|\le \frac{\pi}{4}$.   $Latex 0<\arg{z-1-i}<\frac{\pi}{3}$.   $Latex |z|<\arg z$.   $Latex \log|z|=\arg z$. Ejercicio 6 Hemisferio interior $Latex Z\le0$.   Tapa polar $Latex 3/4\le Z\le1$.   Líneas de latitud $Latex X=\sqrt{1-Z^2}\cos{\theta}, Y=\sqrt{1-Z^2}\sin{\theta}$ para $Latex Z$ fijo (en este caso $Latex Z =\frac{1}{2}$) y $Latex 0\le\theta\le2\pi$. Líneas de longitud $Latex X=\sqrt{1-Z^2}\cos{\theta}, Y=\sqrt{1-Z^2}\sin{\theta}$ para $Latex \theta$ fijo (en este caso $Latex \theta =\frac{\pi}{4}$) y $Latex -1\le \theta \le 2\pi$.   Tapa esférica $Latex A\le X\le1$ con centro sobre el ecuador para $Latex A$ fijo. $Latex A=-1$ $Latex A=-\frac{3}{4}$   $Latex A=-\frac{1}{2}$   $Latex A=-\frac{1}{8}$   $Latex A=0$   $Latex A=\frac{1}{4}$   $Latex A=\frac{2}{3}$   $Latex A=1$  

Fecha de entrega: 31 de enero Problema 1 Muestra que la ecuación $latex |z|^2-2\Re(\bar a z) + |a|^2=\rho^2$ representa un círculo centrado en $latex a$ con radio $latex \rho$. Problema 2 Dado $latex a\in\mathbb C$, muestra que $latex |z-a|/|1-\bar a z|=1$ si $latex |z|=1$ y $latex 1 - \bar a z\not=0$. Problema 3 Dado $latex \rho>0$, $latex \rho\not=1$, y dados $latex z_0, z_1\in\mathbb C$, muestra que el conjunto de los números $latex z\in\C$ que satisfacen $latex |z-z_0| = \rho|z-z_1|$ es un círculo si $latex \rho\not=1$. Dibuja un boceto para $latex \rho=1/2, 2$ con $latex z_0=0, z_1=1$. Describe qué sucede cuando $latex \rho=1$. Problema 4 Dibuja los siguientes conjuntos: $latex |\arg z|<\dfrac{\pi}{4}$ $latex 0 < \arg (z-1-i) < \dfrac{\pi}{3}$ $latex |z| = \arg z$ $latex \log |z | = -2\arg z$ Problema 5 Dado $latex n\ge 1$, mostrar que las $latex n$-ésimas raíces de $latex 1$, $latex \omega_0, \omega_1, \ldots, \omega_{n-1}$, satisfacen $latex (z-\omega_0)(z-...

Ordinario El examen Extraordinario se llevará a cabo el 22 de julio, 10:00 am.

El examen parcial 3 de Cálculo 4 se llevará a cabo este viernes, 13 de junio, a la 1:00pm.

Tarea 17

Tarea 16