Tarea 15, Cálculo 3

Fecha de entrega: 21 de noviembre

Problema 1

Una carga puntual se localiza en el punto $latex (0,0,2)$. Encuentra el flujo del campo eléctrico $latex \mathbf E$ producido por esta carga a través del disco

$latex \{(x,y,z): x^2+y^2\le 1, z=0\}.$

Problema 2

Averigua la falacia del siguiente argumento, que supuestamente demuestra que no existen los campos magnéticos: Sea $latex \vec B$ un campo magnético. Empezamos del hecho que $latex \vec B$ es incompresible, por lo que $latex \nabla\cdot\vec B = 0$. Como un campo incompresible es el rotacional de un campo vectorial,

$latex \vec B = \nabla\times\vec A.$

Entonces

$latex \displaystyle \int \nabla\times\vec A\cdot\hat n d\sigma = \int \vec B\cdot \hat n d\sigma=\int \nabla\cdot\vec B dV = 0,$

donde hemos usado el teorema de Gauss. Por el teorema de Stokes,

$latex \displaystyle \int \nabla\times\vec A \cdot\hat n d\sigma=\oint \vec A\cdot d\vec r,$

y entonces

$latex \displaystyle \oint \vec A \cdot d\vec r = 0.$

Como un campo irrotacional es el gradiente de un potencial,

$latex \vec A = \nabla\phi.$

Por lo tanto

$latex \vec B = \nabla\times\vec A = \nabla\times\nabla\phi = \vec 0. \qquad\Box$

Problema 3

Utiliza las ecuaciones de Maxwell para demostrar que

$latex \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\Big( \frac{1}{c^2}E^2+B^2\Big) = 2\nabla\cdot\big(\vec B\times\vec E\big) - 2\mu \vec J\cdot\vec E,$

donde $latex E = |\vec E|$ y $latex B = |\vec B|$. (Sugerencia: Usa el resultado del problema 6 de la tarea 14.)