Tarea 7, Cálculo 4

Fecha de entrega: 14 de marzo

Problema 1

Sea $latex \gamma$ la frontera del triángulo $latex \{0 \le y \le 1-x, 0\le x\le 1\}$, en la orientación positiva. Calcula las siguientes integrales.

1. $latex \displaystyle \int_\gamma \Re z dz$


2. $latex \displaystyle \int_\gamma \Im z dz$


3. $latex \displaystyle \int_\gamma z dz$

Problema 2

Sea $latex \gamma$ el círculo unitario en la orientación positiva. Calcula las siguientes integrales, donde $latex m\in\Z.$

1. $latex \displaystyle \int_\gamma |z^m| dz$


2. $latex \displaystyle \int_\gamma \bar z^m dz$


3. $latex \displaystyle \int_\gamma z^m |dz|$


4. $latex \displaystyle \int_\gamma |z^m| |dz|$

Problema 3

Muestra que, si $latex D$ es un dominio acotado con frontera suave, entonces

$latex \displaystyle \int_{\partial D} \bar z dz = 2i \text{\'Area}(D)$.

Problema 4

Evalúa las siguientes integrales, primero para una curva $latex \gamma_1$ del punto $latex -\pi i$ al punto $latex \pi i$ en el semiplano derecho, y luego para una curva de $latex -\pi i$ a $latex \pi i$ en el semiplano izquierdo.

1. $latex \displaystyle \int z^4 dz$


2. $latex \displaystyle \int e^z dz$


3. $latex \displaystyle \int \sinh z dz$


4. $latex \displaystyle \int \frac{dz}{z}$

Problema 5

Utiliza la fórmula integral de Cauchy para evaluar las siguientes integrales.

1. $latex \displaystyle \oint_{|z|=2} \frac{z^n}{z-1} dz, n\ge 0$


2. $latex \displaystyle \oint_{|z|=1} \frac{z^n}{z-2} dz, n\ge 0$


3. $latex \displaystyle \oint_{|z|=1} \frac{e^z}{z^m} dz, m\in\Z$


4. $latex \displaystyle \oint_{|z-1-i|=5/4} \frac{\Log z}{(z-1)^2} dz$


5. $latex \displaystyle \oint_{|z|=1} \frac{\cosh z}{z^3} dz$


6. $latex \displaystyle \oint_{|z-1|=2} \frac{dz}{z(z^2-4)e^z}$