Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 25 de noviembre Problema 1 Considera las funciones en $latex [0,1]$ dadas por $latex f(x) = \begin{cases}1&x\in\Q\\0&x\not\in\Q\end{cases}\qquad$ y $latex \quad g(x) = \begin{cases}1/q&x=p/q\in\Q, \text{mcd}(p,q)=1\\0&x\not\in\Q.\end{cases}$ Muestra que  f no es Riemann-integrable, y que  g sí lo es. Problema 2 Da un ejemplo de dos funciones $latex f:[a,b]\to[-M,M]$ y $latex g:[-M,M]\to\R$ Riemann-integrables tales que $latex g\circ f$ no lo es. Problema 3 Encuentra los siguientes límites. ( Sugerencia: utiliza sumas de Riemann de funciones apropiadas.) $latex \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}(e^{1/n} + e^{2/n} + \ldots+e^{n/n})$ $latex \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{k+1}}(1^k + 2^k + \ldots + n^k)$ $latex \displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\Big(\frac{1}{n^3+1^3} + \frac{1}{n^3+2^3} + \ldots + \frac{1}{n^3+n^3}\Big)$ $latex \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}$ Problema 4 Sea $latex...

Fecha de entrega: 18 de noviembre Problema 1 Utiliza la definición de la integral de Cauchy para mostrar que $latex \displaystyle \int_a^b x dx = \frac{b^2-a^2}{2}$. Problema 2 Considera la función $latex f(x) = \sen(1/x), \quad f(0)=0$. Calcula la suma $latex \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{f((i-1)/n)}{n}$ para diversos valores de  n . ¿Qué observas? ¿Parece que converge? Determina si $latex f(x)$ es Cauchy-integrable en $latex [0,1]$. Problema 3 Sean $latex f, g$ Cauchy-integrables. Muestra que $latex f + g$ es también Cauchy-integrable. Encuentra un ejemplo de funciones Cauchy-integrables tales que su producto no es Cauchy-integrable. Problema 4 Muestra que, si  f es Riemann-integrable, entonces es Cauchy-integrable. Muestra, con un ejemplo, que la inversa es falsa.  

Fecha de entrega: 11 de noviembre Problema 1 Muestra que $latex \displaystyle \int_0^{\pi/(2n+1)} \frac{\sen(2n+1)y}{\sen y} dy < \pi$. Problema 2 Utiliza el problema anterior para mostrar que, si $latex 0\le a < b\le \pi/2$, entonces $latex \displaystyle \bigg| \int_a^b \frac{\sen(2n+1)y}{\sen y} dy \bigg| < \pi$. Problema 3 Calcula los coeficientes de Fourier de la función $latex \displaystyle F(x) = \begin{cases} 2x+1 & -\pi < x < 0\\(x-2)/3 & 0 < x < \pi.\end{cases}$ Evalúa algunas sumas parciales para $latex x=0$ y $latex x=\pi$. Describe tus observaciones, e indica si parece que convergen al valor esperado. Problema 4 Calcula los coeficientes de Fourier de la función periódica $latex F(x)$, con periodo $latex 2\pi$, y que es igual a $latex x^2-\pi^2$ para $latex x\in(\pi, 3\pi)$. ¿A qué converge la serie en $latex x=-\pi$? ¿En $latex x=0$? Evalúa algunas sumas parciales en estos puntos.

Fecha de entrega: 4 de noviembre Problema 1 Hemos visto en clase que, si $latex \sum a_k$ y $latex \sum b_k$ convergen, entonces la serie $latex \sum(a_k+b_k)$ converge. Sin embargo, es posible que $latex \sum(a_k+b_k)$ converja mientras que $latex \sum a_k$ y $latex \sum b_k$ no lo hacen. Discute si es posible que una serie trigonométrica $latex \displaystyle a_0 + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sen kx)$ converja, y que las series de cosenos y senos $latex \displaystyle a_0 +  \sum_{k=1}^\infty a_k \cos kx, \qquad \sum_{k=1}^\infty b_k \sen kx$ no lo hagan. Problema 2 Sean $latex f,g$ funciones uniformemente continuas. Indica si $latex f+g$ y $latex fg$ son uniformemente continuas. En tal caso, demuéstralo, o, si no, da un contraejemplo. Problema 3 Sea $latex f:(a,b)\to\R$ uniformemente continua. Demuestra que tiene límites en  a y en  b . Problema 4 Encuentra un valor de $latex \zeta$ para el cual $latex \displaystyle \int_0^{2\pi} t \sen t dt = 2\pi \int_\zeta^{2\pi} \sen t ...

Fecha de entrega: 28 de octubre Problema 1 Indica si las siguientes series son convergentes en cada punto o uniformemente convergentes en el conjunto A  dado. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty n^2x^2e^{-n^2|x|}, \qquad A=\R$ $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{\sqrt k}(x^k + x^{-k}),\qquad A=[1/2,2]$ $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{\log(1+kx)}{kx^k}, \qquad A=[2,\infty)$ Problema 2 Sea $latex \sum a_kx^k$ una serie de potencias con radio de convergencia  R . Muestra que, si la serie de derivadas $latex \sum ka_kx^{k-1}$ converge en $latex x=R$, entonces la serie converge en $latex x=R$. Problema 3 Termina la demostración del teorema visto en clase:  Si $latex \sum f_k$ converge uniformemente en $latex (a,b)$ y las funciones $latex f_k$ son continuas en $latex [a,b]$, entonces la serie converge uniformemente en $latex [a,b]$. Problema 4 Muestra que $latex \displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{\sen kx}{\log k}$ es discontinua en $latex x=0$ mostrando...

Fecha de entrega: 21 de octubre Problema 1 Considera las sumas parciales $latex \displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x^2}{(1 + kx^2)(1+(k-1)x^2)}$. Calcula $latex S_n(x)$ para $latex x=1/10, 1/100, 1/1000$. Averigua cuántos términos debes sumar para que $latex S_n(x)$ se encuentre a menos de $latex \e=0{.}01$ de $latex S(x)=1$. Repite los incisos anteriores para las sumas (con $latex S(x)=0$) $latex \displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x+x^3(k-k^2)}{(1+k^2x^2)(1+(k-1)^2x^2)}$. Problema 2 Considera la serie de seno $latex \displaystyle \sen x = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}.$ Muestra que la serie converge uniformemente en el intervalo $latex [-\pi,\pi]$. Indica cuántos términos de la serie hay que sumar para estar a $latex \e=1/2, 1/10, 1/100$ del límite en este intervalo. Repite los incisos anteriores para el intervalo $latex [-2\pi, 2\pi]$. ¿La serie converge uniformemente para todo $latex \R$? Problema 3 Da un ejemplo de una serie...

Fecha de entrega: 14 de octubre Problema 1 Considera las sumas parciales de la serie de Fourier, $latex \displaystyle S_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\cos\frac{(2k-1)\pi x}{2}.$ Grafica los valores de $latex S_n(x)$ para $latex 1\le n\le 200$, con $latex x=1/2, 2/3, 9/10, 99/100.$ Dado $latex \e=0{.}1$, calcula el  N necesario para garantizar que $latex |S_n(x) - S_m(x)|<\e$ para cada uno de los  x del inciso anterior. Repite el inciso anterior con $latex \e=0{.}001$. Problema 2 Demuestra que la serie $latex \displaystyle \sum_{k=2}^\infty \frac{\sen (k/100)}{\log k}$ converge. Problema 3 Evalúa la serie $latex 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + \ldots$ en dos formas distintas: primero, como serie geométrica de cociente $latex -1/3$; segundo, agrupando cada término positivo con el siguiente negativo. Problema 4 Evalúa la serie $latex 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{32} + \dfrac{1}{64} + \dfrac{1}{128} - \...

Fecha de entrega: 7 de octubre Problema 1 Considera una serie $latex \sum a_n$ de términos distintos a cero. Sean $latex \alpha>0, N$ tales que, si $latex n\ge N$, entonces $latex |a_{n+1}/a_n|\le \alpha.$ Muestra que, para todo $latex \e>0$, existe  M tal que, si $latex n\ge M$, entonces $latex \sqrt[n]{|a_n|}<\alpha + \e$. Muestra que no necesariamente tenemos que $latex \sqrt[n]{|a_n|}\le \alpha$ para $latex n\ge N$. Muestra que, si el criterio del conciente nos dice que una serie converge absolutamente, entonces el criterio de la raíz también nos dirá lo mismo. Muestra que, si existen $latex \beta>0, N$ tales que $latex |a_{n+1}/a_n|\ge\beta$ para $latex n\ge N$, entonces para cada $latex \e>0$ existe  M tal que $latex \sqrt[n]{|a_n|}>\beta-\e$ para $latex n\ge M$. Muestra que, si $latex |a_{n+1}/a_n|$ converge, entonces $latex \sqrt[n]{|a_n|}$ converge y $latex \lim\sqrt[n]{|a_n|} = \lim\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|.$ Problema 2 Sea $latex \log_2 x =...

Esta semana no asignaré tarea, pero aquí les va una guía de lo que hemos visto en la clase que les puede ayudar para prepararse para el examen del viernes. Conceptos Entender bien estos conceptos y las relaciones entre ellos. Sucesión Serie Sumas parciales Convergencia Límite de una sucesión de una serie de una función en un punto de una función en infinito límite infinito Diferenciabilidad Continuidad Números reales Comprender su uso en las demostraciones. Propiedad arquimidiana: "no hay infinitesimales" Completitud: equivalencia de principio de intervalos encajados todo conjunto acotado tiene supremo toda sucesión de Cauchy converge Teoremas El enunciado de ellos, además de sus demostraciones. También hay que saber cómo usarlos para resolver problemas (ver ejemplos vistos en clase y problemas de tarea). Valor medio Residuo de Lagrange Residuo de Cauchy Valor medio de Cauchy Regla de l'Hôpital Máximo y ...

Fecha de entrega: 23 de septiembre Problema 1 Explica cuál es el problema con la siguiente aplicación de la regla de L'Hôpital. $latex \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x^2\sen(1/x)}{x} = \lim_{x\to0} \frac{2x\sen(1/x)-\cos(1/x)}{1}$ no existe. Problema 2 Utiliza la regla de L'Hôpital para mostrar que $latex \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{-1/x^2}}{x} = 0.$ Demuestra por inducción que $latex \displaystyle\frac{e^{-1/x^2}}{x^n} = 0$ para todo $latex n\in\N$. Problema 3 Utiliza la regla de L'Hôpital para calcular los siguientes límites, si existen. $latex \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\arctan\frac{x^2-1}{x^2+1}}{x-1}$ $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty} x\Big(\Big(1 + \frac{1}{x}\Big)^x - e\Big)$ $latex \displaystyle \lim_{x\to5} (6-x)^{1/(x-5)}$ $latex \displaystyle \lim_{x\to0^+} \Big(\frac{\sen x}{x}\Big)^{1/x}$ $latex \displaystyle \lim_{x\to0^+} \Big(\frac{\sen x}{x}\Big)^{1/x^2}$ Problema 4 Muestra que $latex \dfrac{x}{e^x-1} + \dfrac{x}{2}$ es u...

Soluciones a problemas seleccionados de la Tarea 6 . Problema 2 5. El conjunto tiene como mínimo a 0 y como supremo el límite de la sucesión 0.1111..., o sea, 1/9. 6. Claramente el mínimo es 0, porque si  n es cuadrado entonces $latex \sqrt n - \lfloor\sqrt n\rfloor = 0$. El supremo es 1. Para mostrarlo, consideremos $latex n = N^2-1$. Entonces $latex \sqrt n = N\Big(1 - \dfrac{1}{N^2}\Big)^{1/2} > N\Big(1 - \dfrac{1}{2N^2}\Big) = N - \dfrac{1}{2N}$, y por lo tanto $latex \sqrt n - \lfloor\sqrt n\rfloor > N - \dfrac{1}{2N} - (N-1) = 1 - \dfrac{1}{2N}.$ Como  N es arbitrario, este número es tan cercano a 1 como se desee. 7. Como $latex (m-2n)^2\ge0$, tenemos que $m^2 + 4n^2 \ge 4mn$, y por lo tanto $latex \dfrac{m}{n} + \dfrac{4n}{m} = \dfrac{m^2 + 4n^2}{mn} \ge 4$, por lo que 4 es una cota mínima. Como tal número se alcanza con $latex m=2, n=1$, 4 es el ínfimo. Si $latex m=1$, entonces $latex \dfrac{m^2+4n^2}{mn} = \dfrac{1 + 4n^2}{n} > 4n$. Concluimos entonces que el conjun...

Fecha de entrega: 16 de septiembre Problema 1 Encuentra una función acotada $latex f:[0,1]\to\R$ que no toma su valor supremo o ínfimo. Encuentra una función diferenciable en 1 tal que $latex f'(1)=0$ y que no tenga un extremo en 1. Problema 2 Averigua si los siguientes conjuntos son acotados por debajo o por arriba, y encuentra el ínfimo y el supremo si es el caso: el intervalo (0,3) $latex \{1, 1/2, 1/4, 1/8, \ldots\}$ $latex \{1, 1+1/2, 1+1/2+1/4,1+1/2+1/4+1/8,\ldots\}$ $latex \{2/1, (2\cdot2)/(1\cdot3),(2\cdot 2\cdot 4)/(1\cdot 3\cdot 3), (2\cdot 2\cdot 4\cdot 4)/(1\cdot 3\cdot 3 \cdot 5),\ldots\}$ el conjunto de números entre 0 y 1 con expansión decimal consistente de solo los dígitos 0 y 1 $latex \{\sqrt n - \lfloor\sqrt n\rfloor:n\in\N\}$ $latex \{m/n + 4n/m: m,n\in\Z_+\}$ $latex \{ mn/(4m^2+n^2): m,n\in\Z_+\}$ Problema 3 Muestra que el enunciado " todo conjunto no vacío acotado por arriba tiene un supremo " implica el principio de intervalos en...

Fecha de entrega: 9 de septiembre Problema 1 Para la función $latex f(x) = x^2\sen(1/x^2)$ vista en clase, los puntos $latex x_0$ y números positivos $latex \e$ dados, encuentra $latex \delta$ tal que si $latex 0<|x-x_0|<\delta$ entonces $latex \displaystyle \Big|\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} - f'(x_0)\Big| < \e.$ $latex x_0 = 1/\sqrt{2\pi}, \e = 0{.}1$ $latex x_0 = 1/\sqrt{2\pi}, \e = 0{.}01$ $latex x_0 = 1/\sqrt{200\pi}, \e = 0{.}01$ $latex x_0 = 1/\sqrt{200\pi}, \e = 0{.}001$ Problema 2 Encuentra otra función que sea diferenciable en $latex [0,1]$, pero cuya derivada no es acotada. Problema 3 Encuentra una función que no sea continua en $latex [0,1]$, pero que sí satisfaga la propiedad del valor intermedio en ese intervalo. Problema 4 Sea $latex f:[0,1]\to[0,1]$ continua. Muestra que existe $latex c\in[0,1]$ tal que $latex f(c) = c$. Problema 5 Muestra que la ecuación $latex (1-x)\cos x = \sen x$ tiene al menos una solución en $latex (0,1)$. Problema 6 Sea  f con...

Fecha de entrega: 2 de septiembre Problema 1 Sea $latex f(x) = \sen x$. Encuentra el error $latex e(f,x,\pi/2)$ como función de  x . Encuentra un $latex \delta>0$ que sea suficiente para que $latex |e(f,x,\pi/2)|<\e$ para $latex \e = 0{.}1, 0{.}001, 10^{-100}$. ¿Cómo debemos seleccionar $latex \delta$ para $latex \e$ arbitrario dado? Problema 2 Muestra que si  f es continua en $latex x_0$ y $latex \lim_{x\to x_0} f'(x)$ existe, entonces  f es diferenciable en $latex x_0$ y $latex \lim_{x\to x_0} f'(x) = f'(x_0)$. Problema 3 Sean $latex f, g$ diferenciables en $latex x_0$. Encuentra $latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{xf(x_0) - x_0f(x)}{x-x_0}$ $latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x)}{x-x_0}$ Problema 4 Sea  f diferenciable en $latex p$ y $latex x_n, y_n$ sucesiones que convergen a $latex p$, tales que $latex x_n\not= p, y_n\not=p, x_n\not=y_n$, para todo  n . Da ejemplos para los cuales el cociente $latex \dfrac{f(x_n) - f(y_n)...

Fecha de entrega: 26 de agosto Problema 1 Identifica el problema del siguiente argumento: Dada una función  f , tenemos que $latex \displaystyle \int_1^2 f(x)dx = \int_0^2 f(x)dx - \int_0^1 f(x)dx.$ Si hacemos el cambio de variable $latex x=2y$ en la primer integral de la derecha, tenemos $latex \displaystyle \int_0^2 f(x)dx = 2\int_0^1 f(2y) dy.$ Sea  f una función tal que $latex f(2x) = \frac{1}{2}f(x)$ para todo  x . Entonces $latex \displaystyle \int_1^2 f(x)dx = 2\int_0^1 \frac{1}{2}f(x)dx - \int_0^1 f(x)dx = 0.$ La función $latex f(x) = 1/x$ satisface que $latex f(2x) = f(x)/2$. Así $latex \int_1^2 dx/x = 0$ y, por lo tanto, $latex \log 2 = 0.$ Problema 2 Encuentra una función sencilla $latex \omega$, en términos de $latex \log$, tal que $latex \displaystyle \lim\Big( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{2n-1} - \omega(n)\Big) = 0.$ Problema 3 Muestra la identidad de Bernoulli vista en clase integrando repetidamente por partes: $latex \displaystyle \int_0^x f(t)dt =...

Fecha de entrega: 19 de agosto Problema 1 Encuentra el límite de las siguientes series. Para cada una, encuentra  n tal que sus sumas parciales, a partir de la  n -ésima, están a distancia .001 del límite. $latex 1 - \dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{16} - \dfrac{27}{64} + \ldots$ $latex \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{36} - \dfrac{25}{216} + \ldots$ $latex 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{32} + \ldots$ Problema 2 Demuestra la convergencia de la serie $latex 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots = \dfrac{1}{(1-x)^2}$ para $latex |x|<1$, utilizando las ideas de Cauchy. Repite el problema anterior con las siguientes series. $latex 1 - \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{9} - \dfrac{4}{27} + \ldots$ $latex 2 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{9} - \dfrac{3}{27} + \dfrac{6}{81} - \dfrac{5}{243} + \ldots$ Problema 3 Demuestra la identidad de Machin $latex \dfrac{\pi}{4} = 4\arctan\dfrac{1}{5} - \arctan\dfrac{1}{239}$. Problema 4 ¿Cuántos terminos necesitas suma...

Fecha de entrega: 12 de agosto Problema 1 Grafica las superficies obtenidas por las sumas parciales al sumar 1, 2, 5, 10, 100 términos de la serie $latex \displaystyle \frac{4}{\pi} \Big( e^{-\frac{\pi y}{2}} \cos\frac{\pi x}{2} - \frac{1}{3} e^{-\frac{3\pi y}{2}}\cos\frac{3\pi x}{2} + \frac{1}{5}e^{-\frac{5\pi y}{2}}\cos\frac{5\pi x}{2} - \frac{1}{7}e^{-\frac{7\pi y}{2}}\cos\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big)$ para $latex x\in[-1,1], y\in[0,2]$. Problema 2 Considera la suma de Fourier vista en clase $latex \displaystyle \frac{4}{\pi} \Big( \cos\frac{\pi x}{2} - \frac{1}{3} \cos\frac{3\pi x}{2} + \frac{1}{5}\cos\frac{5\pi x}{2} - \frac{1}{7}\cos\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big).$ ¿A qué valor se acerca esta serie cuando  x se acerca a 1 por la izquierda? ¿A qué valor se acerca esta serie cuando  x se acerca a 1 por la derecha? ¿Cuál es el valor de esta serie si  x =1? Problema 3 Considera la suma que obtenemos si diferenciamos término a término la suma anterior: $latex \displaystyle ...

Fecha de entrega: 30 de noviembre Lista de problemas tomados de EM Stein & R Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction , Princeton Capítulo 2: Propiedades básicas de las series de Fourier 2, 6, 10, 15, 17.

Fecha de entrega: 23 de noviembre Lista de problemas tomados de ED Gaughan,  Introduction to Analysis , 5th ed., AMS. Capítulo 7: Sucesiones y series de funciones Proyecto 7.2: 1-8.

Fecha de entrega: 16 de noviembre Lista de problemas tomados de ED Gaughan,  Introduction to Analysis , 5th ed., AMS. Capítulo 7: Sucesiones y series de funciones 1, 5, 8, 12, 13