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### Notas del curso de multiplicadores

Las notas del curso que impartí en la Escuela de análisis ya están en la página de la escuela. Pueden verlas aquí:  Notas del curso Operadores de multiplicación La idea del curso fue introducir el Análisis armónico, tomando como pretexto la teoría de operadores de multiplicación, empezando con operadores diagonalizados y su relación con el teorema espectral de álgebra lineal, además de métodos de sumabilidad de series. El objetivo final es la demostración del teorema de Marcinkiewicz de multiplicadores de Fourier, que utiliza el teorema de Calderón y Zygmund de integrales singulares. Como “paréntesis cultural”, presento un bosquejo del contraejemplo de Fefferman a la conjetura del disco, que muestra que el operador de la bola no puede ser acotado en el espacio euclideano de dimensión mayor a 1.

### Bibliografía del curso de multiplicadores

Escuela de Análisis matemático Análisis de Fourier y operadores de multiplicación Bibliografía Clase 1: métodos de sumabilidad, teorema de Fejér Elias M. Stein, Rami Shakarchi,  Fourier Analysis: An Introduction , Princeton books.google.com.mx/books?id=FAOc24bTfGkC T. W. Körner, Fourier Analysis, Cambridge books.google.com.mx/books?id=OcZ5iKsGrmoC Clase 2: transformada de Fourier, distribuciones Elias M. Stein, Guido Weiss,  Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , Princeton books.google.com.mx/books?id=xnIwDAAAQBAJ Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons books.google.com.mx/books?id=wI4fAwAAQBAJ Clase 3: multiplicador de la bola Elias M. Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton books.google.com.mx/books?id=ljcOSMK7t0EC Javier Enrique Sáenz Casas, La conjetura de Kakeya, Tesis en Universidad de Colima siabuc.ucol.mx/catalogo/?idfi

### Problemas 1

Escuela de Análisis matemático Análisis de Fourier y operadores de multiplicación Si $T:V\to V$ es simétrico y $\lambda_i\not=\lambda_j$ son eigenvalores reales distintos de $T$, con eigenvectores $u_i, u_j$ correspondientes, entonces $u_i\perp u_j$. Sea $T:\mathscr H\to\mathscr H$ un operador acotado diagonalizado con sucesión multiplicadora $\lambda_k$. T es unitario si, y solo si, $|\lambda_k|=1$ para todo k . T es una proyección ortogonal si, y solo si, todo $\lambda_k = 0\text{ o } 1$. T es un operador compacto si, y solo si, $\lambda_k \to 0$. Si $\sum a_n$ es una serie convergente, entonces es Cesàro-sumable. Si $\sum a_n$ es Cesàro-sumable, entonces es Abel-sumable.

### Problem Set 11

Park City Mathematics Institute Undergraduate Summer School 2018 Introduction to Harmonic Analysis Prove by induction, for the interval case, that $\min\{ \mathscr E_m(u): u|_{\{0,1\}}=v\} = \mathscr E_0(v) = (v(0)-v(1))^2,$ with the minimizer satisfying $\displaystyle u\Big(\frac{2k+1}{2^m}\Big) = \frac{1}{2}\Big(u\Big(\frac{k}{2^{m-1}}\Big) + u\Big(\frac{k+1}{2^{m-1}}\Big)\Big).$ The minimum of $f(x,y,z) = (a-x)^2 + (x-y)^2 + (y-a)^2 + (x-b)^2 + (b-z)^2 + (z-x)^2 + (y-z)^2 + (z-c)^2 + (c-y)^2$ is attained at $\displaystyle x^* = \frac{2a+2b+c}{5},\; y^* = \frac{2a+b+2c}{5},\; z^* = \frac{a+2b+2c}{5},$ with $f(x^*, y^*, z^*) = \dfrac{3}{5}\big((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\big).$ Prove that one can obtain the values $u(F_2(q_1)) = x, u(F_3(q_1)) = y$ of a harmonic function in terms of the values $a,b,c$ at the points $p_2, q_1, p_3$, respectively  (as in the figure below). Use the previous problem to show that, if $u$ is a ha

### Problem Set 10

Park City Mathematics Institute Undergraduate Summer School 2018 Introduction to Harmonic Analysis Show that $||\cdot||_{H^1}$ is a norm, by showing it is induced by an inner product. Consider, for a connected domain $\Omega$, the energy form $\mathscr E(u,v) = \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v$. $\mathscr E(u,v)$ is an inner product on $H^1$ modulo constants. $\mathscr E(u,v)$ is an inner product on $H_0^1$. Show the equivalences of the Dirichlet principle.

### Problem Set 9

Park City Mathematics Institute Undergraduate Summer School 2018 Introduction to Harmonic Analysis Extend the result that the Hilbert transform is of weak-type $L^1$ to any operator of the form $Tf = K*f$ where $K$ satisfies: $\hat K\in L^\infty(\R)$ (say, taking the Fourier transform in the $L^2$ sense); there exists a constant $A>0$ such that $|K'(x)| \le A/x^2$ for any $x\in\R, \; x\not=0$. Show that we can replace (2) above by the condition 2'. There exists a constant $A>0$ such that $\displaystyle \int_{|x|\ge 2|t|} |K(x-t) - K(x)| dx \le A$ for any $t\in\R$. (Chebyshev Inequality) If $f\in L^p$, for some $1 < p <\infty$, then $|\{x : |f(x)|>\alpha\}| < \dfrac{1}{\alpha^p} ||f||_{L^p}^p$ Prove that we can substitute the condition $\hat K\in L^\infty$ with the boundedness of $T$ on any $L^q(\R), \; q>1$, that is, 1'. there exists a

### Homework 13, Real Analysis 2

Due May 25 Problem 1 Suppose $\tau$ is measure-preserving, with $\mu(X) = 1$. If  E is invariant, then there exists a set  E' so that $E' = \tau^{-1}(E')$, and  E and  E' differ by a set of measure zero. Problem 2 Let $\tau$ be measure-preserving, with $\mu(X)=1$. Then $\tau$ is ergodic if and only if whenever $\nu$ is absolutely continuous with respect to $\mu$ and $\nu$ is invariant (that is $\nu(\tau^{-1}(E) = \nu(E)$ for all measurable  E ), then $\nu = c\mu$), then $\nu = c\mu$ for some constant  c . Problem 3 The Hausdorff measure $\mathscr H^\alpha$ is not $\sigma$-finite on $\R^d$ if $\alpha < d$. Problem 4 Let $\{E_k\}$ be a sequence of Borel sets in $\R^d$. If $\dim E_k\le\alpha$ for all  k , then $\displaystyle \dim \bigcup E_k \le \alpha$.

### Tarea 14, Matemáticas discretas

Fecha de entrega: 25 de mayo Problema 1 Sea  G el grafo cuyos vértices corresponden a las aristas de $K_5$, y en el cual son adyacentes si dichas aristas tienen un vértice en común. Calcula el número cromático de  G .  Problema 2 Muestra que las regiones formadas por rectas en el plano son 2-coloreables. Muestra que las regiones formadas por una curva cerrada en el plano (que posiblemente se interseca a sí misma) son 2-coloreables. Problema 3 Da un ejemplo de un mapa, con países no necesarimente conexos, que no sea 100-colorable. Problema 4 Si cada cara de un mapa planar tiene un número par de aristas, entonces el grafo es bipartito. Si cada vértice de un mapa planar tiene grado par, entonces las caras son 2-coloreables. Problema 5 Considera el plano de Fano  $\mathcal F$ visto en clase. Representa cada recta en el plano de Fano por un punto, y cada punto x  de $\mathcal F$ como una recta que contiene, como puntos, a las rectas en $\mathcal F$ que pas

### Homework 12, Real Analysis 2

Due May 18 Problem 1 The purpose of the following exercises is to prove the following statement:  If $\mu$ is a translation-invariant Borel measure on $\R^d$ that is finite on compact sets, then $\mu$ is a multiple of Lebesgue measure. Let $Q_r$ be a translate of the cube $\{x\in\R^d: 0 < x_j \le r, j=1,\ldots,d\}.$ If $\mu(Q_1) = c$, then $\mu(Q_{1/n}) = c/n^d$ for each integer  n . $\mu$ is absolutely continuous with respect to  m , and there is a locally integrable function  f such that $\displaystyle \mu(E) = \int_E f dx.$ By the differentiation theorem, is follows that $f(x) = c$ a.e., and hence $\mu = cm$. Problem 2 Suppose $\nu, \nu_1, \nu_2$ are signed measures on $(X,\mathscr M)$ and $\mu$ a positive measure. If $\nu_1\perp\mu$ and $\nu_2\perp\mu$, then $\nu_1+\nu_2 \perp \mu$. If $\nu_1\ll \mu$ and $\nu_2\ll\mu$, then $\nu_1 + \nu_2 \ll\mu$.

### Tarea 13, Matemáticas discretas

Fecha de entrega: 18 de mayo Problema 1 ¿Es planar el grafo que resulta de eliminar una arista de $K_5$? ¿Es planar el complemento de un ciclo de longitud 6? ¿Es planar el grafo que resulta de agregar a un hexágono sus tres diagonales principales? Problema 2 Supón que queremos unir tres casas a tres pozos. ¿Es posible hacerlo sin que los caminos se crucen? Problema 3 Muestra que un grafo planar bipartito, con n vértices, puede tener a lo más 2 n -4 aristas. Problema 4 Muestra que un polihedro convexo, que solo tiene caras pentagonales y hexagonales, debe tener exactamente 12 caras pentagonales. Problema 5 Muestra que los siguientes grafos no son 3-coloreables. Problema 6 Considera  n  rectas genéricas en el plano, y considera el grafo formado por sus puntos de intersección y los segmentos de recta entre ellos. Muestra que este grafo es 3-coloreable. Problema 7 Muestra el corolario visto en clase:  si G es un grafo tal que cada subgrafo de G tiene al menos un vértice de gra

### Homework 11, Real Analysis 2

Due May 11 Problem 1 Let $\rho:\R^d\to\R^d$ be a rotation. Then it induces a measure-preserving map of the sphere $\mathbb S^{d-1}$ with its measure $\sigma$. Problem 2 Use the polar coordinate formula to prove the following statements. $\displaystyle \int_{\R^2} e^{-\pi |x|^2} dx = 1$ $\displaystyle \int_{\R^d} e^{-\pi |x|^2} dx = 1$ for any  d . $\sigma(\mathbb S^{d-1}) = \dfrac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}$. $\displaystyle m(\mathbb B^d) = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2+1)}.$ Problem 3 If $\mu$ is a finite Borel measure on the interval $[a,b]$, then $\displaystyle f\mapsto l(f) = \int_a^b f d\mu$ is a linear functional on $C([a,b])$, positive in the sense that $l(f)\ge 0$ if $f\ge 0$. Conversely, if  l is a positive linear functional on $C([a,b])$, there exists a unique finite Borel measure $\mu$ on $[a,b]$ such that $l(f) = \int f d\mu$ for every $f\in C([a,b])$.

### Tarea 12, Matemáticas discretas

Fecha de entrega: 11 de mayo Problema 1 ¿Es planar el grafo que resulta de eliminar una arista de $K_5$? ¿Es planar el complemento de un ciclo de longitud 6? ¿Es planar el grafo que resulta de agregar a un hexágono sus tres diagonales principales? Problema 2 Supón que queremos unir tres casas a tres pozos. ¿Es posible hacerlo sin que los caminos se crucen? Problema 3 Muestra que un grafo planar bipartito, con n vértices, puede tener a lo más 2 n -4 aristas. Problema 4 Muestra que un polihedro convexo, que solo tiene caras pentagonales y hexagonales, debe tener exactamente 12 caras pentagonales.

### Tarea 11, Matemáticas discretas

Fecha de entrega: 4 de mayo Problema 1 Muestra que, si  G tiene un apareamiento perfecto, entonces todo apareamiento maximal (en el sentido en que no existen aristas entre U y W libres) usa al menos la mitad de los vértices de  G . Problema 2 Utiliza el algoritmo de trayectorias de aumento para, si es posible, obtener un apareamiento perfecto del siguiente grafo. Problema 3 Averigua si el siguiente grafo tiene un apareamiento perfecto. Problem 4 Dadas al menos 3 rectas genéricas en el plano, muestra que entre las regiones en que dividen al plano se encuentra al menos un triángulo. Problema 5 ¿En cuántas regiones dividen al plano dos  n -ágonos convexos? Problema 6 ¿Cuál es el mínimo y el máximo número de regiones en que dividen al plano  n círculos? Problema 7 Muestra que 6 puntos genéricos en el plano forman al menos 3 cuadriláteros convexos. Encuentra 8 puntos genéricos en el plano que no contienen un pentágono convexo.

### Tarea 6, Matemáticas discretas

Fecha de entrega: 16 de marzo Problema 1 Decimos que un subconjunto de $\{1, 2, \ldots, n\}$ es  extraordinario si satisface que su mínimo es igual a su número de elementos, o sea $\min S = |S|.$ Por ejemplo, $\{3,5,8\}$ es extraordinario. Muestra que el número de subconjuntos extraordinarios de $\{1, 2, \ldots, n\}$ es igual al número de Fibonacci $F_n$. Problema 2 Sean $2n$ puntos equidistantes en un círculo, y $f_n$ el número de formas en que podemos unir estos puntos en pares, de tal manera que los $n$ segmentos no se crucen. Encuentra una fórmula recursiva para $f_n$. Problema 3 Muestra que el número de arreglos de $2\times n$ $\begin{pmatrix}x_{11}& x_{12}&\ldots& x_{1n}\\x_{21}& x_{22}&\ldots& x_{2n}\end{pmatrix}$ con los números $1, 2, \ldots, 2n$ de tal forma que cada renglón y cada columna es creciente, es igual a $C_n$. Problema 4 Determina la división en diagonales del pol