Tarea 9, Cálculo 4

Fecha de entrega: 28 de marzo

Problema 1

Encuentra el radio de convergencia de las siguientes series de potencias.

1. $latex \displaystyle \sum_{k=0}^\infty 2^k z^k$


2. $latex \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{k}{6^k} z^k$


3. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k z^{2k}}{k^2+k}$


4. $latex \displaystyle \sum_{k=3}^\infty (\log k)^{k/2} z^k$


5. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{z^{2k}}{4^kk^k}$

Problema 2

Determina para cuáles $latex z$ las siguientes series convergen.

1. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty (z-1)^k$


2. $latex \displaystyle \sum_{k=0}^\infty 2^k(z-2)^k$


3. $latex \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \frac{2^k}{k^2} (z-2-i)^k$

Problema 3

Indica qué funciones son representadas por las siguientes series de potencias.

1. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k z^k$


2. $latex \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k^2 z^k$

Problema 4

Encuentra el radio de convergencia de las series de potencias para las siguientes funciones alrededor del punto $latex z_0$ indicado.

1. $latex \displaystyle \frac{1}{z-1}, z_0=i$


2. $latex \displaystyle \frac{1}{\cos z}, z_0 =0$


3. $latex \displaystyle \Log z, z_0=1+2i$


4. $latex \displaystyle \frac{z-i}{z^3-z}, z_0=2i$

Problema 5

Muestra que el radio de convergencia de la expansión en serie de potencias de

$latex \displaystyle \frac{z^2-1}{z^3-1}$

alrededor de $latex z=2$ es $latex \sqrt 7$.

Problema 6

Recuerda que para un número complejo $latex \alpha$ el coeficiente binomial está definido por

$latex \displaystyle \binom{\alpha}{0} = 1, \quad \binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}, \quad n\ge 1.$

Encuentra el radio de convergencia de la serie binomial

$latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} z^n.$

Muestra que la serie binomial representa la rama principal de la función $latex (1+z)^\alpha$.

¿Para cuáles $latex \alpha$ la serie binomial se reduce a un polinomio?