Tarea 8, Cálculo 3

Fecha de entrega: 3 de octubre

Problema 1

Muestra que

$latex \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} = 0$

mostrando que, dado $latex \e>0$, existe $latex \delta>0$ tal que si

$latex |(x,y)-(1,0)| = \sqrt{(x-1)^2+y^2}<\delta$

entonces

$latex \Big|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\Big| < \e$.

Sigue los siguientes pasos.

1. Muestra que $latex |(x,y)-(1,0)|<\delta$ implica que $latex -\delta<y<\delta$ y $latex 1-\delta<x<1+\delta$.


2. De las desigualdades anteriores, concluye que, si $latex 0<\delta<1$, entonces $latex \Big|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\Big|<\dfrac{\delta(1+\delta)}{(1-\delta)^2}.$


3. Utiliza el punto anterior para encontrar $latex \delta$ en función de $latex \e$.

Problema 2

Extiende la función $latex f(x,y) = \dfrac{\sen(x^2+y^2)}{x^2+y^2}, \; (x,y)\not=(0,0)$, al punto $latex (0,0)$ de tal manera que sea continua en ese punto.

Problema 3

Averigua si las siguientes funciones son continuas en $latex (0,0)$.

1. $latex f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}&(x,y)\not=(0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}$


2. $latex f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}&(x,y)\not=(0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}$

Problema 4

Sean $latex \hat u_1 = (1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2)$, $latex \hat u_2 = (-1/\sqrt 5, 2/\sqrt 5)$, y supón que $latex f$ es una función tal que

$latex \partial_{\hat u_1}f(\vec x_0) = \dfrac{3}{\sqrt 2} \quad \text{y}\quad \partial_{\hat u_2}f(\vec x_0) = -\dfrac{1}{\sqrt 5}$

en un punto $latex \vec x_0$ dado. Calcula $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $latex \dfrac{\partial f}{\partial y}$ en $latex \vec x_0$.

Problema 5

Encuentra el gradiente de cada una de las siguientes funciones.

1. $latex f(x,y,z) = \sen xy + \cos yz$


2. $latex f(x,y,z) = xe^{yz}$


3. $latex f(x,y,z) = 1/\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Problema 6

El periodo de un péndulo simple está dado por

$latex T = 2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$,

donde $latex l$ es la longitud y $latex g$ la constante gravitacional. Si calculamos $latex T$ tomando $latex \pi = 3{.}14$ ($latex |\text{error}|<0{.}002$), $latex l=40 \text{cm}$ ($latex |\text{error}|<0{.}1$), y $latex g = 980 \text{cm}/s^2$ ($latex |\text{error}|<0.7$), encuentra una aproximación al error de $latex T$.

Problema 7

Encuentra la matrix jacobiana de las siguientes funciones.

1. $latex \vec f(x,y) = (x^2y,xy,xy^2)$


2. $latex \vec f(x,y,z) = (x\sen y, z\cos y)$


3. $latex \vec f(x,y,z) = (xe^{yz},ye^{xz},ze^{xy})$

Problema 8

Encuentra el jacobiano de la transformación $latex (u,v,w) = \vec f(x,y,z)$ del inciso (3) del problema anterior, y expresa la 3-forma $latex dudvdw$ en términos de $latex dxdydz$.