Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 2 de mayo Problema 1 Encuentra las singularidades aisladas de las siguientes funciones, y determina si son removibles, polos, o esenciales. En caso de ser un polo, determina el orden y calcula su parte principal. $latex \displaystyle \frac{z}{(z^2-1)^2}$ $latex \displaystyle \frac{e^{2z}-1}{z}$ $latex z^2\sin\dfrac{1}{z}$ $latex \Log\Big(1 - \dfrac{1}{z}\Big)$ $latex e^{1/(z^2+1)}$ Problema 2 En el problema anterior, determina cuáles funciones tienen una singularidad aislada en infinito, y clasifícala. Problema 3 Para cada una de las siguientes funciones, encuentra el radio de convergencia de su serie de potencias alrededor del punto indicado. $latex \dfrac{z-1}{z^4-1}$, alrededor de $latex 3+i$ $latex \dfrac{\cos z}{z^2-\pi^2/4}$, alrededor de $latex 0$ $latex \dfrac{z}{\sin z}$, alrededor de $latex \pi i$ $latex \dfrac{z^2}{\sin^3 z}$, alrededor de $latex \pi i$ $latex \dfrac{z^2-z}{\tan\pi z}$, alrededor de $latex 1/2+i$ Problema 4 Encuentra la

Fecha de entrega: 4 de abril. Problema 1 Encuentra los ceros y sus órdenes en las siguientes funciones: $latex \dfrac{z^2+1}{z^2-1}$ $latex \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^5}$ $latex \dfrac{\cos{z}-1}{z}$ $latex \cos{z}-1$ Problema 2 De las funciones del ejercicio anterior determina cuáles son analíticas en $latex \infty$, y determina el orden de todos los ceros en $latex \infty$. Problema 3 Muestra que los ceros de $latex \tan{z}$ son todos simples. Problema 4 Encuentra todas las posibles expansiones de Laurent centradas en $latex 0$ de las siguientes funciones: $latex \dfrac{1}{z^2-z}$ $latex \dfrac{z-1}{z+1}$ $latex \dfrac{1}{(z^2-1)(z^2-4)}$ Problema 5 Para cada una de las funciones en el ejercicio anterior, encuentra la expansión de Laurent centrada en $latex z=-1$ que converge en $latex z=\frac{1}{2}$. Determina el mayor conjunto abierto en el cual cada serie converge.

Fecha de entrega: 4 de abril. Problema 1 Expande la siguientes funciones en su serie de potencias alrededor de $latex \infty$: $latex \dfrac{1}{z^2+1}$ $latex \dfrac{z^2}{z^3-1}$ $latex e^{1/z^2}$ $latex z\sinh{1/z}$ Problema 2 Suponga que $latex f(z)$ es analítica en $latex \infty$, con expansión en serie $latex f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{b_k}{z^k},\qquad |z|>\frac{1}{\rho}$. Sea $latex \sigma \ge 0$ el menor número tal que $latex f(z)$ extiende una función analítica para $latex |z| > \sigma$. Muestra que la serie $latex \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{b_k}{z^k}$ converge absolutamente para $latex |z|>\sigma$ y diverge para $latex |z|<\sigma$. Problema 3 Calcula los términos al orden 5 de la expansión en serie alrededor de $latex z=0$ de la función $latex z/\sen z$. Problema 4 Calcula los términos al orden 7 de la expansión en serie alrededor de $latex z=0$ de la función $latex \cot z$. Problema 5 Define los números de Bernoulli $latex B_n$  por $latex \dfrac{z}{2}\c