Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 2 de diciembre Problema 1 Dibuja la región limitada por las curvas dadas, y utiliza el método de las capas para calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar la región alrededor del eje $latex y$. $latex y = x, y = 0, x = 1$ $latex y = \sqrt x, x = 4, y = 0$ $latex y = \sqrt x, y = x^3$ $latex y = x, y = 2x, y = 4$ $latex x = y^2, x = y + 2$ $latex x = \sqrt{9 - y^2}, x = 0$ Problema 2 Dibuja la región limitada por las curvas dadas, encuentra su centro de masa, y utiliza el teorema de Pappus para calcular el volumen de los sólidos de revolución obtenidos al girar la región alrededor de ambos ejes. $latex y = x^3, y = 0, x = 2$ $latex y = x^3, y = \sqrt x$ $latex y = 3x, y = 6, x = 1$ $latex y = x^2 + 1, y = 1, x = 3$ $latex y = \sqrt{1 - x^2}, x + y =1$ $latex y = x^{1/3}, y = 1, x = 8$ Problema 3 Encuentra el volumen del cono de helado formado por un cono recto, de semiángulo $latex \theta$ e hipotenusa $latex R$, y una semi

Fecha de entrega: 2 de diciembre Problema 1 Utiliza el teorema de Green para evaluar la integral de línea $latex \displaystyle \oint_C x^3y dx + xy dy,$ donde $latex C$ es el cuadrado con vértices en $latex (0,0), (2,0), (2,2), (0,2).$ Problema 2 Utiliza el teorema de Green para evaluar la integral de línea $latex \displaystyle \oint_C x\sen y\, dx - x\cos y\, dy,$ donde $latex C$ es el rectángulo $latex (1, \pi/2), (3, \pi/2), (3, \pi), (1, \pi)$. Problema 3 Encuentra el trabajo realizado por la fuerza $latex \Big( y^2 + \dfrac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\Big)dx + \Big( x^3 + \dfrac{y^2}{\sqrt{1+y^2}}\Big) dy$ en una partícula que gira, en dirección opuesta a las manecillas del reloj, sobre el círculo $latex x^2 + y^2 = 4.$ Problema 4 Utiliza el teorema de Gauss para evaluar $latex \displaystyle \int_S (x-y)dydz + (y^2+z^2)dzdx + (y-x^2)dxdy,$ donde $latex S$ es la superficie del cubo $latex [0,1]\times[0,1]\times[0,1]$, con la orientación del vector normal hacia afuera. Problema 5 Utiliza el

Fecha de entrega: 25 de noviembre Problema 1 Dibuja la región limitada por las curvas dadas, y encuentra el volumen del sólido obtenido al rotarla alrededor del eje $latex x$. $latex y = x^2, y = 9$ $latex y = x^2, y = x^{1/3}$ $latex y = x^2, y = x + 2$ $latex y = 1 - |x|, y = 0$ $latex y = \cos x, y = x + 1, x = \pi/2$ Problema 2 Dibuja la región limitada por las curvas dadas, y encuentra el volumen del sólido obtenido al rotarla alrededor del eje $latex y$. $latex x + 3y = 6, x = 0, y = 0$ $latex y = \sqrt x, y = x^3$ $latex x = y^3, x = 8, y = 0$ $latex y = x, y = 2x, x = 4$ $latex x = y^2, x = 2 - y^2$ Problema 3 La base de un sólido es el círculo $latex x^2 + y^2 = R^2$, y sus secciones transversales (rebanadas) perpendiculares al eje $latex x$ son cuadradas. Encuentra su volumen. Problema 4 Encuentra el volumen del sólido obtenido al girar la elipse $latex \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ alrededor del eje $latex x$.

Fecha de entrega: 25 de noviembre Problema 1 Calcula el diferencial $latex d\omega$ de las siguientes formas. $latex \omega = x^2y dx + xy^2 dy$ en $latex \R^2$ $latex \omega = (x-y)^2 dx + xyz dy - (x-z)^2 dz$ en $latex \R^3$ $latex \omega = \sen xy \, dydz + \sen yz \, dzdx + \sen xz \, dxdy$ en $latex \R^3$ $latex \omega = 2xy^2z^2 dx + (2x^2yz^2 - 2)dy + (2x^2y^2z +2z)dz$ en $latex \R^3$ Problema 2 Para las 1-formas en $latex \R^3$ $latex \w_1 = f dx + g dy + h dz \qqy \w_2 = r dx + s dy + t dz,$ verifica la identidad $latex d(\w_1 \w_2) = (d\w_1)\w_2 - \w_1(d\w_2).$ Problema 3 Muestra que la 1-forma $latex \w = \dfrac{(x+1)dx + y dy}{\sqrt{(x+1)^2 + y^2}}$ es cerrada. ¿Dónde no está definida? Problema 4 Integra la 1-forma $latex \w$ del problema anterior sobre las curvas de $latex (-2,0)$ a $latex (2,0)$ $latex C_1 = \Big\{ (2\sen t, 2\cos t): -\dfrac{\pi}{2} \le t \le \dfrac{\pi}{2} \Big\}$ y $latex C_2 = \Big\{(2\sen t, -2\cos t): -\dfrac{\pi}{2} \le t \le \dfrac{\pi}{2}

Fecha de entrega: 18 de noviembre Problema 1 Calcula las siguientes antiderivadas mediante un cambio de variable. $latex \displaystyle \int \frac{dx}{(2 - 3x)^2}$ $latex \displaystyle \int \sqrt{ax + b} dx$ $latex \displaystyle \int \frac{t}{(4t^2 + 9)^2} dt$ $latex \displaystyle \int x^{n-1} \sqrt{a + bx^n} dx$ $latex \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{ x^2 + 1}} dx$ $latex \displaystyle \int 2x^3 (1 - x^4)^{-1/4} dx$ $latex \displaystyle \int \frac{b^3 x^3}{\sqrt{1 - a^4x^4}} dx$ $latex \displaystyle \int x\sqrt{x+1} dx$ $latex \displaystyle \int x\sqrt{2x-1} dx$ $latex \displaystyle \int t(2t+3)^8 dt$ Problema 2 Calcula las siguientes integrales mediante un cambio de variable. $latex \displaystyle \int_0^1 x(x^2 + 1)^3 dx$ $latex \displaystyle \int_{-1}^1 \frac{r}{(1 + r^2)^4} dr$ $latex \displaystyle \int_0^3 \frac{r}{\sqrt{r^2 + 16}} dr$ $latex \displaystyle \int_0^a y\sqrt{a^2 - y^2} dy$ Problema 3 Calcula el área bajo la curva de la gráfica de la funci

Fecha de entrega: 18 de noviembre Problema 1 Encuentra los puntos estacionarios, y describe su tipo (máximo o mínimo local, punto silla). $latex f(x,y) = x^2 - 2xy - y^2 + 4x - 2y$ $latex f(x,y) = 3x^2 - 6xy + 3y^2 + 2x - 2y$ $latex f(x,y) = \sen x \cos y$ $latex f(x,y) = x^2 - 4y^2 + 2z^2 - 3xy + 4yz + 2y - 3z$ $latex f(x,y) = y^2 - x^2y - yz^2 + x^2z^2$ Problema 2 Encuentra los extremos de $latex f$, sujetos a las restricciones descritas. $latex f(x,y) = x^3 - xy^2, \quad x^2 + y^2 = 1$ $latex f(x,y) = x^2 + y^2, \quad x^3 - xy^2 = 1$ $latex f(x,y) = 2x + 3y, \quad x^2 - 2xy + 2y^2 = 1$ $latex f(x,y) = x^2 + y^2 + z^2, \quad 3x - y + 2z = 14$ $latex f(x,y) = x^2 + y^2 + z^2, \quad (x-y)^2 = 1, xyz = 1$ Problema 3 Encuentra las dimensiones del paralelelípedo de volumen máximo, cuyas aristas son paralelas a los ejes, y que puede ser inscrito en la elipsoide $latex x^2 + \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{z^2}{9} = 1$

Seminario CUICBAS : The Halo Conjecture , por Paul Hagelstein, de la Universidad Baylor, en Waco, Texas. Jueves , 5:00pm , auditorio de la Facultad de Ciencias. Abstract: The Halo Conjecture has long provided a fascinating open problem in the theory of differentiation of integrals. Recent progress towards the resolution of this conjecture will be discussed, in particular the theorem of Hagelstein and Stokolos that any density basis consisting of a homothecy invariant collection of convex sets must necessarily differentiate L p for sufficiently large p. Connections between this result, the recent work of Bateman and Katz on Kakeya sets and directional maximal operators, and improvements on the well-known theorem of Cordoba and Fefferman relating the L p bounds of geometric maximal operators to those of certain multiplier operators will also be given.

Conferencia de la semana : The Needle Problem , por Paul Hagelstein, de la Universidad Baylor, en Waco, Texas. Jueves 10 de noviembre, 12:00pm, auditorio de la Facultad de Ciencias. Resumen: We will consider the following famous problem of the Japanese mathematician Soichi Kakeya: What is the smallest possible area of a set in the plane in which a segment of length 1 can be turned around through 360 degrees?

Fecha de entrega: 11 de noviembre Problema 1 Dibuja la región limitada por las curvas y calcula su área. $latex y = 5 - x^2, \quad y = 3 - x$ $latex y = \sqrt x, \quad y = \dfrac{1}{4}x$ $latex x - y^2 + 3 = 0, \quad x - 2y = 0$ $latex y = x^2, \quad y = -\sqrt x, \quad x = 4$ $latex y = x, \quad y = \sen x, \quad x = \pi/2$ Problema 2 Sea $latex f(x) = \begin{cases}x^2 + 1& 0\le x\le 1\\3-x&1<x\le 3.\end{cases}$ Dibuja un bosquejo de la gráfica de $latex f(x)$ y encuentra el área de la región limitada entre su gráfica y el eje $latex x$. Problema 3 Calcula las siguientes antiderivadas. $latex \displaystyle\int \frac{dx}{x^4}$ $latex \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1+x}}$ $latex \displaystyle\int (t-a)(t-b) dt$ $latex \displaystyle\int f(x) f'(x) dx$ $latex \displaystyle\int \frac{4}{(4x+1)^2} dx$ Problema 4 Encuentra$latex f$ a partir de la siguiente información. $latex f'(x) = 2x - 1, \quad f(3) = 4$ $latex f'(x) = \sen x, \quad f(0) =

Fecha de entrega: 11 de noviembre Problema 1 Utiliza diferenciación implícita para expresar $latex dy/dx$ en términos de $latex x$ y $latex y$. Indica cuándo esta derivada está bien definida. $latex x^2y + x^3y^4 = 1$ $latex x e^y + y e^x = 2e$ $latex \log(x^2 + xy) = 1$ Problema 2 Encuentra $latex \partial y/\partial x$ en el punto especificado, si existe, considerando $latex z$ constante. $latex \dfrac{x^2 + y^2}{y^2 + z^2} = 1$ en $latex (-1, 3, 1)$ $latex \log(xyz) = 3$ en $latex (e, e^2, 1)$ $latex \sen x \cos y - \cos x \sen z = 0$ en $latex (\pi/2, 0, \pi/2)$ Problema 3 $latex x, y, u, \text{ y } v$ están relacionadas por las ecuaciones $latex \begin{array}{rcl}xy & = & 2e^{uv}\\x + y&=& e^{u+v}.\end{array}$ Si $latex v$ se mantiene constante, encuentra $latex \partial x/\partial u$ en el punto $latex (x,y,u,v) = (1,2,0,\log 3)$. Si $latex y$ se mantiene constante, encuentra $latex \partial x/\partial u$ en el mismo punto. Problema 4 Sean $latex x, y,