Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 29 de mayo Problema 1 Sea $latex V$ un espacio vectorial de dimensión $latex n$, $latex u\in V$ y $latex W = \{u\}^\perp$. Muestra que, si $latex \{u_1, \ldots, u_{n-1} \}$ y $latex \{v_1, \ldots, v_{n-1} \}$ son dos bases de $latex W$ tales que $latex [u, u_1, \ldots, u_{n-1} ] = [ u, v_1, \ldots, v_{n-1} ]$, entonces $latex [u_1, \ldots, u_{n-1} ] = [ v_1, \ldots, v_{n-1} ]$. ( Sugerencia: Escribe cada $latex v_i$ en la base $latex \{u_j\}$ y muestra que el determinante de la matriz de cambio de base es positivo.) Problema 2 Sea $latex M^{n-1}\subset\R^n$ una variedad diferenciable con orientación $latex \mu$. Para cada $latex p\in M$, definimos el vector normal $latex \nu_p\in(M_p)^\perp\subset\R^n$ como el vector unitario tal que $latex [\nu_p, (v_1)_p, \ldots, (v_{n-1})_p]$ es la orientación estándar de $latex \R^n$, para cualquier base $latex \{(v_1)_p, \ldots, (v_{n-1})_p\}$ de $latex M_p$ tal que $latex [(v_1)_p, \ldots, (v_{n-1})_p] = \mu_p$. Muestra que el ...

Fecha de entrega: 22 de mayo Problema 1 Describe el espacio tangente del cilindro $latex C = \{(x,y,z)\in\R^3: x^2 + y^2 = 1, 0\le z\le 1\}$ en un punto $latex p = (\cos\theta, \sen\theta, z_0)$, $latex \theta\in[0,2\pi), z_0\in[0,1]$. Problema 2 Verifica que las siguientes funciones en $latex C$ son campos vectoriales del cilindro. $latex \displaystyle F(x,y,z) = \begin{pmatrix} y \\ -x \\ 0 \end{pmatrix}_{(x,y,z)}$ $latex \displaystyle F(x,y,z) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}_{(x,y,z)}$ $latex \displaystyle F(x,y,z) = \begin{pmatrix} yz \\ -xz \\ z^2 \end{pmatrix}_{(x,y,z)}$ $latex \displaystyle F(x,y,z) = \begin{pmatrix} xy - yz \\ xz - x^2 \\ yz - z^2 \end{pmatrix}_{(x,y,z)}$ Problema 3 Considera la 1-forma en el cilindro $latex \omega(p) = z_0\cos^2\theta dx - \cos\theta\sen\theta dy + z_0\sen2\theta dz,$ para $latex p = (\cos\theta, \sen\theta, z_0)$, $latex \theta\in[0,2\pi), z_0\in[0,1]$. Utiliza un sistema de coordenadas apropiado para calcular $latex d\ome...

Fecha de entrega: 15 de mayo Problema 1 Demuestra que un subespacio de dimensión $latex k$ de $latex \R^n$ es una variedad diferenciable de dimensión $latex k$. Problema 2 Sea $latex g:\R^2\to\R$ dada por $latex g(x,y) = x^2 - y^2$. Explica por qué el conjunto $latex g^{-1}(\{0\})$ no es una variedad diferenciable en dimensión 1 en $latex \R^2$. Problema 3 Sea $latex A\subset\R^n$ un conjunto abierto y $latex g:A\to\R$ continuamente diferenciable tal que $latex g'(x)\not=0$ para $latex x\in A$. Si $latex M = g^{-1}(\{0\})\not=\emptyset$, muestra que el espacio tangente en $latex x\in M$ es igual a $latex \{v_x\in\R^n_x: v \cdot \grad g(x) = 0 \}$. Es decir, $latex M_x$ es el hiperplano en $latex \R^n_x$ ortogonal a $latex \grad g(x)$, el gradiente de $latex g$ en $latex x$. Problema 4 Sea $latex f:\R^n\to\R^m$ y considera su gráfica $latex G = \{(x,y)\in\R^{n+m}: y = f(x)\}$. Muestra que $latex G$ es una variedad diferenciable de dimensión $latex n$ si, y solo si, $latex f$ es de...

Fecha de entrega: 8 de mayo Problema 1 Muestra que el anillo $latex \mathbb A = \{(x,y)\in\R^2: 1\le x^2 + y^2 \le 2\}$ es un 2-cubo. Calcula $latex \partial\mathbb A$. Problema 2 Muestra que un conjunto abierto simplemente conexo es conexo. Problema 3 Sea $latex \w$ la 1-forma en $latex \R^2\setminus\{0\}$ dada por $latex \displaystyle \w = - \frac{y}{x^2 + y^2} dx + \frac{x}{x^2 + y^2} dy$. Muestra que, si $latex n\in\Z$ y $latex s_{R,n} (t) = (R \cos 2\pi nt, R \sen2\pi nt)$, entonces $latex \displaystyle \int_{s_{R,n}} \w = 2\pi n.$ Problema 4 Sea $latex \w = yzdx + xzdy + xydz$. Calcula $latex \displaystyle\int_c \w$ para las siguientes curvas. $latex c(t) = (\cos 2\pi t, \sen 2\pi t, \sen \pi t)$; $latex c(t) = (t, t^2, t^3)$; $latex c(t) = (t, 2t^2 - t, t)$. Problema 5 Sea $latex \w = x dy\wedge dz + y dz\wedge dx + zdx\wedge dy$ y $latex S$ la superficie dada por la gráfica de la función $latex f(x,y) = x^2 + y^2$ en $latex [-1,1]\times[-1,1]$. Calcula $latex \displaystyl...

Fecha de entrega: 1 de mayo Problema 1 Sea $latex f:\R^n\to\R$ diferenciable tal que $latex \grad f(p)\not=0$. Muestra que $latex \grad f(p)$ es el vector con la dirección de crecimiento más rápido de $latex f$ en el punto $latex p$. Es decir, si $latex \hat u = \dfrac{\grad f(p)}{|\grad f(p)|}$, entonces $latex Df(p)(\hat u) = \max\{ Df(p)(v): |v|=1\}$. ( Sugerencia:  Nota que $latex (\grad f(p))_p\cdot v_p = Df(p)(v)$, para $latex v_p\in\R^n_p$.) Problema 2 Sea $latex \w = f dx$ una 1-forma en $latex [0,1]$ tal que $latex f(0) = f(1)$. Muestra que existe un único $latex \lambda\in\R$ tal que $latex \w - \lambda dx = dg$, donde $latex g$ es una función que satisface $latex g(0) = g(1)$. Problema 3 Sea $latex \w = \w_1 dx + \w_2 dy + \w_3 dz$ una 1-forma diferencial tal que $latex \w_1,\w_2,\w_3$ son homogéneas de grado $latex \alpha$. Muestra que, si $latex \w$ es cerrada, entonces $latex \w = df$ donde $latex f(x,y,z) = \dfrac{1}{\alpha+1}(\w_1(x,y,z)x + \w_2(x,y,z)y + \w_3(x,y,z)z)$...

Fecha de entrega: 24 de abril Problema 1 Calcula el producto cuña $Latex \phi \wedge \psi$ de las siguientes 1-formas en $Latex \mathbb R^3$. a) $Latex \phi = 3dx+dz, \quad \psi=dy-dz$; b) $Latex \phi=dx-dy+2dz,\quad \psi=3dx-4dy-2dz$. Escribe el resultado en la base $Latex dy\wedge dz, dz\wedge dx, dx\wedge dy$. Problema 2 Calcula el diferencial $Latex d\omega$ de las siguientes 1-formas diferenciales en $Latex \mathbb R^3$ a) $Latex \omega(x,y,z)=(z^2-x ^2)dx+(y^2-z^2)dy+(x^2-y^2)dz$; b) $Latex \omega(x,y,z)=(3x^2-y^2z)dx-2xyzdy-xy^2dz$. Problema 3 Calcula $Latex \omega\wedge\eta$, para las siguientes formas diferenciales en $Latex \mathbb R^3$. a) $Latex \omega=xdx-ydy,\quad \eta=zdz\wedge dy+xdy\wedge dz$; b) $Latex \omega=dx+dy+dz,\quad \eta=dx\wedge dy+dx\wedge dz+dy\wedge dz$; c) $Latex \omega=zdx\wedge dy+xdy\wedge dz,\quad \eta=\omega$. Problema 4 Sea $Latex \omega$ la 2-forma diferencial en $LAtex \mathbb R^{2n}$ dada por $Latex \displaystyle \omega=dx^1\wedge dx^2+dx^3\wedge...

Fecha de entrega: 17 de abril Problema 1 Muestra que la integral impropia $Latex \displaystyle \int_{\mathbb R^n} e^{-|x|^2} dx = \lim_{N\rightarrow\infty}\int_{[-N,N]^n} e^{-|x|^2}dx = \pi^{n/2}.$ Problema 2 Si $Latex x>0$, muestra que la función $LAtex t\mapsto t^{x-1}e^{-t}$ es integrable en $Latex \mathbb R_+ = (0,\infty).$ Para $Latex x>0$, la función gama $Latex \Gamma(x)$ está definida como la integral $Latex \displaystyle \Gamma(x) = \int_{\mathbb R_+}t^{x-1}e^{-t} dt$. Muestra que $Latex \displaystyle \Gamma(x) = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_\varepsilon ^{1/\varepsilon} t^{x-1} e^{-t}.$ Muestra que, si $Latex n\in \mathbb Z_+$, entonces $Latex \displaystyle \Gamma(n+1) = n\Gamma(n).$ Concluye que, para $Latex n\in\mathbb N,\;\;n!=\Gamma(n+1).$ Problema 3 Muestra que el determinante del jacobiano de las coordenadas esféricas está dado por $Latex \displaystyle r^{n-1}\sin^{n-2}\phi_1\sin^{n-3}\phi_2\cdots\sin\phi_{n-2}$, para cada $Latex r>0$, $latex 0...

Fecha de entrega: 27 de marzo Problema 1 Sean $latex a < b\in\R$. Muestra que existe $latex f\in C^\infty(\R)$ tal que $latex f > 0$ en $latex (a,b)$ y $latex f(x) = 0$ para $latex x\notin(a,b)$. Sean $latex a < b\in\R$. Muestra que existe $latex f\in C^\infty(\R)$ tal que $latex 0\le f\le 1$, $latex f(x)=0$ para $latex x\le a$ y $latex f(x)=1$ para $latex x\ge b$. Sean $latex R>r>0$. Muestra que existe $latex f\in C^\infty(\R^n)$ tal que $latex f=1$ en $latex B_r(0)$ y $latex \supp f = B_R(0)$. Problema 2 Sean $latex C,E\subset\R^n$ tales que $latex C$ es compacto, $latex E$ es cerrado y $latex C\cap E = \emptyset$. Muestra que existe un conjunto compacto $latex D\subset\R^n$ tal que $latex C\subset D^0$ y $latex D \cap E = \emptyset$. Problema 3 Sean $latex C,E\subset\R^n$ tales que $latex C$ es compacto, $latex E$ es cerrado y $latex C\cap E = \emptyset$. Muestra que existe $latex f\in C^\infty(\R^n)$ tal que $latex f = 1$ en $latex C$ y $latex f = 0$ en $latex ...

Fecha de entrega: 20 de marzo Problema 1 Sea $latex f:R\to\R$ y $latex \mathcal P$ una partición de $latex R$. Muestra que $latex f$ es Riemann-integrable si y solo si $latex f|_S$ es Riemann-integrable para cada $latex S\in\mathcal P$, y en tal caso $latex \displaystyle \int_R f = \sum_{S\in\mathcal P} \int_S f|_S.$ Problema 2 Muestra que un conjunto no acotado no puede ser de contenido 0. Da un ejemplo de un conjunto cerrado de medida 0 que no sea de contenido 0. Si $latex C$ es de contenido 0, muestra que $latex \fr C$ es de contenido 0. Sin embargo, da un ejemplo de un conjunto de medida 0 cuya frontera no sea de medida 0. Problema 3 Sea $latex f:R\to\R$ Riemann-integrable, $latex f\ge 0$ y tal que $latex \int f = 0$. Muestra que $latex \{x\in R:f(x)\not=0\}$ es de medida 0. Problema 4 Muestra que, si $latex C$ es de contenido 0, entonces es Jordan-medible. Muestra que, si $latex C$ es Jordan-medible y de medida 0, entonces $latex \int_C 1 = 0$. Problema 5 Sea $latex f:...

Fecha de entrega: 13 de marzo Problema 1 Sea $latex K$ un polítopo convexo. Muestra que $latex K$ tiene un número finito de puntos extremos. Problema 2 Muestra que un polítopo compacto es la unión finita de simplejos. Si el polítopo tiene $latex r$ vectores linealmente independientes, muestra que es la unión finita de $latex r$-simplejos. Problema 3 Sea $latex f:R\to\R$ Riemann-integrable y $latex c\in\R$. Muestra que $latex cf$ es Riemann-integrable y $latex \displaystyle\int cf = c\int f$. Problema 4 Sean $latex f,g:R\to\R$ Riemann-integrables tales que $latex f\le g$. Muestra que $latex \displaystyle\int f \le \int g$. Problema 5 Sea $latex f:[a,b]\to\R$ creciente. Si $latex x_1,\ldots,x_k\in[a,b]$ son distintos, muestra que $latex \displaystyle\sum_{i=1}^k O(f,x_i) < f(b) - f(a).$

Fecha de entrega: 6 de marzo Problema 1 Sea $Latex f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ continuamente diferenciable. Muestra que $Latex f$ no es inyectiva. ( Sugerencia: Considera la función $Latex g(x,y) = (f(x,y),y).$) Generaliza este resultado a funciones continuamente diferenciables $Latex f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,$ con $Latex m<n$. Problema 2 Muestra que si $Latex f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisface $Latex f'(x)\neq 0$ para todo $Latex x\in\mathbb{R}$, entonces $Latex f$ es inyectiva. Sin embargo, muestra que $Latex f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dada por  $Latex \displaystyle f(x,y) = (e^x\cos{y},e^x\sin{y})$ satisface $Latex \det f'(x,y)\neq 0$ para todo $Latex (x,y)\in\mathbb{R}^2$, pero no es inyectiva. Problema 3 Sea $Latex K\subset\mathbb{R}^n$ un conjunto convexo cerrado no vacío tal que $Latex \mathbb{R}^n\setminus K\neq\emptyset$ es convexo. Muestra que $Latex K$ es un semiespacio cerrado. Problema 4 Sean $Latex f,g:K\to\mathbb{R}$ convexas y sea $Latex ...

Fecha de entrega: 27 de febrero Problema 1 Si extendemos la definición de derivadas direccionales a vectores $latex u$ no necesariamente unitarios, demuestra que satisfacen $latex D_{tu}f(x_0) = t D_uf(x_0)$ y $latex D_{u+v}f(x_0) = D_u f(x_0) + D_v f(x_0),$ si $latex f$ es diferenciable en $latex x_0$. Problema 2 Si $latex f:U\to\R$ tiene un mínimo local en $latex x_0$ y sus derivadas parciales existen, muestra que $latex D_if(x_o)=0$ para cada $latex i=1,\ldots,n$. Problema 3 Muestra que, si $latex U\subset\R^n$ es abierto, $latex f:U \to \R$ es tal que sus derivadas parciales existen en cada $latex x\in U$, $latex x_0\in U$, y $latex t\in\R$ es tal que $latex (x_0^1, \ldots, x_0^i + s, \ldots, x_0^n) \in U$ para todo $latex s\in[0,t]$ (o $latex s\in[t,0]$, si $latex t<0$), entonces existe $latex c$ entre $latex x_0^i$ y $latex x_0^i+t$ tal que $latex f(x_0^1,\ldots,x_0^i+t,\ldots,x_0^n) - f(x_0^1,\ldots,x_0^i,\ldots,x_0^n) = t D_if(x_0^1,\ldots,c,\ldots,x_0^n).$ Problema 4 Sea $l...

Fecha de entrega: 20 de febrero Problema 1 Si $latex f:U\to\R^m$ es diferenciable en $latex x_0\in U$, entonces es continua en $latex x_0$. Problema 2 Sea $latex U\subset\R^n$ abierto y $latex f,g:U\to\R$ tales que $latex f$ es continua en $latex x_0\in U$, $latex g$ es diferenciable en $latex x_0$ y $latex g(x_0) = 0$. Muestra que $latex fg$ es diferenciable en $latex x_0$. Problema 3 Calcula la derivada y el Jacobiano de cada una de las siguientes funciones, utilizando la regla de la cadena. $latex (x,y) \mapsto (x^2 - y^2, 2xy)$, en cada punto $latex (x_0, y_0)\in\R^2$ $latex (x,y) \mapsto (\sen(x^2 + xy + y^2), e^{xy} )$, en cada punto $latex (x_0,y_0)\in\R^2$ Problema 4 Decimos que $latex f:\R^n\to\R$ es homogénea de grado $latex \alpha$ si $latex f(tx) = t^\alpha f(x)$, para $latex x\in\R^n, t>0$. Si, además, $latex f$ es diferenciable, muestra la fórmula de Euler $latex \displaystyle\sum_{i=1}^n x^i D_if(x) = \alpha f(x)$. Problema 5 Si $latex f:\R^n\to\R$ es diferenciab...

Fecha de entrega: 13 de febrero Problema 1 Muestra que, si $latex f:A\to\R^m$ tiene límites $latex L$ y $latex M$ en $latex x_0$, entonces $latex L = M$. Problema 2 Demuestra que la función $latex f:A\to\R^m$ es continua en $latex x\in A$ si y solo si cada una de sus componentes $latex f^i:A\to\R$ es continua en $latex x$. Problema 3 Considera la función en $latex \R^2$ definida por $latex f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{x^2 + y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\0 & (x,y)=(0,0).\end{cases}$ Muestra que, aunque cada una de las funciones $latex x\to f(x,y_0)$    y    $latex y\to f(x_0,y)$ son continuas en $latex \R$ para cualquier $latex x_0,y_0\in\R$, la función $latex f$ no es continua en $latex (0,0)$. Problema 4 Da un ejemplo de un conjunto $latex A\subset\R^n$ no acotado tal que toda función continua en $latex A$ es uniformemente continua. Problema 5 Calcula la oscilación en el punto $latex (0,0)$ de la función del problema 3.

Fecha de entrega: 6 de febrero Problema 1 Sea $latex (x_k)$ una sucesión en $latex \R^n$ tal que  $latex x_k\to L$ y $latex x_k\to M$. Muestra que $latex L = M$. Problema 2 Si $latex (x_k)$ es una sucesión de Cauchy, entonces es acotada. Sea $latex (x_k)$ una sucesión de Cauchy tal que una subsucesión converge, digamos $latex x_{k_l} \to L$. Muestra que $latex x_k\to L$. Concluye que toda sucesión de Cauchy en $latex \R^n$ converge. (Utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass.) Problema 3 Considera, en $latex \R^n$, la cubierta $latex \{A_n\}_n$ definida por $latex A_n = \{ x\in\R^n: \dfrac{1}{2n} < |x| < \dfrac{3}{2n}\},$ para la bola punteada $latex B_1^*(x) = \{ x: 0 < |x| \le 1 \}$. Muestra que esta cubierta no tiene subcubiertas finitas. Problema 4 Sean $latex A_1\supset A_2\supset\ldots$ compactos no vacíos en $latex \R^n$. Muestra que $latex \bigcap_i A_i \not=\emptyset.$ Muestra que el enunciado anterior es falso si los $latex A_i$ son solo cerrados. Problema ...

Fecha de entrega: 30 de enero Problema 1 Muestra la desigualdad del triángulo inversa: si $latex x,y\in\R^n$, $latex \big| |x| - |y|\big| \le |x-y|.$ Demuestra la identidad del palalelogramo: si $latex x,y\in\R^n$, $latex |x|^2 + |y|^2 = \frac{1}{2}\big(|x+y|^2 + |x-y|^2 \big).$ Problema 2 Muestra que, si $latex x_1,x_2\in\R^n$, el conjunto $latex \{x\in\R^n: |x - x_1| = |x - x_2| \}$ es un hiperplano. Problema 3 Muestra que la intersección de dos rectángulos en $latex \R^n$ es vacía o es otro rectángulo. Problema 4 Muestra que si $latex \{U_\alpha\}$ es una colección de conjuntos abiertos en $latex \R^n$, entonces la unión $latex \bigcup_\alpha U_\alpha$ es un conjunto abierto. Muestra que si $latex U_1,U_2,\ldots,U_k$ son conjuntos abiertos en $latex \R^n$, entonces la intersección $latex \bigcap_{i=1}^k U_i$ es un conjunto abierto. Problema 5 Muestra que, para cualquier $latex A\subset\R^n$, $latex \fr A = \bar A \cap \overline{(\R^n \setminus A)}$.

Fecha de entrega: 31 de mayo Lista de problemas tomados de las notas del curso. Capítulo 12 2-6

Fecha de entrega: 25 de mayo Lista de problemas tomados de las notas del curso. Capítulo 11 1-5 Problema adicional Sea $latex f:U\to V$ el sistema de coordenadas en $latex \mathbb S^2$ dado por $latex f(\theta,\varphi) = (\cos\theta\sin\varphi, \sin\theta\sin\varphi,\cos\varphi)$ con $latex U=(0,2\pi)\times(0,\pi)$. Si $latex F:\mathbb S^2\to T\mathbb S^2$ es el campo vectorial dado por $latex F(x,y,z) = \begin{pmatrix} xz\\yz\\z^2-1\end{pmatrix}$, calcula explícitamente el campo vectorial $latex G$ en $latex U$ tal que $latex F(f(a)) =f_*(G(a))$.

Fecha de entrega: 10 de mayo Lista de problemas tomados de las notas del curso. Capítulo 10 5, 8, 9, 10, 11

Fecha de entrega: 3 de mayo Lista de problemas tomados de las notas del curso. Capítulo 9 6, 8, 10, 11, 12