Tarea 14, Cálculo 4

Fecha de entrega: 16 de mayo

Problema 1

Calcula los siguientes residuos.

1. $latex \Res_{2i} \dfrac{1}{z^2+4}$


2. $latex \Res_1 \dfrac{1}{z^5-1}$


3. $latex \Res_0 \dfrac{\sin z}{z^2}$


4. $latex \Res_1 \dfrac{z}{\Log z}$


5. $latex \Res_0 \dfrac{e^z}{z^5}$

Problema 2

Evalúa las siguientes integrales usando el teorema del residuo.

1. $latex \displaystyle \oint_{|z|=1}\frac{\sin z}{z^2} dz$


2. $latex \displaystyle \oint_{|z-1/2|=3/2}\frac{\tan z}{z}dz$

Problema 3

Utiliza la teoría del residuo de verificar las siguientes integrales.

1. $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+a^2)^2} = \frac{\pi}{2a^3},\qquad a>0$


2. $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{x^4+1} dx = \frac{\pi}{\sqrt 2}$


3. $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{(x^2+1)^2} dx = \frac{\pi}{e}$


4. $latex \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{\cos\theta}{2+\cos\theta} d\theta = 2\pi\Big(1 - \frac{2}{\sqrt 3}\Big)$


5. $latex \displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a+b\sin\theta} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}, \qquad a>b>0$


6. $latex \displaystyle \int_{-\pi}^\pi \frac{d\theta}{1+\sin^2\theta} = \pi\sqrt 2$