Tarea 15, Cálculo 4

Fecha de entrega: 23 de mayo

Problema 1

Muestra las siguientes identidades, utilizando el contorno apropiado.

1. $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{x^{-a}}{1+x} dx = \frac{\pi}{\sen \pi a}, \qquad 0 < a < 1$


2. $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{x^a(x+1)} dx = \frac{\pi^2\cos\pi a}{\sen^2\pi a}, \qquad 0 < a < 1$


3. $latex \displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{x^a(x-1)} dx = \frac{2\pi^2}{1-\cos(2\pi a)}, \qquad 0 < a < 1$


4. $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin ax}{x(\pi^2-a^2x^2)} dx = \frac{2}{\pi}, \qquad a > 0$


5. $latex \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\sen^2 x}{x^2} dx = \pi$

Problema 2

Muestra la identidad de valor principal

$latex \displaystyle \PV\int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{x^b-1} dx = -\frac{\pi}{b} \cot\Big(\frac{\pi a}{b}\Big), \qquad 0 < a < b, b > 1$.

(Sugerencia: Considera el sector de apertura $latex 2\pi/b$.)

Problema 3

Muestra que

$latex \displaystyle \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^R \frac{x^3\sen x}{(x^2+1)^2} dx = \frac{\pi}{2e}$.