Tarea 10, Cálculo 3

Fecha de entrega: 17 de octubre

Problema 1

Evalúa la integral

$latex \displaystyle \int_S x dydz - z dzdx + z^2 dxdy$

para cada una de las siguientes superficies $latex S$, con orientación alejándose del origen.

1. El hemisferio superior
   $latex S = \{(x,y,z): x = \cos\theta\cos\varphi, y = \sen\theta\cos\varphi, z = \sen\varphi,$
   $latex 0 \le \theta \le 2\pi, 0\le \varphi \le \pi/2\}$.


2. El cono hacia abajo con vértice en $latex (0,0,3)$
   $latex S = \{(x,y,z): x = r\cos\theta, y = r\sen\theta, z = 3 - 3r,$
   $latex 0\le r\le 1, 0\le \theta\le 2\pi\}$


3. El paraboloide hacia arriba cno vértice en $latex (0,0,-2)$
   $latex S = \{(x,y,z): x = r\cos\theta, y = r\sen\theta, z = -2 + 2r^2,$
   $latex 0\le r \le 1, 0\le \theta \le 2\pi\}$

Problema 2

Evalúa la integral

$latex \displaystyle \int_S y^2 dydz + 2z dzdx - dxdy$

para cada una de las superficies $latex S$ del problema anterior.

Problema 3

Muestra que, si la superficie $latex S$ está descrita por

$latex S = \{(x,y,z): z = f(x,y), (x,y)\in R\}$,

entonces

$latex \displaystyle \int_S d\sigma = \int_R \sqrt{1 + \Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big)^2 + \Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)^2} dxdy.$

Problema 4

Encuentra el área de la superficie $latex z = x^{3/2} + y^{3/2}$ sobre el cuadrado $latex 0\le x,y\le 1.$

Problema 5

Si la temperatura en un medio homogéneo es proporcional a alguna potencia de la distancia al origen,

$latex T = c r^\alpha, \qquad r = \sqrt{x^2+y^2+z^2},$

donde $latex \alpha\in\R$, y el flujo de calor a través de una esfera centrada en el origen es independiente de su radio, muestra que $latex \alpha = 0$ o $latex \alpha = -1$.