Ricardo A. Sáenz

Las notas del curso que impartí en la Escuela de análisis ya están en la página de la escuela. Pueden verlas aquí:  Notas del curso Operadores de multiplicación La idea del curso fue introducir el Análisis armónico, tomando como pretexto la teoría de operadores de multiplicación, empezando con operadores diagonalizados y su relación con el teorema espectral de álgebra lineal, además de métodos de sumabilidad de series. El objetivo final es la demostración del teorema de Marcinkiewicz de multiplicadores de Fourier, que utiliza el teorema de Calderón y Zygmund de integrales singulares. Como “paréntesis cultural”, presento un bosquejo del contraejemplo de Fefferman a la conjetura del disco, que muestra que el operador de la bola no puede ser acotado en el espacio euclideano de dimensión mayor a 1.

Escuela de Análisis matemático Análisis de Fourier y operadores de multiplicación Bibliografía Clase 1: métodos de sumabilidad, teorema de Fejér Elias M. Stein, Rami Shakarchi,  Fourier Analysis: An Introduction , Princeton books.google.com.mx/books?id=FAOc24bTfGkC T. W. Körner, Fourier Analysis, Cambridge books.google.com.mx/books?id=OcZ5iKsGrmoC Clase 2: transformada de Fourier, distribuciones Elias M. Stein, Guido Weiss,  Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , Princeton books.google.com.mx/books?id=xnIwDAAAQBAJ Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons books.google.com.mx/books?id=wI4fAwAAQBAJ Clase 3: multiplicador de la bola Elias M. Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton books.google.com.mx/books?id=ljcOSMK7t0EC Javier Enrique Sáenz Casas, La conjetura de Kakeya, Tesis e...

Escuela de Análisis matemático Análisis de Fourier y operadores de multiplicación Construye una función explícita $latex \eta$ como la que se necesita en la demostración del teorema de Marcinkiewicz: $latex \eta\in C^\infty(\mathbb R^d)$ tal que $latex \eta(\xi)=1$ si $latex |\xi|\le 1$ y $latex \eta(\xi)=0$ si $latex |\xi|\ge 2$. ( Sugerencia: considera la función en $latex \mathbb R$ dada por $latex \phi(t) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{(1+t)^2}}e^{-\frac{1}{(1-t)^2}} & |t|<1\\ 0 & |t|\ge 1.) \end{cases}$ La hipótesis del teorema de Marcinkiewicz puede ser reemplazada por la condición $latex \displaystyle \sup_{R>0} R^{-d + 2|\alpha|} \int_{R\le|\xi|\le 2R} |\partial_\xi^\alpha m(\xi)|^2 d\xi \le A_\alpha$ para todo $latex 0\le|\alpha|\le l$, donde  l es el menor entero mayor que $latex d/2$. El multiplicador de Böchner-Riesz $latex m(\xi) = (1 - |\xi|^2)^\delta \chi_{\mathbb B}(\xi)$ satisface las hipótesis del teorema de Marcinkiewicz cuando $latex \delt...

Escuela de Análisis matemático Análisis de Fourier y operadores de multiplicación Sea $latex m\in L^\infty(\mathbb R^d)$, $latex m_R(\xi) = m(\xi/R)$ para $latex R>0$, y considera el operador de multiplicación dado por $latex \widehat{T_Rf}(\xi) = m_R(\xi)\hat f(\xi)$. Si $latex ||T_1f||_{L^p} \le M ||f||_{L^p}$, entonces $latex ||T_Rf||_{L^p} \le M||f||_{L^p}$ para todo $latex R>0$. Sean $latex T_1,T_2$ dos triángulos contiguos como en la figura, cada uno de base  b y altura  h , y sea $latex \tilde T_2$ el triángulo que resulta de trasladar a la izquierda el triángulo $latex T_2$ una distancia $latex 2(1-\alpha)b$, para $latex 1/2 < \alpha < 1$. Entonces $latex |T_1\cup\tilde T_2| = (\alpha^2 + 2(1-\alpha)^2)|T_1\cup T_2|$. $latex f(\alpha) = \alpha^2 -2 (1-\alpha)^2 < 1$ para todo $latex \alpha\in(1/2,1)$, y tiene mínimo 2/3. Para todo $latex n\in\mathbb N$, $latex A_n = \alpha^{2n} + 2(1-\alpha)^2 + 2(1-\alpha)^2\alpha^2 + \ldots + 2(1-\a...

Escuela de Análisis matemático Análisis de Fourier y operadores de multiplicación Si $latex f\in L^p(\mathbb R^d)$ y $latex g\in L^1(\mathbb R^d)$, entonces $latex f*g\in L^p(\mathbb R^d)$ y $latex ||f*g||_{L^p} \le ||f||_{L^p} ||g||_{L^1}.$ Si $latex f\in L^1(\mathbb R^d)\cap L^2(\mathbb R^d)$, entonces $latex ||\hat f||_{L^2} = ||f||_{L^2}.$ ( Sugerencia: Considera $latex h=f*g$, con $latex g(x) = \overline{f(-x)}$, y nota que $latex h(0) = \int \hat h$.) El operador $latex f\mapsto \hat f$ es sobreyectivo en $latex L^2(\mathbb R^d)$. ( Sugerencia: Si no, existiría $latex g\in L^2$ tal que $latex \int \hat f g = 0$ para toda $latex f\in L^2$. Utiliza el pasito del sombrero.) Sea $latex h(x) = \begin{cases} 0 & x<0\\1 & x\ge 0\end{cases}$ la función de Heaviside. Como distribuciones, $latex h' = \delta,$ la función delta de Dirac. Sea $latex \mathbf 1$ la función constante igual a 1. Como distribuciones, $latex \hat{\mathbf 1} = \delt...

Escuela de Análisis matemático Análisis de Fourier y operadores de multiplicación Si $latex T:V\to V$ es simétrico y $latex \lambda_i\not=\lambda_j$ son eigenvalores reales distintos de $latex T$, con eigenvectores $latex u_i, u_j$ correspondientes, entonces $latex u_i\perp u_j$. Sea $latex T:\mathscr H\to\mathscr H$ un operador acotado diagonalizado con sucesión multiplicadora $latex \lambda_k$. T es unitario si, y solo si, $latex |\lambda_k|=1$ para todo k . T es una proyección ortogonal si, y solo si, todo $latex \lambda_k = 0\text{ o } 1$. T es un operador compacto si, y solo si, $latex \lambda_k \to 0$. Si $latex \sum a_n$ es una serie convergente, entonces es Cesàro-sumable. Si $latex \sum a_n$ es Cesàro-sumable, entonces es Abel-sumable.