Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 11 de mayo Tomados del texto de I Stewart,  Galois Theory , 3era edición. Capítulo 19 19.3, 19.5, 19.6 Capítulo 20 20.4, 20.8

Fecha de entrega: 4 de mayo Tomados del texto de I Stewart,  Galois Theory , 3era edición. Capítulo 18 18.6, 18.7, 18.8

Fecha de entrega: 27 de abril Tomados del texto de I Stewart,  Galois Theory , 3era edición. Capítulo 17 17.10, 17.11 Capítulo 18 18.1, 18.2, 18.5

Fecha de entrega: 20 de abril Tomados del texto de I Stewart,  Galois Theory , 3era edición. Capítulo 16 16.8, 16.10 Capítulo 17 17.5, 17.6, 17.9

Fecha de entrega: 30 de marzo Tomados del texto de I Stewart,  Galois Theory , 3era edición. Capítulo 14 14.1, 14.7 Capítulo 15 15.1, 15.3, 15.4,15.9

Fecha de entrega: 23 de marzo Tomados del texto de I Stewart,  Galois Theory , 3era edición. Capítulo 12 12.2, 12.3, 12.5 Capítulo 13 13.8, 13.10

Fecha de entrega: 16 de marzo Tomados del texto de I Stewart,  Galois Theory , 3era edición. Capítulo 10 10.2, 10.4 Capítulo 11 11.1, 11.2, 11.3, 11.4

Fecha de entrega: 9 de marzo Tomados del texto de I Stewart,  Galois Theory , 3era edición. Capítulo 9 9.1, 9.2, 9.3, 9.5, 9.7, 9.8

Fecha de entrega: 2 de marzo Tomados del texto de I Stewart,  Galois Theory , 3era edición. Capítulo 8 8.1, 8.6, 8.7, 8.9, 8.10        

Fecha de entrega: 24 de febrero Tomados del texto de I Stewart,  Galois Theory , 3era edición. Capítulo 7 7.4, 7.5, 7.7, 7.9, 7.10.

Fecha de entrega: 17 de febrero Tomados del texto de I Stewart,  Galois Theory , 3era edición. Capítulo 4 4.2, 4.3, 4.5 Capítulo 5 5.2, 5.3, 5.5 Capítulo 6 6.1, 6.3, 6.4, 6.8

Fecha de entrega: 10 de febrero Tomados del texto de I Stewart,  Galois Theory , 3era edición. Capítulo 3: 3.4 - 3.8

Fecha de entrega: 3 de febrero Tomados del texto de I Stewart, Galois Theory , 3era edición. Capítulo 1: 1.7, 1.11 Capítulo 2: 2.5, 2.6 Problema 5. Sea $latex p(x)\in\C[x]$ con coeficientes reales. Muestra que, si $latex r$ es una raíz de $latex p(x)$, entonces $latex \bar r$, el conjugado complejo de $latex r$, es raíz de $latex p(x)$. Muestra que existen $latex k, r_1, \ldots, r_k, s_{k+1}, t_{k+1}, \ldots, s_n, t_n\in\R$ tales que $latex p(x) = k(x - r_1) \cdots (x - r_k)(x^2 + s_{k+1}x + t_{k+1}) \cdots (x^2 + s_n x + t_n).$ Capítulo 3: 3.1, 3.2, 3.3

Debido a la defensa de tesis de Haremy Zúñiga, el horario para los exámenes parciales de este viernes 3 de junio se modifican de la siguiente manera: Análisis de varias variables : 10:50 - 11:50 am Álgebra moderna 3 : 2:30 - 3:30 pm

Fecha de entrega: 3 de junio Problema 1. Sea $latex p$ primo y $latex n\ge 1$. Muestra que $latex \displaystyle \Phi_{pn}(x) = \begin{cases}\Phi_n(x^p) & p|n\\\dfrac{\Phi_n(x^p)}{\Phi_n(x)}&p\not|n\end{cases}.$ ( Sugerencia: Verifica que, si $latex \zeta$ es una raíz $latex pn$-ésima primitiva de 1, entonces es raíz de los polinomios de la derecha en ambos casos; compara los grados calculando $latex \varphi(pn)$ en ambos casos.) Problema 2. Si $latex n\ge 1$ es impar, muestra que $latex \Phi_{2n}(x) = \Phi_n(-x)$. Problema 3. Sea $latex p$ primo y $latex p\not|m$, donde $latex m\ge 1$. Muestra que $latex \displaystyle\Phi_p(x^m) = \sum_{i=0}^{p-1}(x^p)^{e_i}x^i$, donde los $latex e_i$ son exponentes apropiados. ( Sugerencia: Utiliza el algoritmo de la división para ordenar los términos $latex mi$ de $latex \Phi_p(x^m)$ apropiadamente.) Muestra que $latex \displaystyle\Phi_p(x^m)(x-1) = \sum_{i=0}^{p-1}\big((x^p)^{a_i} - (x^p)^{b_i}\big) x^i$, donde los $latex a_i,b_i$ ...

Fecha de entrega: 27 de mayo Problema 1. Construye campos con 8, 9 y 16 elementos. Problema 2. Sea $latex \phi$ el mapeo de Frobenius en $latex \F_{p^n}$. Encuentra el mínimo $latex m$ tal que $latex \phi^m$ es la identidad. Problema 3. Muestra que los subcampos de $latex \F_{p^n}$ son isomorfos a $latex \F_{p^r}$, donde $latex r|n$, y que existe un único subcampo para cada tal $latex r$. Problema 4. Encuentra generadores para el grupo multiplicativo de $latex \F_n$ para $latex n = 8, 9, 13, 16, 17.$ Problema 5. Muestra que el grupo aditivo de $latex \F_{p^n}$ es isomorfo al producto de $latex n$ grupos $latex \Z_p\oplus\cdots\oplus\Z_p$.

Fecha de entrega: 13 de mayo Problema 1. Enlista los enteros $latex n\le 100$ construibles. Problema 2. Muestra que los únicos enteros $latex n$ impares que se sabe que son construibles son precisamente los divisores de $latex 2^{32}-1 = 4294967295.$ Problema 3. Utiliza el hecho $latex 641 = 5^4 + 2^4 = 5\times 2^7 + 1$ para mostrar que 641 divide a $latex F_5$. Problema 4. Muestra que $latex F_{n+1} = 2 + F_n F_{n-1}\cdots F_0$ y deduce que, si $latex m\not= n$, entonces $latex F_n$ y $latex F_m$ son primos relativos. Problema 5. Se sabe que $latex F_{382449}$ es compuesto. ¿Cuántos dígitos tiene, aproximadamente, este número?

Fecha de entrega: 6 de mayo de 2011 Problema 1. Si $latex K$ es un campo contable y $latex L:K$ es finitamente generada, muestra que $latex L$ es contable. Concluye que las extensiones $latex \R:\Q$ y $latex \C:\Q$ no son finitamente generadas. Problema 2. Calcula el grado de trascendencia de las siguientes extensiones. $latex \Q(t,u,v,w):\Q$, donde $latex t^2 = 2$, $latex u$ es trascendente sobre $latex \Q(t)$, $latex v^3 = t + 5$ y $latex w$ es trascendente sobre $latex \Q(t,u,v)$. $latex \Q(t,u,v,w):\Q$, donde $latex t^2 = u^3 = v^4 = 7$ y $latex w$ es trascendente sobre $latex \Q(t,u,v)$. Problema 3. Sean $latex K\subset L\subset M$ y $latex M:K$ y $latex L:K$ finitamente generadas. Muestra que $latex M:K$ y $latex L:K$ tienen el mismo grado de trascendencia si y solo si $latex M:L$ es finita. Problema 4. Sea $latex \chi(K) = 0$, y sea $latex L:K$ normal y finita con grupo de Galois $latex G=\{g_1,\ldots,g_n\}.$ Define la traza de $latex a\in L$ como $latex T(a) = g_1(a) +...

Fecha de entrega: 15 de abril Problema 1. Muestra la propiedad asociativa de la suma y la propiedad distributiva de las operaciones definidas en clase, en la construcción de un campo de fracciones para un dominio entero. Problema 2. Sea $latex D$ un dominio entero con campo de fracciones $latex F$. Muestra que cualquier monomorfismo $latex \psi:D\to K$, donde $latex K$ es un campo, se puede extender a un monomorfismo $latex \Psi:F\to K$ por medio de $latex \Psi(a/b) = \psi(a)/\psi(b).$ Más aún, si $latex K$ es otro campo de fracciones para $latex D$, concluye que $latex K \cong F$. Problema 3. ¿Para cuáles de los siguientes polinomios $latex m(x)$ existen extensiones $latex K(\alpha):K$ tales que $latex m(t) = \min_K(\alpha)$? $latex m(t) = t^2 + 1, \quad K = \F_3$ $latex m(t) = t^2 + 1, \quad K = \F_5$ Problema 4. Muestra que existen ecuaciones cuadráticas en campos de característica 2 que no pueden descomponerse sobre extensiones agregando solo raíces cuadradas de elementos d...

Fecha de entrega: 8 de abril Problema 1. Muestra que los siguientes polinomios sobre $latex \Q$ no son solubles por radicales. $latex x^5 - 4x+2$ $latex x^5 - 4x^2 + 2$ $latex x^5 - 6x^2 + 3$ Problema 2. En general, si $latex N$ es un entero mayor que 1 y $latex p$ es primo, entonces el polinomio $latex x^5 - Npx + p$, sobre $latex \Q$, no es soluble por radicales. Problema 3. Si $latex f$ es un polinomio irreducible sobre $latex K\subset\C$ y una de sus raíces es expresable por radicales, entonces $latex f$ es soluble sobre $latex K$. Problema 4. Resuelve la ecuación $latex x^6 + 6x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 1 = 0$ por radicales. ( Sugerencia: Utiliza el cambio de variable $latex u = x + \dfrac{1}{x}$ y la fórmula de Cardano.) Problema 5. Da un ejemplo de una extensión radical $latex L:K$ y un campo intermedio $latex K\subset M\subset L$ tal que $latex M:K$ no es radical. ( Sugerencia: Considera el problema anterior.)