Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 4 de octubre Problema 1 Sea $latex f$ continua en $latex [0,2]$. Muestra que existen $latex a,b\in[0,2]$ tales que $latex a - b = 1$          y          $latex f(a) - f(b) = \dfrac{f(2) - f(0)}{2}$. Sea $latex f$ continua en $latex [0,n]$, donde $latex n\in\mathbb Z_+$, tal que $latex f(0) = f(n)$. Muestra que existen $latex a,b\in[0,n]$ tales que $latex a - b = 1$          y          $latex f(a) = f(b)$. Problema 2 Sea $latex f$ diferenciable en $latex [a,b]$ tal que $latex f(a) = f(b) = 0$, $latex f'(a)>0$ y $latex  f'(b) > 0$. Muestra que existe $latex c\in(a,b)$ tal que $latex f(c) = 0$ y $latex f'(c) \le 0$. Problema 3 Sea $latex f$ continua en $latex [a,\infty)$ con $latex \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)$ finito. Muestra que $latex f$ es acotada en $latex [a,\infty)$. Problema 4 Considera la función $latex f(x) = x^{1/x}$.  Haz un bosquejo de su gráfica, e indica dónde parece alcanzar su máximo, si lo alcanza.

Fecha de entrega: 27 de septiembre Problema 1 Para $latex x>-1, x\not=0$, muestra que $latex (1+x)^\alpha > 1 + \alpha x$, si $latex \alpha > 1$ o $latex \alpha < 0$; $latex (1+x)^\alpha < 1 + \alpha x$, si $latex 0 < \alpha < 1$. Problema 2 Muestra que cada una de las siguientes ecuaciones tiene exactamente una raíz real. $latex x^{13} + 7x^3 - 5 = 0$ $latex 3^x + 4^x = 5^x$ Problema 3 Explica el error en el siguiente uso de la regla de L'Hospital: si $latex f(x) = x^2\sin(1/x), g(x) = x$, entonces $latex f$ y $latex g$ son continuas, $latex f(0) = g(0) = 0$, y $latex \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{2x\sin(1/x) - \cos(1/x)}{1}$ no existe. Problema 4 Modifica la demostración de la regla $latex \infty/\infty$ de L'Hospital vista en clase para demostrar el siguiente enunciado: si $latex f,g$ son diferenciables en un intervalo que contiene a $latex x_

Fecha de entrega: 20 de septiembre Problema 1 Muestra que el enunciado " todo conjunto acotado no vacío tiene supremo " implica el principio de intervalos encajados. Problema 2 Demuestra que si $latex f$ es diferenciable en $latex [a,b]$ y $latex f'$ es monótona en pedazos en $latex [a,b]$, entonces es $latex f'$ continua en $latex [a,b]$. Problema 3 Sea $latex p(x)$ un polinomio de grado al menos 2 cuyas raíces son reales y distintas. Demuestra que las raíces de $latex p'(x)$ tienen que ser reales. Explica qué pasa si algunas de las raíces de $latex p(x)$ son múltiples. Problema 4 Sea $latex f$ continua en $latex [a,b]$, diferenciable en $latex (a,b)$, y tal que $latex f'(x)\not=0$ para todo $latex x\in(a,b)$. Muestra que $latex f(a)\not=f(b)$. Problema 5 Muestra que la aproximación $latex \sqrt{1+x} \approx 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2$ tiene un error de a lo más $latex |x|^3/2$, si $latex |x|<1/2$.

Fecha de entrega: 13 de septiembre Problema 1 Muestra los siguientes enunciados, utilizados en las demostraciones vistas en clase. Si $latex a_n < c < b_n$, $latex a_n\to L$ y $latex b_n\to M$, entonces $latex L \le c \le M$. Si $latex f$ es monótona en cada subintervalo $latex (x_{i-1},x_i)$, $latex i=1,2,\ldots,n$, de la partición $latex a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$ del intervalo $latex [a,b]$, entonces es continua en cada $latex x_i$, $latex i = 1, 2, \ldots, n-1$. Si $latex a\not=0$ y $latex |a-b|<|a|$, entonces $latex a$ y $latex b$ tienen el mismo signo. Problema 2 Sea $latex f:[0,1]\to[0,1]$ continua en todo punto. Muestra que $latex f$ tiene un punto fijo, es decir, existe $latex c\in[0,1]$ tal que $latex f(c) = c$. Problema 3 Muestra que la función $latex \displaystyle f(x) = \begin{cases}1 & x \text{ racional}\\0 & x \text{ irracional}\end{cases}$ es discontinua en todo punto. Problema 4 Discute la continuidad de la fun

Cauchy Pueden leer completo el texto de Cauchy Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique  (Curso de análisis de la Escuela Real Politécnica) en Google Books:  Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique . Cauchy enuncia el teorema del valor intermedio en la página 43, Teorema 4 de la sección 2 del capítulo 2. Ahí da la idea de la demostración, pero la demostración rigurosa la incluye en la página 460, donde utiliza el principio de intervalos encajados que vimos en clase. Estudiaremos esta demostración la próxima semana. Pueden encontrar partes de la traducción al inglés aquí:  Cauchy’s Cours d’analyse: An Annotated Translation El texto Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal también lo pueden leer en Google Books:  Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal . La demostración del teorema del valor medio (incorrecta) que discutimos en clase se encuentra en las páginas 27-28. La versión más general la discute en el apéndice, a partir de la pág

Fecha de entrega: 6 de septiembre Problema 1 Muestra que si $latex f$ es continua en $latex x_0$ y $latex \lim_{x\to x_0}f'(x)$ existe, entonces $latex f$ es diferenciable en $latex x_0$ y $latex \displaystyle f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}f'(x)$. ( Sugerencia:  Utiliza el teorema del valor medio en el intervalo de $latex x_0$ a $latex x$, para cada $latex x$.) Problema 2 Si $latex f$  y $latex g$ son diferenciables en $latex a$, encuentra $latex \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{xf(a) - af(x)}{x-a}$ $latex \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)g(a) - f(a)g(x)}{x-a}$ Problema 3 Sea $latex f$ diferenciable en $latex 0$, $latex f(0) = 0$, y $latex k\in\mathbb Z_+$. Encuentra, si existe, el valor de $latex \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\Big( f(x) + f\Big(\frac{x}{2}\Big) + f\Big(\frac{x}{3}\Big) + \ldots + f\Big(\frac{x}{k}\Big)\Big).$ Problema 4 Sea $latex f$ diferenciable en $latex x_0$, y sean $latex x_n$ y $latex y_n$ sucesiones que con