Tarea 10, Cálculo 4

Fecha de entrega: 4 de abril.

Problema 1

Expande la siguientes funciones en su serie de potencias alrededor de $latex \infty$:

• $latex \dfrac{1}{z^2+1}$


• $latex \dfrac{z^2}{z^3-1}$


• $latex e^{1/z^2}$


• $latex z\sinh{1/z}$

Problema 2

Suponga que $latex f(z)$ es analítica en $latex \infty$, con expansión en serie

$latex f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{b_k}{z^k},\qquad |z|>\frac{1}{\rho}$.

Sea $latex \sigma \ge 0$ el menor número tal que $latex f(z)$ extiende una función analítica para $latex |z| > \sigma$. Muestra que la serie $latex \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{b_k}{z^k}$ converge absolutamente para $latex |z|>\sigma$ y diverge para $latex |z|<\sigma$.

Problema 3

Calcula los términos al orden 5 de la expansión en serie alrededor de $latex z=0$ de la función $latex z/\sen z$.

Problema 4

Calcula los términos al orden 7 de la expansión en serie alrededor de $latex z=0$ de la función $latex \cot z$.

Problema 5

Define los números de Bernoulli $latex B_n$  por

$latex \dfrac{z}{2}\cot(z/2) = 1-B_2\dfrac{z^2}{2!}-B_4\dfrac{z^4}{4!}-B_6\dfrac{z^6}{6!}-...$.

Explica por qué no hay términos impares en esta serie. ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie? Encuentra los primeros tres números de Bernoulli.