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Mostrando las entradas de agosto, 2010

Tarea 1, Análisis en fractales

Como tarea para esta semana, leer el primer capítulo del libro de Stein & Shakarchi, Real Analysis , sobre la medida de Lebesgue en $latex \R^n$ (el primer capítulo está disponible en la página del libro: Real Analysis ). Además, resolver los siguientes problemas. Problema 1. Sea $latex E \subset \R^n$ y $latex \mathcal O_n$ el conjunto $latex \mathcal O_n = \{ x: d(x,E) < 1/n \}.$ Si $latex E$ es compacto, entonces $latex m(E) = \lim_{n\to\infty} m(\mathcal O_n)$. Lo anterior puede ser falso si $latex E$ es solo acotado o solo cerrado. Problema 2. Da un ejemplo de un conjunto abierto $latex A\subset\R$ tal que la frontera de su cerradura tiene medida positiva. Problema 3. Sea $latex A\subset[0,1]$ el conjunto de números que no tienen el dígito 4 en su expansión decimal. Calcula $latex m(A)$. Problema 4 (Lema de Borel-Cantelli). Sea $latex \{E_n\}$ una colección contable de conjuntos medibles en $latex \R^n$ tales que $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty m(E_n) < \i