Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 30 de agosto Problema 1 Demuestra, integrando por partes, la identidad de Bernoulli $latex \displaystyle \int_0^x f(t)dt = xf(x) - \frac{x^2}{2!}f'(x) + \frac{x^3}{3!}f''(x) - \frac{x^4}{4!}f'''(x) + \ldots$. Demuestra que la identidad anterior se sigue de la serie de Taylor. ( Sugerencia:  Muestra primero que $latex \displaystyle f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0) = f^{(n+1)}(0)x + \frac{f^{(n+2)}(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(n+3)}(0)}{3!}x^3 + \ldots$.) Problema 2 Encuentra el residuo de Lagrange para la serie binomial $latex \displaystyle (1 + x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \ldots$. Simplifica el residuo para el caso $latex a=-1$ ¿Qué ocurre si $latex x=1$? ¿El residuo converge a 0 cuando $latex n\to\infty$? Problema 3 Indica cuál es el problema con el siguiente argumento: si $latex D_n(0,x)$ es el residuo de la serie geométrica $latex \displaystyle \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x̣^3 + \ldot

Fecha de entrega: 23 de agosto Problema 1 Utiliza la expansión de Leibniz para mostrar que $latex \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1}{1\cdot 3} + \dfrac{1}{5\cdot 7} + \dfrac{1}{9\cdot 11} + \ldots$. Problema 2 Demuestra la identidad de Machin $latex \dfrac{\pi}{4} = 4\arctan\dfrac{1}{5} - \arctan\dfrac{1}{239}$. Problema 3 Demuestra la identidad $latex \displaystyle \int_0^1 (1 - x^{1/p})^q dx = \frac{q}{p+q} \int_0^1 (1 - x^{1/p})^{q-1}dx$. Problema 4 En 1668, James Gregory encontró una mejor serie (es decir, que converge más rápido) para el logaritmo.  Muestra que $latex \log\Big(\dfrac{1+y}{1-y}\Big) = 2\Big( y + \dfrac{y^3}{3} + \dfrac{y^5}{5} + \ldots\Big)$. Utiliza la serie anterior para concluir $latex \log(1 + x) = 2 \Big( \dfrac{x}{x+2} + \dfrac{1}{3}\Big(\dfrac{x}{x+2}\Big)^3 + \ldots \Big)$. ¿Para qué $latex x$ converge esta serie? ¿Cuántos términos necesitamos sumar para aproximar $latex \log 5$ con 5 cifras significativas? Problema 5 E

Referencias adicionales de clase Pueden leer una traducción al inglés de la monografía de Fourier aquí:  The analytical theory of heat . La deducción de la ecuación del calor en equilibrio, $latex \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0,$ (en tres dimensiones) la encuentran en la Sección IV del Capítulo II , mientras que la serie vista en clase la discute en las secciones II y III del Capítulo III . El título de la sección II es, de hecho, "Primer ejemplo del uso de una serie trigonométrica en la teoría del calor". Fourier estaba confiado en que no sería el único. En el siguiente link pueden encontrar el trabajo de Arquímedes sobre la parábola y su área:  Archimedes' quadrature of the parabola . Esas notas son parte de una traducción de las obras completas de Arquímedes. En ellas se establece que el área de la parábola es la serie $latex 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4^2} + \dfrac{1}{4^3

Fecha de entrega: 16 de agosto Problema 1 Considera la serie de Fourier vista en clase $latex \displaystyle \frac{4}{\pi} \Big( \cos\frac{\pi x}{2} - \frac{1}{3} \cos\frac{3\pi x}{2} + \frac{1}{5}\cos\frac{5\pi x}{2} - \frac{1}{7}\cos\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big).$ ¿A qué valor se acerca esta serie cuando  x  se acerca a 1 por la izquierda? ¿A qué valor se acerca esta serie cuando  x  se acerca a 1 por la derecha? ¿Cuál es el valor de esta serie si  x =1? Problema 2 Considera la serie que obtenemos si diferenciamos término a término la serie anterior: $latex \displaystyle -2\Big( \sin\frac{\pi x}{2} - \sin\frac{3\pi x}{2} + \sin\frac{5\pi x}{2} - \sin\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big)$. Grafica las sumas parciales al sumar 1, 2, 5, 10, 100 términos. ¿Te parece que estas gráficas se acerquen a la función 0? Evalúa las sumas parciales con hasta 20 términos para los siguientes valores de  x : 0, 0.2, 0.3, 0.5, 1. ¿Te parece que estas sumas se acercan a 0? ¿Qué ocu