Tarea 9, Cálculo 3

Fecha de entrega: 10 de octubre

Problema 1

Para los siguientes pares de una función vectorial, $Latex \vec r(t)$, y un campo escalar, $Latex f(\vec x)$, sea $Latex F(t) = f(\vec r(t))$. Encuentra $Latex F'(t)$.

1. $Latex f(x,y) = x^y$, $Latex \;\vec r(t) = (t^2,\log t)$,


2. $Latex f(x,y) = xy\tan z$, $Latex \;\vec r(t) = (\cos t,\sin t,t)$.

Problema 2

Encuentra $Latex \dfrac{\partial f}{\partial u}$ y $Latex \dfrac{\partial f}{\partial v}$ para cada una de las siguientes funciones.

1. $Latex f(x,y) = x^2+xy$, $Latex \;x = v e^u$, $Latex \;y = u e^v$,


2. $Latex f(x,y) = x\log (x^2+y^2)$, $Latex \;x = u^2-v^2$, $Latex \;y = u^2+v^2$.

Problema 3

Para cada uno de los siguientes campos escalares, encuentra la dirección en la cual su derivada es máxima.

1. $Latex f(x,y) = \log(x^2+2y^2)$ en $Latex (-1,1)$,


2. $Latex f(x,y,z) = \sin xy-\cos xz$ en $Latex (\pi,1/2,1)$.

Problema 4

Encuentra la ecuación del plano tangente a cada una de las superficies siguientes en el punto indicado.

1. $Latex x^2+y^2-z = 2$ en $Latex (3,-1,8)$,


2. $Latex x e^{yz }+ ye^{xz} = 1$ en $Latex (1,0,-2)$.

Problema 5

Sean $Latex f:R^n\to R$ y $Latex \vec g:R^n\to R^m$ diferenciables en $Latex \vec x_0$. Muestra que $Latex \vec x \mapsto f(\vec x)\vec g(\vec x)$ es diferenciable en $Latex \vec x_0$, y calcula su derivada.

Problema 6

Sea $Latex R = \{(x,y)|1\le x^2+y^2\le 2, y\ge |x|\}$. Haz un bosquejo de la región. Sea $Latex u =x/y, v = x^2+y^2$ tal que $Latex R$ corresponde al rectángulo

$Latex -1\le u\le 1, \hspace{1mm} 1\le v\le 2$.

Mostrar que $Latex dxdy = \dfrac{dudv}{2(1+u^2)}$.

Problema 7

Encuentra el jacobiano de la transformación de coordenadas cilíndricas:

$Latex x = \rho \cos \theta, \\y = \rho \sin \theta, \\z = z.$

Problema 8

Encuentra el jacobiano de la transformación de coordenadas esféricas:

$Latex x=\rho \cos\theta \cos\phi, \\y = \rho \sin \theta \cos \phi, \\z = \rho \sin \phi.$