Tarea 8, Cálculo 4

Fecha de entrega: 21 de marzo

Problema 1

Muestra que $latex |\Re z|\le |z|$ y $latex |\Im z| \le |z|$. Muestra que

$latex |z+w|^2 = |z|^2 + |w|^2 + 2\Re(z\bar w)$.

Usa esto para probar la desigualdad del triángulo $latex |z+w|\le |z|+|w|$.

Problema 2

Dibuja bocetos de las siguientes curvas, así como de sus imágenes bajo las funciones $latex w=z^2$  y la rama principal de $latex w=\sqrt z$.

1. $latex x=1$


2. $latex y^2=x^2-1$, $latex x >0$


3. $latex |z-i|=1$


4. $latex y=x$

Problema 3

Dibuja un boceto de las siguientes figuras y de sus imágenes bajo $latex w=e^z$.

1. el rectángulo $latex 0<\Re z<1, 0<\Im z<\pi/4$


2. el disco $latex |z|\le \pi/2$


3. la banda vertical $latex -1 <\Re z < 0$

Problema 4

Muestra que las siguientes funciones son armónicas, y calcula su armónica conjugada.

1. $latex xy$


2. $latex \cos x\cosh y$


3. $latex xy + 3x^2y - y^3$


4. $latex \dfrac{x}{x^2+y^2}$

Problema 5

Calcula explícitamente las transformaciones de Möbius determinadas por las siguientes correspondencias de tercias de números.

1. $latex (0,1,\infty)\mapsto(1,1+i,2)$


2. $latex (0,\infty,i)\mapsto (0,1,\infty)$


3. $latex (0,1,\infty)\mapsto(0,\infty,i)$


4. $latex (1,i,-1)\mapsto(1,0,-1)$

Problema 6

Utiliza la fórmula integral de Cauchy para evaluar las siguientes integrales.

1. $latex \displaystyle \oint_{|z|=1} \frac{\sinh z}{z^2} dz$


2. $latex \displaystyle \oint_{|z|=5} \frac{\cos z}{z^2-\pi^2} dz$


3. $latex \displaystyle \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z^2(z^2-4)e^z}$


4. $latex \displaystyle \oint_{|z|=\pi/2} \frac{e^z}{z^2-4} dz$