Ricardo A. Sáenz

Due date: November 24 Problem 1 If the measurable $latex f_n\searrow f\ge 0$ with $latex \int f_1 < \infty$, then $latex \int f_n \to \int f.$ Explain the condition $latex \int f_1 < \infty$. Problem 2 Let $latex f\in L^1(\R)$ and $latex f^\delta(x) = f(\delta x)$. Then $latex \displaystyle \int f^\delta = \frac{1}{\delta}\int f.$ Problem 3 There exists a positive continuous $latex f \in L^1(\R)$ such that $latex \limsup_{|x|\to\infty} f(x) = \infty.$ If $latex f\in L^1(\R)$ is uniformly continuous, then $latex \lim_{|x|\to\infty}f(x) = 0.$ Problem 4 If $latex f\in L^1(\R)$ and $latex F(x) = \int_{-\infty}^x f$. Then  F is uniformly continuous.

Due date: November 17 Problem 1 For each $latex n\in\Z$, let $latex e_n(x) = e^{2\pi i nx}$. Then $latex \displaystyle \int_0^1 e_n(x) \overline{e_m(x)} dx = \begin{cases} 1 & n=m\\ 0 & n\not=m. \end{cases}$ Problem 2 For $latex f\in C([0,1])$, the sequence $latex \widehat f(n) \to 0$ as $latex |n|\to\infty$. Problem 3 Let $latex f\in C^1([0,1])$ with $latex f(0)=f(1)$. $latex \widehat{f'}(n) = 2\pi i n \widehat f(n)$ The Fourier series of  f converges uniformly to  f . Problem 4 Let $latex E\subset \R$ and $latex U_n$ the open set $latex U_n = \{x\in\R: d(x,E)<1/n\}.$ If  E is compact, $latex |E| = \lim |U_n|$. However, the previous conclusion may be false if either  E is closed and unbounded, or bounded and open. Problem 5 Let  E be the subset of $latex [0,1]$ of numbers which do not have the digit 4 in their decimal expansion. Find $latex |E|$.

Due date: November 10 Problem 1 Let  Y be a vector subspace of the normed space  X . Then its closure $latex \bar Y$ is also a vector subspace of  X . Problem 2 Let $latex X=C([-1,1])$ with the inner product $latex \displaystyle (f,g) = \int_{-1}^1 f\bar g.$ Apply the Gram-Schmidt process to the sequence $latex f_n(x) = x^n$ to obtain the orthonormal polynomials $latex p_0, p_1, p_2, p_3$, such that each $latex p_n$ is of degree  n . These are the first  Legendre polynomials . Problem 3 Let  Y be a close subspace of the Hilbert space  X and $latex T:X\to Y$ the orthogonal projection onto  Y , $latex Tx = \text{Proj}_Y x.$ T is continuous. Problem 4 Let  Y be a closed subspace of the Hilbert space  X , and let $latex Y^\perp = \{ x\in X: x\perp Y\}.$ $latex Y^\perp$ is a closed subspace of  X . $latex X\cong Y\oplus Y^\perp$. Problem 5 Let X be an inner product space and $latex \bar X$ its completion. $latex \bar X$ is a Hilbert space. If  X is separable, so is $latex \ba...

Due date: November 3 Problem 1 Let $latex f_n(x) = a_n x^2 + b_n x + c_n$ be a sequence of quadratic polynomials such that $latex \displaystyle \int_0^1 |f_n(x)| dx \to 0.$ Then the coefficient sequences $latex a_n, b_n, c_n$ all converge to zero. Problem 2 For $latex r\in\Z_+$, let $latex \mathscr P_r$ be the space of polynomials of degree at most  r . If $latex f_n\in\mathscr P_r$ converge uniformly to f  in [0,1], then $latex f\in\mathscr P_r$. The polynomials $latex \displaystyle f_n(x) = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2^2}x^2 + \ldots + \frac{1}{2^n} x^n$ converge uniformly on [0,1], but their limit is not a polynomial function. Problem 3 Let $latex \mathscr H$ be the subspace of functions $latex f\in C([0,1])$ that satisfy $latex f(1 - x) = f(x)$. Then $latex \mathscr H$ is an infinite dimensional closed subspace of $latex C([0,1])$. Problem 4 Let $latex \mathscr I: C([0,1])\to C([0,1])$ be the operator given by $latex \displaystyle \mathscr If(x) = \int_0^x f(t) dt.$ $latex \...

Due date: October 27 Problem 1 Let $latex x_n\to x, y_n\to y$ be convergent sequences in the normed space $latex (X,||\cdot||)$ over $latex \K$. Then $latex x_n + y_n \to x + y$; $latex \lambda_n x_n \to \mu x$ for all sequences $latex \lambda_n\to\lambda$ in $latex \K$. Problem 2 Let $latex (X,||\cdot||)$ be a normed space over $latex \K$. $latex \lim ||x_n-x|| = 0$ implies $latex \lim||x_n||=||x||$. For $latex x,y\in X,\lambda\in\R$, find $latex \lim \big( ||(n+\lambda)x + y|| - ||nx+y||\big)$. Problem 3 Let  X be a Banach space, $latex x_n\in X$, $latex ||x_n||=1$ for all n , and $latex \lambda_n\in\K$. Discuss the validity of the statement:  $latex \sum \lambda_n x_n$ converges if and only if $latex \sum |\lambda_n|<\infty$ . Problem 4 Let $latex x_n$ be a sequence in a Banach space  X such that, for all $latex \e>0$, there exists a convergent sequence $latex y_n$ such that $latex ||x_n - y_n||<\e$ for all  n . $latex x_n$ converges. Give an example where the...

Due date: October 20 Problem 1 If  X is discrete, then $latex (\mathcal C_X, d_H)$ is discrete. Let $latex A\subset X$ be a finite set of isolated points of  X . Then  A is an isolated point in $latex \mathcal C_X$. Problem 2 Let $latex A_n\subset X$ be nonempty compact sets such that $latex A_{n+1}\subset A_n$. Then $latex \displaystyle A_n \to \bigcap_{k\ge 1} A_k$ in $latex (\mathcal C_X, d_H)$. Problem 3 Two norms $latex ||\cdot||_1, ||\cdot||_2$ are  equivalent if there exist constants $latex c_1, c_2>0$ such that $latex c_1 ||x||_1 \le ||x||_2 \le c_2 ||x||_1$ for all $latex x\in X$. If $latex ||\cdot||_1, ||\cdot||_2$ are equivalent, for all $latex \e>0$ there exist $latex \delta_1, \delta_2>0$ such that $latex B_{\delta_1}^1(x) \subset B_\e^2(x)$ and $latex B_{\delta_2}^2(x) \subset B_\e^1(x)$ for all $latex x\in X$, where $latex B_r^i(x)$ is the ball with respect to the norm $latex ||\cdot||_i$. If there exist $latex \delta,\e>0$ such that $latex B_\delt...

Due date: October 13 Problem 1 The IVP $latex \displaystyle\begin{cases} x'(t) = \sqrt{x(t)}\\ x(0)=0\end{cases}$ has an infinite number of solutions. Problem 2 If $latex A=\begin{pmatrix} 1/12 & 5/8\\ 5/8 & 1/12\end{pmatrix}$, then, for any $latex x\in\R^2$, $latex |Ax| \le \dfrac{1}{2}|x|$. Problem 3 Let $latex F(x,t) = \dfrac{tx}{x^2+1}$. Then, for all $latex t\in\R$, $latex |F(x,t) - F(y,t)| \le |t||x-y|$. Problem 4 The function $latex f(x) = \sqrt x$ on $latex [0,\infty)$ is uniformly continuous but not Lipschitz. Problem 5 Consider the operator $latex \Phi:C([-1,1])\to C([-1,1])$ given by $latex \displaystyle \Phi(x)(t) = 1 + 2 \int_0^t s x(s) ds,$ for any $latex x(t)\in C([-1,1])$. Starting from the constant function $latex x_0(s)=1$, verify explicitly that the  n th iteration of $latex x_{n+1} = \Phi(x_n)$ is the  n th Taylor polynomial of $latex t\mapsto e^{t^2}$ around $latex t=0$.

Due date: October 6 Problem 1 If $latex A\subset \R^n$ is convex, then $latex \bar A$ is convex. Problem 2 State whether the following are true or false. If $latex A,B$ are path connected, then $latex A\cap B$ is path connected. If $latex A, B\subset\R^n$ are convex, then $latex A\cap B$ is convex. Problem 3 Let $latex A\cap B\not=\emptyset$ in some metric space. State whether the following are true or false. If $latex A,B$ are path connected, then $latex A\cup B$ is path connected. If $latex A,B\subset\R^n$ are convex, then $latex A\cup B$ is convex. Problem 4 The fixed points of a continuous $latex f:\mathbb B^n\to\mathbb B^n$ might not be interior. The Brouwer fixed point theorem is false for the open ball.

Fecha de entrega: 29 de septiembre Problema 1 Calcula los polinomios ciclotómicos $latex \Phi_{11}(x)$ y $latex \Phi_{12}(x)$. Problema 2 Demuestra que $latex \displaystyle \sum_{d|n}\phi(d) = n.$

Fecha de entrega: 29 de septiembre   Problema 1 Encuentra las raíces racionales a los siguientes polinomios.  $Latex 5x^3-3x^2-7x-2$ $Latex 14x^4-37x^3+19x^2-37x+5$ $Latex 15x^4-3x^3-8x^2+6x-4$ Problema 2 Demuestra utilizando el criterio de Eisenstein que los siguientes polinomios son irreducibles. $Latex x^3 + 6x-1$ $Latex x^3+x^2-2x-1$ $Latex x^4-42x^2+21x+56$

Fecha de entrega: 29 de septiembre Problema 1 Problema 1 Examinando el discriminante, determina la existencia y cantidad de raíces reales a los siguientes polinomios. $Latex 2x^2-8x+8$ $Latex x^2-3x+2$ $Latex x^2-4x+5$ $Latex 9x^2+6x+1$ $Latex x^2+6x+13$ $Latex x^2-9$ $latex x^3 - 3x - 2$ $latex x^3 - 3x + 4$ $latex x^3 + 2x -6$ $latex x^3 + x^2 + x + 1$    

Due date: September 29 Problem 1 Let $latex d(x) = d(x,\Z)$ denote the distance from $latex x\in\R$ to the nearest integer. For $latex q\in\Z_+, \alpha>0$, define the sets $latex U_\alpha(q) = \{x\in\R: d(qx)< q^{-\alpha}\}$ and $latex Y_\alpha = \{x\in\R: x$ belongs to infinitely many $latex U_\alpha(q)\}$. $latex Y_\alpha$ is a $latex G_\delta$ subset of $latex \R$ $latex X = \bigcap_{\alpha>0} Y_\alpha$ is a dense $latex G_\delta$ subset of $latex \R$. For each $latex x\in\R$, $latex x\not\in X$ iff there exists a polynomial p over $latex \R$ such that $latex p(n)d(nx)>1$ for all $latex n\ge1$. Problem 2 We say that a real number x is Diophantine of exponent $latex \alpha >0$ if there exists a constant $latex c>0$ such that $latex \Big| x - \dfrac{p}{q} \Big| > \dfrac{c}{q^\alpha}$ for all rationals $latex p/q$. We denote by $latex \mathcal D(\alpha)$ the set of Diophantine numbers of exponent $latex \alpha$ and $latex \mathscr D = \bigcup_\alpha \mathca...

Fecha de entrega: 29 de septiembre Problema 1 Encuentra una raíz real de cada uno de los siguientes polinomios. $latex x^3 - 3x - 2$ $latex x^3 - 3x + 6$ $latex x^3 + x^2 + x + 1$ $latex 2x^3 - x + 2$  

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Averigua si las siguientes matrices son invertibles, y en tal caso calcula su inversa. $latex \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-6&9\\4&-6\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-2&4\\2&0\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}1&-1&0\\2&3&-1\\-1&6&5\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&2&0\\-1&-1&-1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&0&-1\\-1&-1&-3\end{pmatrix}$  

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Considera las siguientes matrices: $latex \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&0&2\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2&2&1\\0&1&-2\end{pmatrix},\; C=\begin{pmatrix}0&1&1\\2&-1&3\\3&1&0\end{pmatrix},\; D=\begin{pmatrix}1&-1\\2&-3\\1&1\end{pmatrix}.$ Calcula $latex A+B$ $latex 2A-B$ $latex AC$ $latex AD$ $latex BC$ $latex BD$ $latex C^2$ $latex CD$ $latex DA$ $latex DB$  

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex \begin{array}{rcl}2x-2y+z&=&2\\x-y-z&=&-1\\-3x+6y-z&=&6\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}3x+3y-z&=&1\\2x+y+z&=&0\\x-y+3z&=&1\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x-3y&=&1\\3x-y&=&2\\x-5y&=&0\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}x+y+z &=& 2\\x-y-2z&=&-3\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x+4y-z&=&-1\\x+y+z&=&0\\-x-y+z&=&3\end{array}$  

Due Date: September 22 Problem 1 Let  X be a complete metric space. The countable intersection of dense $latex G_\delta$ sets in  X is a dense $latex G_\delta$ set in  X . If a set and its complement are dense subsets of  X , at most one can be $latex G_\delta$. A countable dense subset of  X cannot be $latex G_\delta$. Problem 2 Let  X be a complete metric space. If $latex O\subset X$ is open, then  O is a metric subspace of the second category. If $latex \{F_n\}$ are closed subsets of  X with $latex X = \bigcup_n F_n$, then $latex \bigcup_n F_n$ is dense in  X . Problem 3 Let $latex \{f_n\}\subset C(\R)$ be such that for each $latex x\in\R$ there exists $latex n\ge 1$ such that $latex f_n(x)=0.$ Let  O be the set of $latex x\in\R$ such that there exist $latex n\ge 1$ and $latex \e>0$ such that $latex f_n|_{(x-\e,x+\e)}=0$. Then  O is an open dense set in $latex \R$. Problem 4 Let $latex f:\R\to\R$ be an infinitely differentiable function such that for all $latex ...

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Para las siguientes ecuaciones, haz un bosquejo de la recta y encuentra su pendiente. $latex 2x -3y + 1 = 0$ $latex 2x=2$ $latex 2x + 4y = 1$ Problema 2 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex 2x+y=1\quad 3x-y=1$ $latex -x-2y=2\quad 3x+6y=6$ $latex 2x-6y=0\quad 3x-2y=1$ $latex -5x+2y=-2\quad 8x-y=1$ $latex 2x+y=4\quad-4x-2y=-8$  

Fecha de entrega: 15 de septiembre Problema 1 Para cada pareja de polinomios $latex f(x), g(x)$, encuentra polinomios $latex q(x), r(x)$ tales que $latex f(x) = g(x)q(x) + r(x)$ y $latex \grad r(x) < \grad g(x)$. $latex f(x) = x^4 + 3x^2+1, g(x) = 2x^2-1$ $latex f(x) = x^5- x^4 - 3 x^3 + 2 x^2 + x-2, g(x) = x^2-x-1$ Problema 2 Encuentra un máximo común divisor $latex d(x)$ de los polinomios $latex f(x) = x^2-x-1 \qqy g(x) = x^3 - 5x + 2$, y encuentra polinomios $latex p(x), q(x)$ tales que $latex f(x) p(x) + g(x) q(x) = d(x).$ Problema 3 Factoriza $latex x^4 + 1$ en polinomios cuadráticos reales.

Fecha de entrega: 15 de septiembre Problema 1 Resuelve las siguientes ecuaciones. $latex z^2 - z - 1 + i = 0$ $latex z^2 - iz - 1 - i = 0$ $latex z^2 + (1+i)z + 10 + 11i = 0$ $latex z^2 + (1-i)z - i = 0$  

Les recomiendo el post  Timeless Note-Taking Systems for Students , publicado en el blog de  Evernote , con recomendaciones para tomar notas en sus clases (no es necesario usar la aplicación, obviamente). El post incluye enlaces a recomendaciones preparadas por diversas universidades, sugerencias de escritura, y algunas ideas para identificar la información relevante a tomar nota.

Fecha de entrega: 15 de septiembre Problema 1 Calcula explícitamente, en coordenadas cartesianas, las raíces sextas de la unidad. Problema 2 Resuelve las siguientes ecuaciones. $latex z^2 = -2+2i$ $latex z^3 = -i$ $latex z^4 = -1$ $latex z^3 = -8+8i$ $latex z^2 = -4i$  

Due date: September 15 Problem 1 State whether the following are true: $latex \overline{A\cup B} \subset \overline{A}\cup \overline{B}$; $latex \overline{A\cup B} \supset \overline{A}\cup \overline{B}$; $latex \overline{A\cap B} \subset \overline{A}\cap \overline{B}$; and $latex \overline{A\cap B} \supset \overline{A}\cap \overline{B}$. Problem 2 The closed ball $latex \bar B_r(x_0) = \{ x\in X: d(x,x_0)\le r\}$ is a closed set in  X . Problem 3 If $latex f:X\to Y$ is continuous, its  graph  $latex G=\{(x,f(x)): x\in X\}$ is closed in $latex X\times Y$. Problem 4 Give an example of two disjoint closed sets in a metric space at zero distance. Problem 5 If $latex U\subset \R$, then it is the disjoint countable union of open intervals.  

Fecha de entrega: 15 de septiembre Problema 1 Escribe los siguientes números complejos en forma polar. $latex z = 2-2i$ $latex z = -3\sqrt 3 + 3i$ $latex z = -4-4i$ $latex z = 4 + 4\sqrt 3 i$ $latex z = -2-2i$ Problema 2 Escribe los siguientes números complejos en forma cartesiana. $latex z = 4e^{i\pi/2}$ $latex z = 2e^{2i\pi/3}$ $latex z = e^{7i\pi/4}$ $latex z = 6e^{-5i\pi/3}$ $latex z = 3e^{-9i\pi/4}$  

Fecha de entrega: 8 de septiembre Problema 1 Dibuja en el plano complejo los números $latex z, w, z+w, z-w $ y $latex zw $ para los siguientes números complejos. $latex z=2+3i, w=1-i $ $latex z=1+i, w=1-i $ $latex z=2+2i, w=1-2i $ $latex z=-3-2i, w=-3+4i $ $latex z=5i, w=1-2i $ Problema 2 Calcula $latex |z|, |w|, |z+w|$ y $latex |zw|$ para los números del problema anterior. En cada caso, verifica que $latex |z+w| \le |z| + |w|$ y que $latex |zw| = |z| |w|$.

Fecha de entrega: 8 de septiembre Problema 1 Sea $latex f:[0,1]\to[0,1]$ una función continua. Utiliza el teorema del valor intermedio para mostrar que existe $latex x\in[0,1]$ tal que $latex f(x)=x$. Problema 2 Utiliza el teorema del valor intermedio para mostrar que existe $latex x\in[0,\pi]$ tal que $latex \sen x + 1 = x$.

Fecha de entrega: 8 de septiembre Problema 1 Indica si los siguientes conjuntos son acotados por arriba o por abajo y, en tal caso, indica su supremo y/o ínfimo. $latex \Big\{\dfrac{1}{n}: n\in\N\Big\}$ $latex \Big\{\dfrac{(-1)^n}{n}:n\in\N\Big\}$ $latex \{x\in\Z: x^2 < 5 \}$ $latex \{x\in\Q: x^2-x<2\}$ $latex \{x\in\R: |x^2-5| \ge 1\}$  

Due date: September 8 Problem 1 Let $latex L^1([a,b])$ be the space of real valued continuous functions with the $latex d_1$ metric. The polynomials are dense in $latex L^1([a,b])$. Is $latex L^1([a,b])$ separable? Problem 2 Let $latex f:[a,b]\to\R$ be a continuous function such that $latex \displaystyle \int_a^b f(x) x^n dx = 0$ for all $latex n=0,1,2,\ldots$. Then $latex f(x)=0$ for all $latex x\in[a,b].$ Problem 3 Let $latex \mathbb S^1$ be the circle and $latex \mathscr A\subset C(\mathbb S^1)$ the algebra of trigonometric polynomials. Then $latex \mathscr A$ separates points. Problem 4 If $latex f,g\in C(X)$, then $latex \max(f,g), \min(f,g)\in C(X)$ . Problem 5 If $latex X,Y$ are compact metric spaces, then the tensor space $latex \displaystyle C(X)\otimes C(Y) = \{ (x,y)\mapsto \sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(y): f_k\in C(X), g_k\in C(Y), n\ge1\}$ is dense in $latex C(X\times Y)$. Note:  The product space $latex X\times Y$ has the metric $latex d_{X\times Y} \big( (x_1,y_1), (x_2,y...

Fecha de entrega: 8 de septiembre Problema 1 Averigua si existe un campo de tres elementos distinto a $latex (\Z_3,+,\times)$. Problema 2 Muestra que, si $latex d\in\Z_+$ y $latex \sqrt d$ es racional, entonces cada factor primo de $latex d$ aparece un número par de veces en su factorización prima y, por lo tanto, $latex d$ es un cuadrado. Problema 3 Encuentra dos números irracionales tales que su suma es un número racional. Encuentra dos números irracionales tales que su multiplicación es un número racional.

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Demuestra que, si $latex a,b,c\in\Q, a\not=0$, la ecuación $latex ax + b = c$ tiene solución en $latex \Q$, y es única. Problema 2 Demuestra que, si $latex \dfrac{p}{q}, \dfrac{m}{n}, \dfrac{u}{v}\in\Q$ satisfacen $latex \dfrac{p}{q} < \dfrac{m}{n}$ y $latex \dfrac{m}{n} < \dfrac{u}{v}$, entonces $latex \dfrac{p}{q} < \dfrac{u}{v}$.

Debido a la suspensión de clases de la Universidad para mañana, 31 de agosto, no tendremos clase de Fundamentos de matemáticas . La hora de oficina a las 4, sin embargo, no se cancela. También habrá tarea, desde luego. https://twitter.com/udec_oficial/status/903054441926070274?s=09

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Ordena los siguientes números racionales de menor a mayor: $latex \dfrac{2}{4}, \;\dfrac{-2}{-7}, \;\dfrac{5}{-2}, \;\dfrac{13}{-11}, \;\dfrac{1}{4}, \;\dfrac{44}{-60}, \;\dfrac{4}{5}, \;\dfrac{5}{4}, \;\dfrac{-23}{11}, \;\dfrac{5}{-5}$. Problema 2 Demuestra que, si $latex \dfrac{p}{q} = \dfrac{m}{n}$ y $latex q\not=-n$, entonces $latex \dfrac{p+m}{q+n} = \dfrac{p}{q}$.

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Calcula $latex \phi(n)$ para $latex n = 7, 9, 10, 12, 15, 16, 20, 30, 60, 105$. Problema 2 Calcula la clase de congruencia de $latex 2^{340} \pmod{341}$. ¿Qué te dice sobre la inversa del teorema de Fermat?

Due date: September 1 Problem 1 Let $latex f_n:[a,b]\to\R$ a monotone sequence of continuous functions which converges pointwise to the continuous function $latex f:[a,b]\to\R$. Then $latex f_n\rightrightarrows f$ on $latex [a,b]$. Problem 2 Let $latex K:[0,1]\times[0,1]\to[0,1]$ be a continuous function and define the operator $latex \mathscr L:C([0,1])\to C([0,1])$ by $latex \displaystyle \mathscr Lf(x) = \int_0^1 K(x,y) f(y) dy$. Then, the image of the closed ball $latex \bar B_1(0)$ in $latex C([0,1])$ under $latex \mathscr L$ is compact. Such operator is called a  compact operator . Problem 3 Let $latex w:[0,1]\to\R$ be continuous. Then the operator $latex \displaystyle \mathscr Lf(x) = \int_0^x f(t) w(t)dt$ is compact. Problem 4 Let $latex \Omega\subset\R^m$ be open and $latex f_n:\Omega\to\R$ an equicontinuous sequence of functions that converges pointwise. Then $latex f_n$ converges uniformly on each compact subset of $latex \Omega$. Problem 5 Let  X be a compact metric space....

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Calcula la clase de congruencias de las siguientes potencias de enteros $latex 2^{82} \pmod 5$ $latex 3^{1502}\pmod{13}$ $latex 26^{1004}\pmod 7$ $latex 6^{654654654}\pmod{11}$ Problema 2 Resuelve las siguientes ecuaciones, si tienen solución. $latex 8x\equiv 4\pmod 6$ $latex 15x\equiv 6 \pmod{21}$ Problema 3 Construye la tabla del grupo multiplicativo $latex \Z^*_8$. ¿Es este grupo abeliano? ¿Es cíclico?

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Expresa los siguientes números en la base indicada. 431 en base 5 219661 en base 60 13254 en base 12 Problema 2 Utiliza los criterios de divisibilidad vistos en clase para averiguar si los siguientes números son divisibles entre 3, 9 u 11. 13214 23144 22665 Problema 3 Describe un criterio de divisibilidad entre 8 para un número de tres dígitos o menos. ¿Cómo usas este criterio para un número de más dígitos?

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de enteros, usando el algoritmo de Euclides. 30 y 84 792 y 561 568 y 4292 227761 y 661643 Problema 2 Decide si las siguientes ecuaciones tienen solución con enteros $latex x$ y $latex y$ y, en tal caso, encuentra sus soluciones. $latex 25x + 40y = 345$ $latex 66x + 561y = 22$ $latex 3145x + 23001y = 4$ $latex 3145x + 23001y = -85$

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Muestra las siguientes propiedades de divisibilidad. Si $latex n,a,b\in\Z$ y $latex n$ divide a $latex a$, entonces $latex n$ divide a $latex ab$. Si $latex a,b,c\in\Z$, $latex a$ divide a $latex b$ y $latex b$ divide a $latex c$, entonces $latex a$ divide a $latex c$. Problema 2 Indica cuáles de los siguientes enteros son números primos. 365, 401, 451, 517, 533, 543, 575, 693, 797, 823, 917, 993, 1011, 1035, 1131, 1383, 1513, 1697, 1741, 1945. Problema 3 Encuentra números $latex q$ y $latex r$ tales que, para cada par de enteros $latex a,b$, $latex b>0$, dados, $latex a=bq+r$ y $latex 0\le r < b$. $latex a=100, b=17$ $latex a=0, b=8$ $latex a= -25, b=11$ $latex a=-2,b=2$

Due date: August 25 Problem 1 Let  X  be a compact space and $latex f:X\to Y$ a continuous bijection. Then $latex f^{-1}:Y\to X$ is continuous. Give an example of a continuous bijection $latex f:X\to Y$, for a noncompact X , whose inverse is not continuous. Problem 2 Let $latex (X,d_1), (X,d_2)$ have the same convergent sequences. Then $latex (X,d_1)$ is compact if and only if $latex (X,d_2)$ is compact. Problem 3 Let $latex x_n$ be a Cauchy sequence and $latex x_{n_k}\to x$. Then $latex x_n \to x$. Problem 4 Give necessary and sufficient conditions for the discrete space $latex (X,d)$ to be compact. Problem 5 Let $latex x_k$ be a bounded sequence in the Euclidean space $latex \R^n$. Then it has a convergent subsequence (assume the result in $latex n=1$). A closed rectangle in $latex \R^n$ is compact. A closed ball in $latex \R^n$ is compact.

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Considera la sucesión definida por $latex a_1 = 1$, $latex a_2 = 2$, $latex a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2},$ $latex n\ge 3.$ Deduce una conjetura sobre la expresión de $latex a_n$, y demuéstrala. Considera ahora la sucesión definida por $latex a_1 = 1$, $latex a_2 = 1$, $latex a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2},$ $latex n\ge 3.$ De nuevo, deduce y demuestra una conjetura sobre la expresión de $latex a_n.$ Problema 2 Muestra que $latex F_{4n}$ es múltiplo de 3, para cada $latex n\ge 0$. Problema 3 Para $latex n\ge 0$, muestra que $latex F_0 + F_1 + \ldots + F_n = F_{n+2} - 1$.

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que, dados tres números naturales, la suma de dos de ellos es un número par. Problema 2 Demuestra, o da un contraejemplo, para el siguiente enunciado:  Cualquier conjunto A de nueve números naturales contiene un subconjunto B tal que la suma de los elementos de B es un múltiplo de 10.

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que, para todo $latex n\in\N$, $latex 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$ Problema 2 Muestra que, para todo $latex n\in\N$, $latex 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2.$ Problema 3 (Desigualdad de Bernoulli) Muestra que, para todo número natural $latex n>1$ y todo real $latex \alpha>-1, \alpha\not=0$, $latex (1 + \alpha)^n > 1 + n\alpha$.

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que $latex \sqrt 2 + \sqrt 5$ es irracional. Problema 2 Muestra que, para todo  m , existe  k tal que, si $latex n\ge k$, entonces $latex (m-n)^2 > m^2.$ Problema 3 Muestra que existe un único elemento aditivo en $latex \Z$, es decir, un único $latex e\in\Z$ tal que $latex n + e = n$ para todo $latex n\in\Z$.

Due date: August 18 Problem 1 Let $latex f\in C^k(\mathbb S)$, a  k -continuously differentiable periodic function, with period $latex 2\pi$, and let $latex a_n$ be its  n th Fourier coefficient. There exists $latex C>0$ such that $latex |a_n| \le \dfrac{C}{|n|^k}$. The series $latex \sum a_n e^{inx}$ converges uniformly if $latex k\ge 2$. Problem 2 Let $latex f\in C(\mathbb S)$ be Lipschitz continuous,  ie there exists  A such that $latex |f(x) - f(y)| \le A|x-y|$ for every $latex x,y$. Fix $latex h>0$ and let $latex g_h(x) = f(x+h) - f(x-h)$. Then $latex \displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|g_h(x)|^2 dx = \sum_{n\in\Z} 4|a_n|^2 |\sin nh|^2$, and thus $latex \displaystyle \sum_{n\in\Z} |a_n|^2|\sin nh|^2 \le A^2h^2$, where the $latex a_n$ are the Fourier coefficients of  f . Let $latex p\in\Z_+$ and $latex h = \dfrac{\pi}{2^{p+1}}$. Then $latex \displaystyle \sum_{2^{p-1} < |n|\le 2^p} |a_n|^2 \le \frac{A^2\pi^2}{2^{2p+1}}.$ $latex \displaystyle \sum_{2^{p-1}...

Les recomiendo este texto en línea:  Mathematical Reasoning: Writing and Proof , de Ted Sundstrom. El material de estas dos semanas de clase es, más o menos, el contenido de los primeros cinco capítulos del libro. Liga:  Mathematical Reasoning: Writing and Proof .

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que $latex n^3+n$ es par para todo entero  n . Problema 2 Muestra que, si $latex a,b,c$ son enteros, entonces el producto $latex (a-b)(a-c)(b-c)$ es par. Problema 3 Sea $latex p(x) = ax^2 + bx + c$ un polinomio cuadrático. Muestra que $latex p(1) = p(-1)$ si y solo si $latex p(2) = p(-2)$.  

Fecha de entrega: 11 de agosto Problema 1 Considera los conjuntos $latex \N, \mathbb P, \Z$, de números naturales, números pares, y números enteros, respectivamente. Describe los siguientes conjuntos: $latex \N \cap \mathbb P$ $latex \N\setminus \mathbb P$ $latex \Z\setminus(\N\cup\mathbb P)$ $latex \mathbb P\setminus(\Z\cap\N)$ Problema 2 Muestra que $latex (A\cup B)\setminus B = A\setminus B$.

Fecha de entrega: 11 de agosto Problema 1 ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto vacío? ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto $latex \{ 1\}?$ Problema 2 Sea $latex S_1 = \{u,n,o\}$, $latex S_2 = \{d,o,s\}$, $latex S_3 = \{t,r,e,s\}$, y así sucesivamente. ¿Para qué valores de k entre 1 y 10 se tiene que $latex |S_k|=4$? ¿Para qué valores de k entre 1 y 10 tenemos que $latex a \in S_k$? ¿Para qué valores de  k entre 1 y 10 tenemos que $latex \{a,e\}\subset S_k$? Calcula $latex S_2\cup S_4$ y $latex S_2\cap S_4$. Problema 3 Sea $latex U$ el conjunto de las 52 cartas que constituyen la baraja estándar. Sea $latex E$ el conjunto de las cartas marcadas con espadas, $latex D$ el conjunto de diamantes, $latex A$ el conjunto de aces, y $latex R$ el conjunto de reyes. Di que elementos pertenecen a los conjuntos mostrados a continuación y encuentra la cardinalidad de cada conjunto. $latex A \cap D$. $latex R \cup E$ $latex A \cap (E \cup D)$. $latex R \cup (A \cap E)$

Fecha de entrega: 11 de agosto Problema 1 Considera las proposiciones $latex I=$ las tasas de interés bajan. $latex H = $ más gente compra casa. $latex S = $ la bolsa sube. $latex U = $ el desempleo aumenta. Escribe cada implicación, su inversa y su contrapositiva en palabras: $latex I\implies S$ $latex \sim U \implies H$ $latex S\implies (I\wedge H)$ Escribe cada uno de los siguientes enunciados en símbolos. Las tasas de interés bajan solo cuando aumenta el desempleo. El desempleo no sube cuando las tasas de interés bajan y más gente compra casas. Si más gente compra casas y el desempleo no aumenta, entonces la bolsa sube. Problema 2 Escribe cada enunciado utilizando los símbolos $latex \forall$ y $latex \exists$. Para todo número real positivo $latex \e$ existe un número real positivo $latex \delta$ tal que $latex x^2 < \e$ cuando $latex |x|<\delta$. Existe un entero $latex m$ con la propiedad de que para todo entero $latex x$ existe un entero $latex...

Due date: August 11 Problem 1 Let $latex d_M$ be the function on $latex \R^n$ given by $latex d_M(x,y) = \max\{ |x^1 - y^1|, \ldots, |x^n - y^n|\}.$ Then $latex d_M$ is a metric. Let $latex d_T$ be the function on $latex \R^n$ given by $latex d_T(x,y) = |x^1 - y^1| + \ldots + |x^n - y^n|.$ Then $latex d_T$ is a metric. Problem 2 For a metric space $latex (X,d)$, define $latex d_B(x,y) = \dfrac{d(x,y)}{1 + d(x,y)}.$ Are the metrics $latex d, d_B$ equivalent? Do they have the same convergent sequences? Problem 3 A discrete metric space $latex (X,d)$ is complete. Problem 4 Give an example of a pair of metric spaces with the same convergent sequences, but such that one is complete and the other is not. Problem 5 Let $latex x_n, y_n$ sequences in the metric space $latex (X,d)$ such that $latex d(x_n, y_n) \to 0$. Then $latex x_n$ converges if and only if $latex y_n$ does.

Fecha de entrega: 11 de agosto Problema 1 Considera las proposiciones: P = "Daniel estudia"; Q = "Daniel obtiene buenas calificaciones"; y R = "Daniel busca ayuda cuando la necesita". Escribe cada una de las siguientes proposiciones en símbolos. “Daniel estudia pero no obtiene buenas calificaciones”. “Daniel busca ayuda cuando la necesita o no estudia”. “Daniel estudia o no estudia, y obtiene buenas calificaciones”. “Daniel estudia y busca ayuda cuando la necesita, o no obtiene buenas calificaciones”. Problema 2 Muestra que la proposición $latex (P \wedge \sim Q)\vee (\sim P \wedge Q) \vee (\sim P \vee Q)$ es una tautología, calculando su tabla de verdad. Problema 3 Utiliza tablas de verdad para verificar la ecuación $latex \sim(P\wedge Q) \wedge \sim Q = \sim Q$. Justifica con palabras la validez de esta ecuación. Problema 4 Demuestra la propiedad distributiva $latex (P\wedge Q) \vee R = (P\vee R) \wedge (Q\vee R)$.

La calificación ordinaria del curso Álgebra lineal está distribuida de la siguiente forma: Examen escrito: 50% Proyecto final: 50% El examen escrito evaluará la totalidad del material cubierto en la clase. Tendrá una duración de dos horas, y será presentado el lunes 26 de junio, a las 4:00 pm. El proyecto final consiste de una serie de problemas con un tema común, que puede tener como objetivo el desarrollo de un tema o la demostración de un teorema, no visto en clase. A cada estudiante le es asignado un proyecto distinto, y los proyectos no son transferibles. Para resolver los problemas del proyecto se permite revisar las notas de clase o las referencias bibliográficas del curso. No está permitido recibir la ayuda de algún compañero o alguien ajeno a la clase. Sin embargo, si está permitido hacerme preguntas sobre el proyecto, y habrá horas de oficina para preguntas en los siguientes horarios: miércoles 14 de junio, 4:30 - 6:00pm jueves 15 de junio, 4:30 - 6:00pm martes 20 d...

Fecha de entrega: 2 de junio Problema 1 Verifica que cada una de las siguientes transformaciones es autoadjunta, y encuentra una base ortonormal de eigenvectores. $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matrix $latex A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2\\ -2 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matrix $latex A = \begin{pmatrix} 2 & i & 0\\ -i & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr P_2\to\mathscr P_2$ dada por $latex \displaystyle Tp(x) = \frac{1}{4} \int_{-1}^1 (15x^2 y^2 - 6xy - 3) p(y) dy$ Problema 2 Clasifica las siguientes formas cuadráticas de acuerdo a su positividad $latex Q(x) = x_1 x_2$ en $latex \R^2$ $latex Q(x) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_2^2$ en $latex \R^2$ $latex Q(p) = p(0)^2 + 2 p(1)^2 + p(2)^2$ en $latex \mathscr P_2$ Problema 3 Identifica la curva en el plano descrita por cada una de las siguientes ecuaciones. $latex x^2 + xy + y^2 ...

Fecha de entrega: 26 de mayo Problema 1 Considera las siguientes transformaciones lineales $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 4 & -5 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^4 \to \C^4$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\4 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr P_2\to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = p(1)x^2 + p'(x)x + p''(x) + p(0)$ Para cada una de ellas: calcula el determinante; calcula el polinomio característico; verifica que el coeficiente libre de su polinomio característico es $latex \pm 1$ veces su determinante; calcula sus eigenvalores; y encuentra una base tal que la matriz con respecto a ella es triangular. Problema 2 Sea  V un espa...

Fecha de entrega: 19 de mayo Problema 1 Calcula el polinomio mínimo de las siguientes transformaciones lineales. Utilízalo para calcular los eigenvalores de cada una. $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & -4 & 3 \end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr P_2\to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = (x-1)^2 p''(x)+2p(x)$ Problema 2 Da un ejemplo de una transformación lineal $latex T:\C^3\to\C^3$ cuyo polinomio mínimo sea $latex p_m(x) = x^2$. Da un ejemplo de una transformación lineal $latex T:\C^4\to\C^4$ cuyo polinomio mínimo sea $latex p_m(x) = x(x-1)^2$. Problema 3 Sean $latex T:V\to V$ lineal y $latex v\in V$. Sea $latex p(...

Fecha de entrega: 12 de mayo Problema 1 Calcula los eigenvalores y eigenvectores de las siguientes transformaciones lineales. Indica en cada caso si los eigenvectores forman una base. $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por las siguientes matrices: $latex A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}1&1\\-1&3\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sen\theta\\ \sen\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$ $latex T:\C^3 \to\C^3$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix}4&-3&1\\1&0&1\\0&0&3\end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr M_{2,2}\to\mathscr M_{2,2}$ dada por $latex T(A) = A^H$ $latex T:\mathscr P_2 \to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = p''(x) + p'(x) + p(x) + p(0)$ Problema 2 Sea $latex P:V\to V$ una transformación  idempotente : o sea, $latex P^2 = P$. ¿Cuáles son los posibles eigenvalores...

Fecha de entrega: 5 de mayo Problema 1 Considera la matriz $latex A = \begin{pmatrix}1& 2&2&4\\2 & 4 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & -4 & 2\end{pmatrix}$. Encuentra el rango de  A . Encuentra la dimensión de $latex \ker A^H$. Explica si los vectores $latex \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ forman una base para $latex (\ker A^H)^\perp$. Problema 2 Considera la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 1 & -2i & 3 + i\\ 2 & 3 & -1 + i \\ 4 & i & 3-5i\end{pmatrix}$. Encuentra $latex \rho(A)$. Encuentra las dimensiones de $latex \ker A^H, (\ker A^H)^\perp$. Calcula la matriz de Gram $latex A^H A$, y calcula su rango. Problema 3 Calcula la matriz de Gram  G  para la base estándar $latex \{1, x, x^2\}$ de $latex \mathscr P_2$ con respecto a cada uno de los siguientes productos internos. $latex \langle p, q \rangle = \int_0^1 pq$ $latex \langle p, q \rangle = ...

Fecha de entrega: 28 de abril Problema 1 Sea $latex U = \gen\Bigg\{ \begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\2\\0\end{pmatrix}\Bigg\}$. Para cada uno de los siguientes vectores  v , obtén la proyección ortogonal de  v sobre  U con dos métodos: primero, usando una base ortonormal de  U , y, segundo, usando la matrix de Gram asociada. $latex v = \begin{pmatrix}0\\2\\1\\1\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}4\\0\\1\\2\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\-1\end{pmatrix}$ Calcula, además, la matrix de la proyección con respecto a la base estándar. Problema 2 Sea  U el plano $latex x + y + z + w = 0$ en $latex \R^4$. Calcula la proyección ortogonal sobre  U de los siguientes vectores. $latex v = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}1\\-2\\-1\\2\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$ Problema 3 Sea $latex f(x) = 1$, y considera el producto inter...

Fecha de entrega: 7 de abril Problema 1 Averigua si las siguientes funciones escalares son productos internos en el espacio vectorial indicado. En $latex \R^2$, $latex \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 - 5x_1y_2 - 5x_2y_1 + 4x_2y_2$ En $latex \R^2$, $latex \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 + 5x_1y_2 + 5x_2y_1 + x_2y_2$ En $latex \mathscr P_2$, $latex \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)$ En $latex \mathscr P_3$, $latex \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)$ Problema 2 Usa la ley de cosenos para mostrar que, si $latex x,y\in\R^2$, entonces $latex x\cdot y = |x| |y| \cos\theta$, donde $latex \theta$ es el ángulo entre  x y  y . Problema 3 Si  V es un espacio con producto interno real y $latex u,v\in V$, muestra que $latex \langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2\big)$. Problema 4 Si  V es un espacio con producto interno complejo y $latex u,v\in V$, muestra que $latex \langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2 + i||...

Fecha de entrega: 31 de marzo Problema 1 Verifica si las siguientes funciones $latex \phi:V\to K$ son funcionales en  V . $latex V = \R^2, \phi\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = (x+1)^2 + (y + 2)^2 - (x-2)^2 - (y-1)^2$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x^2 p(x) dx$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x^2 p'(x) dx$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x p(x)^2 dx$ $latex V = \mathbf M, \phi(A) = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ Problema 2 Calcula explícitamente la base dual $latex \widehat{\mathscr B}$ de cada una de las siguientes bases para los espacios V  dados. $latex V = \R^3, \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}$ $latex V = \mathscr P_2, \mathscr B = \{x, x^2-1, (x-1)^2\}$ $latex V = \mathbf M, \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1&1&1\\...

Fecha de entrega: 24 de marzo Problema 1 Para cada una de las siguientes matrices  A , calcula la matriz  B de la transformación $latex x\mapsto Ax$ en $latex \R^3$ con respecto a la base, vista en clase, $latex \mathscr B = \Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}.$ $latex A = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}1&4&7\\-1&2&5\\-3&0&3\end{pmatrix}$ Problema 2 Calcula la integral indefinida $latex \displaystyle \int x^2 e^x dx$ utilizando la inversa de la matriz del operador $latex \dfrac{d}{dx}$ en el espacio $latex V = \gen\{x^2 e^x, x e^x, e^x\}$. Problema 3 Calcula la integral indefinida, para $latex n\in\N$, $latex \displaystyle \int x^n e^x dx$ como en el problema anterior. Problema 4 Considera la base $latex \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}, \begin...

Fecha de entrega: 17 de marzo Problema 1 Para cada una de las siguientes matrices, considera la transformación $latex Tx = Ax$. Calcula una base para $latex \ker T$, y utilízala para calcular su dimensión y la dimensión de $latex \rg T$. $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & 5\\ 2 & 0 & -2 & 1 & 6\\ 3 & 0 & 2 & 1 & 3\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\ 1 & 2 & -1\\ 0 & -2 & -4\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 7 & 1 & -2\\2 & 1 & 4 & 1 & -2\end{pmatrix}$ Problema 2 Para cada una de las siguientes matrices, considera la transformación $latex Tx = Ax$. Calcula una base para $latex \rg T$, y utilízala para calcular su dimensión y la dimensión de $late...

Fecha de entrega: 10 de marzo Problema 1 Considera la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 & -1 & -1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1\\2 & 4 & 1 & -2 & 2 & 3\end{pmatrix}$ Encuentra una base para $latex \ker A$ Encuentra bases para $latex \rg A$, utilizando los dos métodos vistos en clase. Problema 2 Sea A  una matriz de $latex m\times n$ de rango 1. Muestra que existen vectores $latex \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{pmatrix} \in\mathbb K^m \qqy \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}\in\mathbb K^n$ tales que $latex A = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 &b_2 &\cdots &b_n\end{pmatrix}$. Problema 3 Demuestra que, para cada vector $latex v\in\R^{n+1}$, existe un polinomio $latex p(x)\in\mathscr P_n$ tal que $latex \displaystyle v_k = \int_k^{k+1} p(x) dx.$ Problema 4 Sea  A una matriz de $latex m\times n$ tal que s...

Fecha de entrega: 3 de marzo Problema 1 Indica si las siguientes transformaciones lineales son inyectivas y/o sobreyectivas. Calcula su espacio nulo. $latex T:\R^4\to\R^4$ dada por $latex T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1&2&1\\1&0&1&2\\1&2&3&0\\1&-1&0&3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$ $latex T:\mathbb K^\infty \to \mathbb K^\infty$ dada por $latex T(a_1,a_2,a_3,\ldots) = (a_2, a_3,\ldots)$ $latex T:\mathcal M_{2,2}\to \mathcal M_{2,2}$ dada por $latex TA = A + A^t$, donde $latex A^t$ es la transpuesta de $latex A$ $latex T:\mathbf M\to\R^3$ dada por $latex T\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{22}\\a_{33}\end{pmatrix}$, donde  M es el espacio de cuadrados mágicos. Problema 2 Sea $latex T:V\to W$ una transformación lineal. Si  T es inyectiva y $latex v_...

Fecha de entrega: 24 de febrero Problema 1 Indica si los siguientes subconjuntos son bases de los espacios vectoriales dados: $latex \{(1+x)^2, (2 + x)^2, (3+x)^2 \} \subset \mathscr P_2$ $latex \left\{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\1\\1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\2\\1\\1\end{pmatrix} \right\}\subset \R^4$ $latex \left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \right\} \subset \mathcal M_{2\times2}$ Problema 2 Sea  V un espacio de dimensión finita y  U un subespacio tal que $latex \dim U = \dim V$. Muestra que $latex U=V$. Problema 3 Calcula una base para cada uno de los siguientes subespacios vectoriales. $latex \left\{ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \in \R^3 : x_1 + x_2 - x_3 = 0 \right\}$ en $latex \R^3$ $latex \{ p(x)\in\mathscr P_3: p(2)=0\}$ ...

Fecha de entrega: 17 de febrero Problema 1 Averigua si los siguientes vectores se encuentran en el espacio generado dado: $latex x^2+1$ en $latex \gen\{ 1, x-2, (x-2)^2\}\subset\mathscr P$ $latex \begin{pmatrix}-1\\-4\\1\end{pmatrix}$ en $latex \gen\Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}\subset\R^3$ $latex \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ en $latex \gen\Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\Bigg\}\subset\R^3$ $latex \sen^2x$ en $latex \gen\{1, \cos x, \cos 2x, \cos 3x, \cos 4x,\ldots\}\subset C$ Problema 2 Muestra que, si los vectores $latex v_1, v_2, \ldots, v_k$ generan el espacio  V , entonces también lo hacen los vectores $latex v_1 - v_2, v_2 - v_3, \ldots, v_{k-1} - v_k, v_k$. Problema 3 Averigua si los siguientes vectores son linealmente independientes: $latex \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{...

Fecha de entrega: 10 de febrero Problema 1 Indica cuáles de los siguientes conjuntos forman un espacio vectorial sobre el campo dado, con las operaciones descritas Los números reales $latex \R$ sobre $latex \Q$, con suma y multiplicación usuales El conjunto de las funciones discontinuas en 0 en $latex \R$, sobre $latex \R$, con suma de funciones y multiplicación escalar usuales El conjunto $latex \R_+$ de números positivos, sobre $latex \R$, con suma $latex x\oplus y = xy$ y multiplicación escalar $latex \alpha x = x^\alpha$ El conjunto  V de parejas $latex (x,y)$ de números reales, sobre $latex \R$, con suma $latex (x,y)\oplus(u,v) = (x + u, y + v)$ y multiplicación escalar $latex \alpha(x,y) = (\alpha x, 2\alpha y)$ Problema 2 Demuestra las siguientes propiedades de un espacio vectorial  V sobre el campo $latex \mathbb K$ Para todo $latex \alpha\in\mathbb K$, $latex \alpha\cdot 0 = 0$ El negativo $latex -v$ de cada $latex v\in V$ es único Para cada $latex u, v\...

Fecha de entrega: 3 de febrero Problema 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Expresa su conjunto solución en forma vectorial. $latex \begin{array}{rcl} -2x_2 + 4x_3 + x_4 & = & -4\\ 2x_1 - 2x_2 + 8x_3 + x_5 & = & -16\\ x_1 + 2x_3 & = & -6\\ 3x_2 - 6x_3 - x_4 & = & 7 \end{array}$ $latex \begin{array}{rcl} x_1 + x_2 - 2x_3 &=& -1\\ 8x_1 + x_2 + 5x_3 &=& 6 \\ -6 x_1 - 3 x_2 + 3 x_3 &=& 0\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl} 3x_1 + 6x_3 & = & 1\\ 4x_1 + 2x_2 + 24x_3 & = & -3\\ 3x_1 - 2x_2 - 9x_3 & = & 5 \end{array}$ $latex \begin{array}{rcl} 2 x_2 - 6 x_3 &=& 3 \\ x_1 + x_3 &=& 1 \\ x_1 + 3 x_2 - 8 x_3 &=& 4 \end{array}$ $latex \begin{array}{rcl} - x_1 - 5 x_2 &=& -16 \\ -2 x_1 + 6 x_2 &=& 16 \\ - 4 x_1 + 3 x_2 &=& 5 \\ x_1 + 2 x_2 &=& 7 \end{array}$ Problema 2 Considera el sistema cuya matriz inducida está dada por $latex \le...