Ir al contenido principal

Entradas

Mostrando las entradas de 2017

Homework 16, Real Analysis

Due date: November 24 Problem 1 If the measurable $latex f_n\searrow f\ge 0$ with $latex \int f_1 < \infty$, then $latex \int f_n \to \int f.$ Explain the condition $latex \int f_1 < \infty$. Problem 2 Let $latex f\in L^1(\R)$ and $latex f^\delta(x) = f(\delta x)$. Then $latex \displaystyle \int f^\delta = \frac{1}{\delta}\int f.$ Problem 3 There exists a positive continuous $latex f \in L^1(\R)$ such that $latex \limsup_{|x|\to\infty} f(x) = \infty.$ If $latex f\in L^1(\R)$ is uniformly continuous, then $latex \lim_{|x|\to\infty}f(x) = 0.$ Problem 4 If $latex f\in L^1(\R)$ and $latex F(x) = \int_{-\infty}^x f$. Then  F is uniformly continuous.

Homework 15, Real Analysis

Due date: November 17 Problem 1 For each $latex n\in\Z$, let $latex e_n(x) = e^{2\pi i nx}$. Then $latex \displaystyle \int_0^1 e_n(x) \overline{e_m(x)} dx = \begin{cases} 1 & n=m\\ 0 & n\not=m. \end{cases}$ Problem 2 For $latex f\in C([0,1])$, the sequence $latex \widehat f(n) \to 0$ as $latex |n|\to\infty$. Problem 3 Let $latex f\in C^1([0,1])$ with $latex f(0)=f(1)$. $latex \widehat{f'}(n) = 2\pi i n \widehat f(n)$ The Fourier series of  f converges uniformly to  f . Problem 4 Let $latex E\subset \R$ and $latex U_n$ the open set $latex U_n = \{x\in\R: d(x,E)<1/n\}.$ If  E is compact, $latex |E| = \lim |U_n|$. However, the previous conclusion may be false if either  E is closed and unbounded, or bounded and open. Problem 5 Let  E be the subset of $latex [0,1]$ of numbers which do not have the digit 4 in their decimal expansion. Find $latex |E|$.

Homework 14, Real Analysis

Due date: November 10 Problem 1 Let  Y be a vector subspace of the normed space  X . Then its closure $latex \bar Y$ is also a vector subspace of  X . Problem 2 Let $latex X=C([-1,1])$ with the inner product $latex \displaystyle (f,g) = \int_{-1}^1 f\bar g.$ Apply the Gram-Schmidt process to the sequence $latex f_n(x) = x^n$ to obtain the orthonormal polynomials $latex p_0, p_1, p_2, p_3$, such that each $latex p_n$ is of degree  n . These are the first  Legendre polynomials . Problem 3 Let  Y be a close subspace of the Hilbert space  X and $latex T:X\to Y$ the orthogonal projection onto  Y , $latex Tx = \text{Proj}_Y x.$ T is continuous. Problem 4 Let  Y be a closed subspace of the Hilbert space  X , and let $latex Y^\perp = \{ x\in X: x\perp Y\}.$ $latex Y^\perp$ is a closed subspace of  X . $latex X\cong Y\oplus Y^\perp$. Problem 5 Let X be an inner product space and $latex \bar X$ its completion. $latex \bar X$ is a Hilbert space. If  X is separable, so is $latex \ba

Homework 13, Real Analysis

Due date: November 3 Problem 1 Let $latex f_n(x) = a_n x^2 + b_n x + c_n$ be a sequence of quadratic polynomials such that $latex \displaystyle \int_0^1 |f_n(x)| dx \to 0.$ Then the coefficient sequences $latex a_n, b_n, c_n$ all converge to zero. Problem 2 For $latex r\in\Z_+$, let $latex \mathscr P_r$ be the space of polynomials of degree at most  r . If $latex f_n\in\mathscr P_r$ converge uniformly to f  in [0,1], then $latex f\in\mathscr P_r$. The polynomials $latex \displaystyle f_n(x) = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2^2}x^2 + \ldots + \frac{1}{2^n} x^n$ converge uniformly on [0,1], but their limit is not a polynomial function. Problem 3 Let $latex \mathscr H$ be the subspace of functions $latex f\in C([0,1])$ that satisfy $latex f(1 - x) = f(x)$. Then $latex \mathscr H$ is an infinite dimensional closed subspace of $latex C([0,1])$. Problem 4 Let $latex \mathscr I: C([0,1])\to C([0,1])$ be the operator given by $latex \displaystyle \mathscr If(x) = \int_0^x f(t) dt.$ $latex \

Homework 12, Real Analysis

Due date: October 27 Problem 1 Let $latex x_n\to x, y_n\to y$ be convergent sequences in the normed space $latex (X,||\cdot||)$ over $latex \K$. Then $latex x_n + y_n \to x + y$; $latex \lambda_n x_n \to \mu x$ for all sequences $latex \lambda_n\to\lambda$ in $latex \K$. Problem 2 Let $latex (X,||\cdot||)$ be a normed space over $latex \K$. $latex \lim ||x_n-x|| = 0$ implies $latex \lim||x_n||=||x||$. For $latex x,y\in X,\lambda\in\R$, find $latex \lim \big( ||(n+\lambda)x + y|| - ||nx+y||\big)$. Problem 3 Let  X be a Banach space, $latex x_n\in X$, $latex ||x_n||=1$ for all n , and $latex \lambda_n\in\K$. Discuss the validity of the statement:  $latex \sum \lambda_n x_n$ converges if and only if $latex \sum |\lambda_n|<\infty$ . Problem 4 Let $latex x_n$ be a sequence in a Banach space  X such that, for all $latex \e>0$, there exists a convergent sequence $latex y_n$ such that $latex ||x_n - y_n||<\e$ for all  n . $latex x_n$ converges. Give an example where the

Homework 11, Real Analysis

Due date: October 20 Problem 1 If  X is discrete, then $latex (\mathcal C_X, d_H)$ is discrete. Let $latex A\subset X$ be a finite set of isolated points of  X . Then  A is an isolated point in $latex \mathcal C_X$. Problem 2 Let $latex A_n\subset X$ be nonempty compact sets such that $latex A_{n+1}\subset A_n$. Then $latex \displaystyle A_n \to \bigcap_{k\ge 1} A_k$ in $latex (\mathcal C_X, d_H)$. Problem 3 Two norms $latex ||\cdot||_1, ||\cdot||_2$ are  equivalent if there exist constants $latex c_1, c_2>0$ such that $latex c_1 ||x||_1 \le ||x||_2 \le c_2 ||x||_1$ for all $latex x\in X$. If $latex ||\cdot||_1, ||\cdot||_2$ are equivalent, for all $latex \e>0$ there exist $latex \delta_1, \delta_2>0$ such that $latex B_{\delta_1}^1(x) \subset B_\e^2(x)$ and $latex B_{\delta_2}^2(x) \subset B_\e^1(x)$ for all $latex x\in X$, where $latex B_r^i(x)$ is the ball with respect to the norm $latex ||\cdot||_i$. If there exist $latex \delta,\e>0$ such that $latex B_\delt

Homework 10, Real Analysis

Due date: October 13 Problem 1 The IVP $latex \displaystyle\begin{cases} x'(t) = \sqrt{x(t)}\\ x(0)=0\end{cases}$ has an infinite number of solutions. Problem 2 If $latex A=\begin{pmatrix} 1/12 & 5/8\\ 5/8 & 1/12\end{pmatrix}$, then, for any $latex x\in\R^2$, $latex |Ax| \le \dfrac{1}{2}|x|$. Problem 3 Let $latex F(x,t) = \dfrac{tx}{x^2+1}$. Then, for all $latex t\in\R$, $latex |F(x,t) - F(y,t)| \le |t||x-y|$. Problem 4 The function $latex f(x) = \sqrt x$ on $latex [0,\infty)$ is uniformly continuous but not Lipschitz. Problem 5 Consider the operator $latex \Phi:C([-1,1])\to C([-1,1])$ given by $latex \displaystyle \Phi(x)(t) = 1 + 2 \int_0^t s x(s) ds,$ for any $latex x(t)\in C([-1,1])$. Starting from the constant function $latex x_0(s)=1$, verify explicitly that the  n th iteration of $latex x_{n+1} = \Phi(x_n)$ is the  n th Taylor polynomial of $latex t\mapsto e^{t^2}$ around $latex t=0$.

Homework 9, Real Analysis

Due date: October 6 Problem 1 If $latex A\subset \R^n$ is convex, then $latex \bar A$ is convex. Problem 2 State whether the following are true or false. If $latex A,B$ are path connected, then $latex A\cap B$ is path connected. If $latex A, B\subset\R^n$ are convex, then $latex A\cap B$ is convex. Problem 3 Let $latex A\cap B\not=\emptyset$ in some metric space. State whether the following are true or false. If $latex A,B$ are path connected, then $latex A\cup B$ is path connected. If $latex A,B\subset\R^n$ are convex, then $latex A\cup B$ is convex. Problem 4 The fixed points of a continuous $latex f:\mathbb B^n\to\mathbb B^n$ might not be interior. The Brouwer fixed point theorem is false for the open ball.

Tarea 31, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 29 de septiembre   Problema 1 Encuentra las raíces racionales a los siguientes polinomios.  $Latex 5x^3-3x^2-7x-2$ $Latex 14x^4-37x^3+19x^2-37x+5$ $Latex 15x^4-3x^3-8x^2+6x-4$ Problema 2 Demuestra utilizando el criterio de Eisenstein que los siguientes polinomios son irreducibles. $Latex x^3 + 6x-1$ $Latex x^3+x^2-2x-1$ $Latex x^4-42x^2+21x+56$

Tarea 30, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 29 de septiembre Problema 1 Problema 1 Examinando el discriminante, determina la existencia y cantidad de raíces reales a los siguientes polinomios. $Latex 2x^2-8x+8$ $Latex x^2-3x+2$ $Latex x^2-4x+5$ $Latex 9x^2+6x+1$ $Latex x^2+6x+13$ $Latex x^2-9$ $latex x^3 - 3x - 2$ $latex x^3 - 3x + 4$ $latex x^3 + 2x -6$ $latex x^3 + x^2 + x + 1$    

Homework 8, Real Analysis

Due date: September 29 Problem 1 Let $latex d(x) = d(x,\Z)$ denote the distance from $latex x\in\R$ to the nearest integer. For $latex q\in\Z_+, \alpha>0$, define the sets $latex U_\alpha(q) = \{x\in\R: d(qx)< q^{-\alpha}\}$ and $latex Y_\alpha = \{x\in\R: x$ belongs to infinitely many $latex U_\alpha(q)\}$. $latex Y_\alpha$ is a $latex G_\delta$ subset of $latex \R$ $latex X = \bigcap_{\alpha>0} Y_\alpha$ is a dense $latex G_\delta$ subset of $latex \R$. For each $latex x\in\R$, $latex x\not\in X$ iff there exists a polynomial p over $latex \R$ such that $latex p(n)d(nx)>1$ for all $latex n\ge1$. Problem 2 We say that a real number x is Diophantine of exponent $latex \alpha >0$ if there exists a constant $latex c>0$ such that $latex \Big| x - \dfrac{p}{q} \Big| > \dfrac{c}{q^\alpha}$ for all rationals $latex p/q$. We denote by $latex \mathcal D(\alpha)$ the set of Diophantine numbers of exponent $latex \alpha$ and $latex \mathscr D = \bigcup_\alpha \mathca

Tarea 28, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Averigua si las siguientes matrices son invertibles, y en tal caso calcula su inversa. $latex \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-6&9\\4&-6\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-2&4\\2&0\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}1&-1&0\\2&3&-1\\-1&6&5\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&2&0\\-1&-1&-1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&0&-1\\-1&-1&-3\end{pmatrix}$  

Tarea 27, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Considera las siguientes matrices: $latex \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&0&2\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2&2&1\\0&1&-2\end{pmatrix},\; C=\begin{pmatrix}0&1&1\\2&-1&3\\3&1&0\end{pmatrix},\; D=\begin{pmatrix}1&-1\\2&-3\\1&1\end{pmatrix}.$ Calcula $latex A+B$ $latex 2A-B$ $latex AC$ $latex AD$ $latex BC$ $latex BD$ $latex C^2$ $latex CD$ $latex DA$ $latex DB$  

Tarea 26, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex \begin{array}{rcl}2x-2y+z&=&2\\x-y-z&=&-1\\-3x+6y-z&=&6\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}3x+3y-z&=&1\\2x+y+z&=&0\\x-y+3z&=&1\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x-3y&=&1\\3x-y&=&2\\x-5y&=&0\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}x+y+z &=& 2\\x-y-2z&=&-3\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x+4y-z&=&-1\\x+y+z&=&0\\-x-y+z&=&3\end{array}$  

Homework 7, Real Analysis

Due Date: September 22 Problem 1 Let  X be a complete metric space. The countable intersection of dense $latex G_\delta$ sets in  X is a dense $latex G_\delta$ set in  X . If a set and its complement are dense subsets of  X , at most one can be $latex G_\delta$. A countable dense subset of  X cannot be $latex G_\delta$. Problem 2 Let  X be a complete metric space. If $latex O\subset X$ is open, then  O is a metric subspace of the second category. If $latex \{F_n\}$ are closed subsets of  X with $latex X = \bigcup_n F_n$, then $latex \bigcup_n F_n$ is dense in  X . Problem 3 Let $latex \{f_n\}\subset C(\R)$ be such that for each $latex x\in\R$ there exists $latex n\ge 1$ such that $latex f_n(x)=0.$ Let  O be the set of $latex x\in\R$ such that there exist $latex n\ge 1$ and $latex \e>0$ such that $latex f_n|_{(x-\e,x+\e)}=0$. Then  O is an open dense set in $latex \R$. Problem 4 Let $latex f:\R\to\R$ be an infinitely differentiable function such that for all $latex

Tarea 25, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Para las siguientes ecuaciones, haz un bosquejo de la recta y encuentra su pendiente. $latex 2x -3y + 1 = 0$ $latex 2x=2$ $latex 2x + 4y = 1$ Problema 2 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex 2x+y=1\quad 3x-y=1$ $latex -x-2y=2\quad 3x+6y=6$ $latex 2x-6y=0\quad 3x-2y=1$ $latex -5x+2y=-2\quad 8x-y=1$ $latex 2x+y=4\quad-4x-2y=-8$  

Tarea 24, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 15 de septiembre Problema 1 Para cada pareja de polinomios $latex f(x), g(x)$, encuentra polinomios $latex q(x), r(x)$ tales que $latex f(x) = g(x)q(x) + r(x)$ y $latex \grad r(x) < \grad g(x)$. $latex f(x) = x^4 + 3x^2+1, g(x) = 2x^2-1$ $latex f(x) = x^5- x^4 - 3 x^3 + 2 x^2 + x-2, g(x) = x^2-x-1$ Problema 2 Encuentra un máximo común divisor $latex d(x)$ de los polinomios $latex f(x) = x^2-x-1 \qqy g(x) = x^3 - 5x + 2$, y encuentra polinomios $latex p(x), q(x)$ tales que $latex f(x) p(x) + g(x) q(x) = d(x).$ Problema 3 Factoriza $latex x^4 + 1$ en polinomios cuadráticos reales.

Recomendaciones para tomar notas

Les recomiendo el post  Timeless Note-Taking Systems for Students , publicado en el blog de  Evernote , con recomendaciones para tomar notas en sus clases (no es necesario usar la aplicación, obviamente). El post incluye enlaces a recomendaciones preparadas por diversas universidades, sugerencias de escritura, y algunas ideas para identificar la información relevante a tomar nota.

Tarea 22, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 15 de septiembre Problema 1 Calcula explícitamente, en coordenadas cartesianas, las raíces sextas de la unidad. Problema 2 Resuelve las siguientes ecuaciones. $latex z^2 = -2+2i$ $latex z^3 = -i$ $latex z^4 = -1$ $latex z^3 = -8+8i$ $latex z^2 = -4i$  

Homework 6, Real Analysis

Due date: September 15 Problem 1 State whether the following are true: $latex \overline{A\cup B} \subset \overline{A}\cup \overline{B}$; $latex \overline{A\cup B} \supset \overline{A}\cup \overline{B}$; $latex \overline{A\cap B} \subset \overline{A}\cap \overline{B}$; and $latex \overline{A\cap B} \supset \overline{A}\cap \overline{B}$. Problem 2 The closed ball $latex \bar B_r(x_0) = \{ x\in X: d(x,x_0)\le r\}$ is a closed set in  X . Problem 3 If $latex f:X\to Y$ is continuous, its  graph  $latex G=\{(x,f(x)): x\in X\}$ is closed in $latex X\times Y$. Problem 4 Give an example of two disjoint closed sets in a metric space at zero distance. Problem 5 If $latex U\subset \R$, then it is the disjoint countable union of open intervals.  

Tarea 21, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 15 de septiembre Problema 1 Escribe los siguientes números complejos en forma polar. $latex z = 2-2i$ $latex z = -3\sqrt 3 + 3i$ $latex z = -4-4i$ $latex z = 4 + 4\sqrt 3 i$ $latex z = -2-2i$ Problema 2 Escribe los siguientes números complejos en forma cartesiana. $latex z = 4e^{i\pi/2}$ $latex z = 2e^{2i\pi/3}$ $latex z = e^{7i\pi/4}$ $latex z = 6e^{-5i\pi/3}$ $latex z = 3e^{-9i\pi/4}$  

Tarea 20, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 8 de septiembre Problema 1 Dibuja en el plano complejo los números $latex z, w, z+w, z-w $ y $latex zw $ para los siguientes números complejos. $latex z=2+3i, w=1-i $ $latex z=1+i, w=1-i $ $latex z=2+2i, w=1-2i $ $latex z=-3-2i, w=-3+4i $ $latex z=5i, w=1-2i $ Problema 2 Calcula $latex |z|, |w|, |z+w|$ y $latex |zw|$ para los números del problema anterior. En cada caso, verifica que $latex |z+w| \le |z| + |w|$ y que $latex |zw| = |z| |w|$.

Tarea 19, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 8 de septiembre Problema 1 Sea $latex f:[0,1]\to[0,1]$ una función continua. Utiliza el teorema del valor intermedio para mostrar que existe $latex x\in[0,1]$ tal que $latex f(x)=x$. Problema 2 Utiliza el teorema del valor intermedio para mostrar que existe $latex x\in[0,\pi]$ tal que $latex \sen x + 1 = x$.

Tarea 18, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 8 de septiembre Problema 1 Indica si los siguientes conjuntos son acotados por arriba o por abajo y, en tal caso, indica su supremo y/o ínfimo. $latex \Big\{\dfrac{1}{n}: n\in\N\Big\}$ $latex \Big\{\dfrac{(-1)^n}{n}:n\in\N\Big\}$ $latex \{x\in\Z: x^2 < 5 \}$ $latex \{x\in\Q: x^2-x<2\}$ $latex \{x\in\R: |x^2-5| \ge 1\}$  

Homework 5, Real Analysis

Due date: September 8 Problem 1 Let $latex L^1([a,b])$ be the space of real valued continuous functions with the $latex d_1$ metric. The polynomials are dense in $latex L^1([a,b])$. Is $latex L^1([a,b])$ separable? Problem 2 Let $latex f:[a,b]\to\R$ be a continuous function such that $latex \displaystyle \int_a^b f(x) x^n dx = 0$ for all $latex n=0,1,2,\ldots$. Then $latex f(x)=0$ for all $latex x\in[a,b].$ Problem 3 Let $latex \mathbb S^1$ be the circle and $latex \mathscr A\subset C(\mathbb S^1)$ the algebra of trigonometric polynomials. Then $latex \mathscr A$ separates points. Problem 4 If $latex f,g\in C(X)$, then $latex \max(f,g), \min(f,g)\in C(X)$ . Problem 5 If $latex X,Y$ are compact metric spaces, then the tensor space $latex \displaystyle C(X)\otimes C(Y) = \{ (x,y)\mapsto \sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(y): f_k\in C(X), g_k\in C(Y), n\ge1\}$ is dense in $latex C(X\times Y)$. Note:  The product space $latex X\times Y$ has the metric $latex d_{X\times Y} \big( (x_1,y_1), (x_2,y

Tarea 17, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 8 de septiembre Problema 1 Averigua si existe un campo de tres elementos distinto a $latex (\Z_3,+,\times)$. Problema 2 Muestra que, si $latex d\in\Z_+$ y $latex \sqrt d$ es racional, entonces cada factor primo de $latex d$ aparece un número par de veces en su factorización prima y, por lo tanto, $latex d$ es un cuadrado. Problema 3 Encuentra dos números irracionales tales que su suma es un número racional. Encuentra dos números irracionales tales que su multiplicación es un número racional.

Tarea 16, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Demuestra que, si $latex a,b,c\in\Q, a\not=0$, la ecuación $latex ax + b = c$ tiene solución en $latex \Q$, y es única. Problema 2 Demuestra que, si $latex \dfrac{p}{q}, \dfrac{m}{n}, \dfrac{u}{v}\in\Q$ satisfacen $latex \dfrac{p}{q} < \dfrac{m}{n}$ y $latex \dfrac{m}{n} < \dfrac{u}{v}$, entonces $latex \dfrac{p}{q} < \dfrac{u}{v}$.

Suspensión de clase: 31 de agosto

Debido a la suspensión de clases de la Universidad para mañana, 31 de agosto, no tendremos clase de Fundamentos de matemáticas . La hora de oficina a las 4, sin embargo, no se cancela. También habrá tarea, desde luego. https://twitter.com/udec_oficial/status/903054441926070274?s=09

Tarea 15, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Ordena los siguientes números racionales de menor a mayor: $latex \dfrac{2}{4}, \;\dfrac{-2}{-7}, \;\dfrac{5}{-2}, \;\dfrac{13}{-11}, \;\dfrac{1}{4}, \;\dfrac{44}{-60}, \;\dfrac{4}{5}, \;\dfrac{5}{4}, \;\dfrac{-23}{11}, \;\dfrac{5}{-5}$. Problema 2 Demuestra que, si $latex \dfrac{p}{q} = \dfrac{m}{n}$ y $latex q\not=-n$, entonces $latex \dfrac{p+m}{q+n} = \dfrac{p}{q}$.

Tarea 14, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Calcula $latex \phi(n)$ para $latex n = 7, 9, 10, 12, 15, 16, 20, 30, 60, 105$. Problema 2 Calcula la clase de congruencia de $latex 2^{340} \pmod{341}$. ¿Qué te dice sobre la inversa del teorema de Fermat?

Homework 4, Real Analysis

Due date: September 1 Problem 1 Let $latex f_n:[a,b]\to\R$ a monotone sequence of continuous functions which converges pointwise to the continuous function $latex f:[a,b]\to\R$. Then $latex f_n\rightrightarrows f$ on $latex [a,b]$. Problem 2 Let $latex K:[0,1]\times[0,1]\to[0,1]$ be a continuous function and define the operator $latex \mathscr L:C([0,1])\to C([0,1])$ by $latex \displaystyle \mathscr Lf(x) = \int_0^1 K(x,y) f(y) dy$. Then, the image of the closed ball $latex \bar B_1(0)$ in $latex C([0,1])$ under $latex \mathscr L$ is compact. Such operator is called a  compact operator . Problem 3 Let $latex w:[0,1]\to\R$ be continuous. Then the operator $latex \displaystyle \mathscr Lf(x) = \int_0^x f(t) w(t)dt$ is compact. Problem 4 Let $latex \Omega\subset\R^m$ be open and $latex f_n:\Omega\to\R$ an equicontinuous sequence of functions that converges pointwise. Then $latex f_n$ converges uniformly on each compact subset of $latex \Omega$. Problem 5 Let  X be a compact metric space.

Tarea 13, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Calcula la clase de congruencias de las siguientes potencias de enteros $latex 2^{82} \pmod 5$ $latex 3^{1502}\pmod{13}$ $latex 26^{1004}\pmod 7$ $latex 6^{654654654}\pmod{11}$ Problema 2 Resuelve las siguientes ecuaciones, si tienen solución. $latex 8x\equiv 4\pmod 6$ $latex 15x\equiv 6 \pmod{21}$ Problema 3 Construye la tabla del grupo multiplicativo $latex \Z^*_8$. ¿Es este grupo abeliano? ¿Es cíclico?

Tarea 12, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Expresa los siguientes números en la base indicada. 431 en base 5 219661 en base 60 13254 en base 12 Problema 2 Utiliza los criterios de divisibilidad vistos en clase para averiguar si los siguientes números son divisibles entre 3, 9 u 11. 13214 23144 22665 Problema 3 Describe un criterio de divisibilidad entre 8 para un número de tres dígitos o menos. ¿Cómo usas este criterio para un número de más dígitos?

Tarea 11, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de enteros, usando el algoritmo de Euclides. 30 y 84 792 y 561 568 y 4292 227761 y 661643 Problema 2 Decide si las siguientes ecuaciones tienen solución con enteros $latex x$ y $latex y$ y, en tal caso, encuentra sus soluciones. $latex 25x + 40y = 345$ $latex 66x + 561y = 22$ $latex 3145x + 23001y = 4$ $latex 3145x + 23001y = -85$

Tarea 10, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Muestra las siguientes propiedades de divisibilidad. Si $latex n,a,b\in\Z$ y $latex n$ divide a $latex a$, entonces $latex n$ divide a $latex ab$. Si $latex a,b,c\in\Z$, $latex a$ divide a $latex b$ y $latex b$ divide a $latex c$, entonces $latex a$ divide a $latex c$. Problema 2 Indica cuáles de los siguientes enteros son números primos. 365, 401, 451, 517, 533, 543, 575, 693, 797, 823, 917, 993, 1011, 1035, 1131, 1383, 1513, 1697, 1741, 1945. Problema 3 Encuentra números $latex q$ y $latex r$ tales que, para cada par de enteros $latex a,b$, $latex b>0$, dados, $latex a=bq+r$ y $latex 0\le r < b$. $latex a=100, b=17$ $latex a=0, b=8$ $latex a= -25, b=11$ $latex a=-2,b=2$

Homework 3, Real Analysis

Due date: August 25 Problem 1 Let  X  be a compact space and $latex f:X\to Y$ a continuous bijection. Then $latex f^{-1}:Y\to X$ is continuous. Give an example of a continuous bijection $latex f:X\to Y$, for a noncompact X , whose inverse is not continuous. Problem 2 Let $latex (X,d_1), (X,d_2)$ have the same convergent sequences. Then $latex (X,d_1)$ is compact if and only if $latex (X,d_2)$ is compact. Problem 3 Let $latex x_n$ be a Cauchy sequence and $latex x_{n_k}\to x$. Then $latex x_n \to x$. Problem 4 Give necessary and sufficient conditions for the discrete space $latex (X,d)$ to be compact. Problem 5 Let $latex x_k$ be a bounded sequence in the Euclidean space $latex \R^n$. Then it has a convergent subsequence (assume the result in $latex n=1$). A closed rectangle in $latex \R^n$ is compact. A closed ball in $latex \R^n$ is compact.

Tarea 9, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Considera la sucesión definida por $latex a_1 = 1$, $latex a_2 = 2$, $latex a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2},$ $latex n\ge 3.$ Deduce una conjetura sobre la expresión de $latex a_n$, y demuéstrala. Considera ahora la sucesión definida por $latex a_1 = 1$, $latex a_2 = 1$, $latex a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2},$ $latex n\ge 3.$ De nuevo, deduce y demuestra una conjetura sobre la expresión de $latex a_n.$ Problema 2 Muestra que $latex F_{4n}$ es múltiplo de 3, para cada $latex n\ge 0$. Problema 3 Para $latex n\ge 0$, muestra que $latex F_0 + F_1 + \ldots + F_n = F_{n+2} - 1$.

Tarea 8, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que, dados tres números naturales, la suma de dos de ellos es un número par. Problema 2 Demuestra, o da un contraejemplo, para el siguiente enunciado:  Cualquier conjunto A de nueve números naturales contiene un subconjunto B tal que la suma de los elementos de B es un múltiplo de 10.

Tarea 7, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que, para todo $latex n\in\N$, $latex 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$ Problema 2 Muestra que, para todo $latex n\in\N$, $latex 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2.$ Problema 3 (Desigualdad de Bernoulli) Muestra que, para todo número natural $latex n>1$ y todo real $latex \alpha>-1, \alpha\not=0$, $latex (1 + \alpha)^n > 1 + n\alpha$.

Tarea 6, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que $latex \sqrt 2 + \sqrt 5$ es irracional. Problema 2 Muestra que, para todo  m , existe  k tal que, si $latex n\ge k$, entonces $latex (m-n)^2 > m^2.$ Problema 3 Muestra que existe un único elemento aditivo en $latex \Z$, es decir, un único $latex e\in\Z$ tal que $latex n + e = n$ para todo $latex n\in\Z$.

Homework 2, Real Analysis

Due date: August 18 Problem 1 Let $latex f\in C^k(\mathbb S)$, a  k -continuously differentiable periodic function, with period $latex 2\pi$, and let $latex a_n$ be its  n th Fourier coefficient. There exists $latex C>0$ such that $latex |a_n| \le \dfrac{C}{|n|^k}$. The series $latex \sum a_n e^{inx}$ converges uniformly if $latex k\ge 2$. Problem 2 Let $latex f\in C(\mathbb S)$ be Lipschitz continuous,  ie there exists  A such that $latex |f(x) - f(y)| \le A|x-y|$ for every $latex x,y$. Fix $latex h>0$ and let $latex g_h(x) = f(x+h) - f(x-h)$. Then $latex \displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|g_h(x)|^2 dx = \sum_{n\in\Z} 4|a_n|^2 |\sin nh|^2$, and thus $latex \displaystyle \sum_{n\in\Z} |a_n|^2|\sin nh|^2 \le A^2h^2$, where the $latex a_n$ are the Fourier coefficients of  f . Let $latex p\in\Z_+$ and $latex h = \dfrac{\pi}{2^{p+1}}$. Then $latex \displaystyle \sum_{2^{p-1} < |n|\le 2^p} |a_n|^2 \le \frac{A^2\pi^2}{2^{2p+1}}.$ $latex \displaystyle \sum_{2^{p-1}

Tarea 5, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que $latex n^3+n$ es par para todo entero  n . Problema 2 Muestra que, si $latex a,b,c$ son enteros, entonces el producto $latex (a-b)(a-c)(b-c)$ es par. Problema 3 Sea $latex p(x) = ax^2 + bx + c$ un polinomio cuadrático. Muestra que $latex p(1) = p(-1)$ si y solo si $latex p(2) = p(-2)$.  

Tarea 4, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 11 de agosto Problema 1 Considera los conjuntos $latex \N, \mathbb P, \Z$, de números naturales, números pares, y números enteros, respectivamente. Describe los siguientes conjuntos: $latex \N \cap \mathbb P$ $latex \N\setminus \mathbb P$ $latex \Z\setminus(\N\cup\mathbb P)$ $latex \mathbb P\setminus(\Z\cap\N)$ Problema 2 Muestra que $latex (A\cup B)\setminus B = A\setminus B$.

Tarea 3, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 11 de agosto Problema 1 ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto vacío? ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto $latex \{ 1\}?$ Problema 2 Sea $latex S_1 = \{u,n,o\}$, $latex S_2 = \{d,o,s\}$, $latex S_3 = \{t,r,e,s\}$, y así sucesivamente. ¿Para qué valores de k entre 1 y 10 se tiene que $latex |S_k|=4$? ¿Para qué valores de k entre 1 y 10 tenemos que $latex a \in S_k$? ¿Para qué valores de  k entre 1 y 10 tenemos que $latex \{a,e\}\subset S_k$? Calcula $latex S_2\cup S_4$ y $latex S_2\cap S_4$. Problema 3 Sea $latex U$ el conjunto de las 52 cartas que constituyen la baraja estándar. Sea $latex E$ el conjunto de las cartas marcadas con espadas, $latex D$ el conjunto de diamantes, $latex A$ el conjunto de aces, y $latex R$ el conjunto de reyes. Di que elementos pertenecen a los conjuntos mostrados a continuación y encuentra la cardinalidad de cada conjunto. $latex A \cap D$. $latex R \cup E$ $latex A \cap (E \cup D)$. $latex R \cup (A \cap E)$

Tarea 2, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 11 de agosto Problema 1 Considera las proposiciones $latex I=$ las tasas de interés bajan. $latex H = $ más gente compra casa. $latex S = $ la bolsa sube. $latex U = $ el desempleo aumenta. Escribe cada implicación, su inversa y su contrapositiva en palabras: $latex I\implies S$ $latex \sim U \implies H$ $latex S\implies (I\wedge H)$ Escribe cada uno de los siguientes enunciados en símbolos. Las tasas de interés bajan solo cuando aumenta el desempleo. El desempleo no sube cuando las tasas de interés bajan y más gente compra casas. Si más gente compra casas y el desempleo no aumenta, entonces la bolsa sube. Problema 2 Escribe cada enunciado utilizando los símbolos $latex \forall$ y $latex \exists$. Para todo número real positivo $latex \e$ existe un número real positivo $latex \delta$ tal que $latex x^2 < \e$ cuando $latex |x|<\delta$. Existe un entero $latex m$ con la propiedad de que para todo entero $latex x$ existe un entero $latex

Homework 1, Real Analysis

Due date: August 11 Problem 1 Let $latex d_M$ be the function on $latex \R^n$ given by $latex d_M(x,y) = \max\{ |x^1 - y^1|, \ldots, |x^n - y^n|\}.$ Then $latex d_M$ is a metric. Let $latex d_T$ be the function on $latex \R^n$ given by $latex d_T(x,y) = |x^1 - y^1| + \ldots + |x^n - y^n|.$ Then $latex d_T$ is a metric. Problem 2 For a metric space $latex (X,d)$, define $latex d_B(x,y) = \dfrac{d(x,y)}{1 + d(x,y)}.$ Are the metrics $latex d, d_B$ equivalent? Do they have the same convergent sequences? Problem 3 A discrete metric space $latex (X,d)$ is complete. Problem 4 Give an example of a pair of metric spaces with the same convergent sequences, but such that one is complete and the other is not. Problem 5 Let $latex x_n, y_n$ sequences in the metric space $latex (X,d)$ such that $latex d(x_n, y_n) \to 0$. Then $latex x_n$ converges if and only if $latex y_n$ does.

Tarea 1, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 11 de agosto Problema 1 Considera las proposiciones: P = "Daniel estudia"; Q = "Daniel obtiene buenas calificaciones"; y R = "Daniel busca ayuda cuando la necesita". Escribe cada una de las siguientes proposiciones en símbolos. “Daniel estudia pero no obtiene buenas calificaciones”. “Daniel busca ayuda cuando la necesita o no estudia”. “Daniel estudia o no estudia, y obtiene buenas calificaciones”. “Daniel estudia y busca ayuda cuando la necesita, o no obtiene buenas calificaciones”. Problema 2 Muestra que la proposición $latex (P \wedge \sim Q)\vee (\sim P \wedge Q) \vee (\sim P \vee Q)$ es una tautología, calculando su tabla de verdad. Problema 3 Utiliza tablas de verdad para verificar la ecuación $latex \sim(P\wedge Q) \wedge \sim Q = \sim Q$. Justifica con palabras la validez de esta ecuación. Problema 4 Demuestra la propiedad distributiva $latex (P\wedge Q) \vee R = (P\vee R) \wedge (Q\vee R)$.

Proyectos finales, Álgebra lineal

La calificación ordinaria del curso Álgebra lineal está distribuida de la siguiente forma: Examen escrito: 50% Proyecto final: 50% El examen escrito evaluará la totalidad del material cubierto en la clase. Tendrá una duración de dos horas, y será presentado el lunes 26 de junio, a las 4:00 pm. El proyecto final consiste de una serie de problemas con un tema común, que puede tener como objetivo el desarrollo de un tema o la demostración de un teorema, no visto en clase. A cada estudiante le es asignado un proyecto distinto, y los proyectos no son transferibles. Para resolver los problemas del proyecto se permite revisar las notas de clase o las referencias bibliográficas del curso. No está permitido recibir la ayuda de algún compañero o alguien ajeno a la clase. Sin embargo, si está permitido hacerme preguntas sobre el proyecto, y habrá horas de oficina para preguntas en los siguientes horarios: miércoles 14 de junio, 4:30 - 6:00pm jueves 15 de junio, 4:30 - 6:00pm martes 20 d

Tarea 16, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 2 de junio Problema 1 Verifica que cada una de las siguientes transformaciones es autoadjunta, y encuentra una base ortonormal de eigenvectores. $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matrix $latex A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2\\ -2 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matrix $latex A = \begin{pmatrix} 2 & i & 0\\ -i & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr P_2\to\mathscr P_2$ dada por $latex \displaystyle Tp(x) = \frac{1}{4} \int_{-1}^1 (15x^2 y^2 - 6xy - 3) p(y) dy$ Problema 2 Clasifica las siguientes formas cuadráticas de acuerdo a su positividad $latex Q(x) = x_1 x_2$ en $latex \R^2$ $latex Q(x) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_2^2$ en $latex \R^2$ $latex Q(p) = p(0)^2 + 2 p(1)^2 + p(2)^2$ en $latex \mathscr P_2$ Problema 3 Identifica la curva en el plano descrita por cada una de las siguientes ecuaciones. $latex x^2 + xy + y^2

Tarea 15, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 26 de mayo Problema 1 Considera las siguientes transformaciones lineales $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 4 & -5 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^4 \to \C^4$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\4 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr P_2\to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = p(1)x^2 + p'(x)x + p''(x) + p(0)$ Para cada una de ellas: calcula el determinante; calcula el polinomio característico; verifica que el coeficiente libre de su polinomio característico es $latex \pm 1$ veces su determinante; calcula sus eigenvalores; y encuentra una base tal que la matriz con respecto a ella es triangular. Problema 2 Sea  V un espa

Tarea 14, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 19 de mayo Problema 1 Calcula el polinomio mínimo de las siguientes transformaciones lineales. Utilízalo para calcular los eigenvalores de cada una. $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & -4 & 3 \end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr P_2\to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = (x-1)^2 p''(x)+2p(x)$ Problema 2 Da un ejemplo de una transformación lineal $latex T:\C^3\to\C^3$ cuyo polinomio mínimo sea $latex p_m(x) = x^2$. Da un ejemplo de una transformación lineal $latex T:\C^4\to\C^4$ cuyo polinomio mínimo sea $latex p_m(x) = x(x-1)^2$. Problema 3 Sean $latex T:V\to V$ lineal y $latex v\in V$. Sea $latex p(

Tarea 13, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 12 de mayo Problema 1 Calcula los eigenvalores y eigenvectores de las siguientes transformaciones lineales. Indica en cada caso si los eigenvectores forman una base. $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por las siguientes matrices: $latex A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}1&1\\-1&3\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sen\theta\\ \sen\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$ $latex T:\C^3 \to\C^3$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix}4&-3&1\\1&0&1\\0&0&3\end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr M_{2,2}\to\mathscr M_{2,2}$ dada por $latex T(A) = A^H$ $latex T:\mathscr P_2 \to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = p''(x) + p'(x) + p(x) + p(0)$ Problema 2 Sea $latex P:V\to V$ una transformación  idempotente : o sea, $latex P^2 = P$. ¿Cuáles son los posibles eigenvalores

Tarea 12, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 5 de mayo Problema 1 Considera la matriz $latex A = \begin{pmatrix}1& 2&2&4\\2 & 4 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & -4 & 2\end{pmatrix}$. Encuentra el rango de  A . Encuentra la dimensión de $latex \ker A^H$. Explica si los vectores $latex \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ forman una base para $latex (\ker A^H)^\perp$. Problema 2 Considera la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 1 & -2i & 3 + i\\ 2 & 3 & -1 + i \\ 4 & i & 3-5i\end{pmatrix}$. Encuentra $latex \rho(A)$. Encuentra las dimensiones de $latex \ker A^H, (\ker A^H)^\perp$. Calcula la matriz de Gram $latex A^H A$, y calcula su rango. Problema 3 Calcula la matriz de Gram  G  para la base estándar $latex \{1, x, x^2\}$ de $latex \mathscr P_2$ con respecto a cada uno de los siguientes productos internos. $latex \langle p, q \rangle = \int_0^1 pq$ $latex \langle p, q \rangle =

Tarea 11, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 28 de abril Problema 1 Sea $latex U = \gen\Bigg\{ \begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\2\\0\end{pmatrix}\Bigg\}$. Para cada uno de los siguientes vectores  v , obtén la proyección ortogonal de  v sobre  U con dos métodos: primero, usando una base ortonormal de  U , y, segundo, usando la matrix de Gram asociada. $latex v = \begin{pmatrix}0\\2\\1\\1\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}4\\0\\1\\2\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\-1\end{pmatrix}$ Calcula, además, la matrix de la proyección con respecto a la base estándar. Problema 2 Sea  U el plano $latex x + y + z + w = 0$ en $latex \R^4$. Calcula la proyección ortogonal sobre  U de los siguientes vectores. $latex v = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}1\\-2\\-1\\2\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$ Problema 3 Sea $latex f(x) = 1$, y considera el producto inter

Tarea 10, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 7 de abril Problema 1 Averigua si las siguientes funciones escalares son productos internos en el espacio vectorial indicado. En $latex \R^2$, $latex \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 - 5x_1y_2 - 5x_2y_1 + 4x_2y_2$ En $latex \R^2$, $latex \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 + 5x_1y_2 + 5x_2y_1 + x_2y_2$ En $latex \mathscr P_2$, $latex \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)$ En $latex \mathscr P_3$, $latex \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)$ Problema 2 Usa la ley de cosenos para mostrar que, si $latex x,y\in\R^2$, entonces $latex x\cdot y = |x| |y| \cos\theta$, donde $latex \theta$ es el ángulo entre  x y  y . Problema 3 Si  V es un espacio con producto interno real y $latex u,v\in V$, muestra que $latex \langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2\big)$. Problema 4 Si  V es un espacio con producto interno complejo y $latex u,v\in V$, muestra que $latex \langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2 + i||

Tarea 9, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 31 de marzo Problema 1 Verifica si las siguientes funciones $latex \phi:V\to K$ son funcionales en  V . $latex V = \R^2, \phi\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = (x+1)^2 + (y + 2)^2 - (x-2)^2 - (y-1)^2$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x^2 p(x) dx$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x^2 p'(x) dx$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x p(x)^2 dx$ $latex V = \mathbf M, \phi(A) = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ Problema 2 Calcula explícitamente la base dual $latex \widehat{\mathscr B}$ de cada una de las siguientes bases para los espacios V  dados. $latex V = \R^3, \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}$ $latex V = \mathscr P_2, \mathscr B = \{x, x^2-1, (x-1)^2\}$ $latex V = \mathbf M, \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1&1&1\\

Tarea 8, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 24 de marzo Problema 1 Para cada una de las siguientes matrices  A , calcula la matriz  B de la transformación $latex x\mapsto Ax$ en $latex \R^3$ con respecto a la base, vista en clase, $latex \mathscr B = \Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}.$ $latex A = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}1&4&7\\-1&2&5\\-3&0&3\end{pmatrix}$ Problema 2 Calcula la integral indefinida $latex \displaystyle \int x^2 e^x dx$ utilizando la inversa de la matriz del operador $latex \dfrac{d}{dx}$ en el espacio $latex V = \gen\{x^2 e^x, x e^x, e^x\}$. Problema 3 Calcula la integral indefinida, para $latex n\in\N$, $latex \displaystyle \int x^n e^x dx$ como en el problema anterior. Problema 4 Considera la base $latex \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}, \begin

Tarea 7, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 17 de marzo Problema 1 Para cada una de las siguientes matrices, considera la transformación $latex Tx = Ax$. Calcula una base para $latex \ker T$, y utilízala para calcular su dimensión y la dimensión de $latex \rg T$. $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & 5\\ 2 & 0 & -2 & 1 & 6\\ 3 & 0 & 2 & 1 & 3\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\ 1 & 2 & -1\\ 0 & -2 & -4\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 7 & 1 & -2\\2 & 1 & 4 & 1 & -2\end{pmatrix}$ Problema 2 Para cada una de las siguientes matrices, considera la transformación $latex Tx = Ax$. Calcula una base para $latex \rg T$, y utilízala para calcular su dimensión y la dimensión de $late

Tarea 6, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 10 de marzo Problema 1 Considera la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 & -1 & -1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1\\2 & 4 & 1 & -2 & 2 & 3\end{pmatrix}$ Encuentra una base para $latex \ker A$ Encuentra bases para $latex \rg A$, utilizando los dos métodos vistos en clase. Problema 2 Sea A  una matriz de $latex m\times n$ de rango 1. Muestra que existen vectores $latex \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{pmatrix} \in\mathbb K^m \qqy \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}\in\mathbb K^n$ tales que $latex A = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 &b_2 &\cdots &b_n\end{pmatrix}$. Problema 3 Demuestra que, para cada vector $latex v\in\R^{n+1}$, existe un polinomio $latex p(x)\in\mathscr P_n$ tal que $latex \displaystyle v_k = \int_k^{k+1} p(x) dx.$ Problema 4 Sea  A una matriz de $latex m\times n$ tal que s

Tarea 5, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 3 de marzo Problema 1 Indica si las siguientes transformaciones lineales son inyectivas y/o sobreyectivas. Calcula su espacio nulo. $latex T:\R^4\to\R^4$ dada por $latex T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1&2&1\\1&0&1&2\\1&2&3&0\\1&-1&0&3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$ $latex T:\mathbb K^\infty \to \mathbb K^\infty$ dada por $latex T(a_1,a_2,a_3,\ldots) = (a_2, a_3,\ldots)$ $latex T:\mathcal M_{2,2}\to \mathcal M_{2,2}$ dada por $latex TA = A + A^t$, donde $latex A^t$ es la transpuesta de $latex A$ $latex T:\mathbf M\to\R^3$ dada por $latex T\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{22}\\a_{33}\end{pmatrix}$, donde  M es el espacio de cuadrados mágicos. Problema 2 Sea $latex T:V\to W$ una transformación lineal. Si  T es inyectiva y $latex v_

Tarea 4, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 24 de febrero Problema 1 Indica si los siguientes subconjuntos son bases de los espacios vectoriales dados: $latex \{(1+x)^2, (2 + x)^2, (3+x)^2 \} \subset \mathscr P_2$ $latex \left\{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\1\\1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\2\\1\\1\end{pmatrix} \right\}\subset \R^4$ $latex \left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \right\} \subset \mathcal M_{2\times2}$ Problema 2 Sea  V un espacio de dimensión finita y  U un subespacio tal que $latex \dim U = \dim V$. Muestra que $latex U=V$. Problema 3 Calcula una base para cada uno de los siguientes subespacios vectoriales. $latex \left\{ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \in \R^3 : x_1 + x_2 - x_3 = 0 \right\}$ en $latex \R^3$ $latex \{ p(x)\in\mathscr P_3: p(2)=0\}$

Tarea 3, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 17 de febrero Problema 1 Averigua si los siguientes vectores se encuentran en el espacio generado dado: $latex x^2+1$ en $latex \gen\{ 1, x-2, (x-2)^2\}\subset\mathscr P$ $latex \begin{pmatrix}-1\\-4\\1\end{pmatrix}$ en $latex \gen\Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}\subset\R^3$ $latex \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ en $latex \gen\Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\Bigg\}\subset\R^3$ $latex \sen^2x$ en $latex \gen\{1, \cos x, \cos 2x, \cos 3x, \cos 4x,\ldots\}\subset C$ Problema 2 Muestra que, si los vectores $latex v_1, v_2, \ldots, v_k$ generan el espacio  V , entonces también lo hacen los vectores $latex v_1 - v_2, v_2 - v_3, \ldots, v_{k-1} - v_k, v_k$. Problema 3 Averigua si los siguientes vectores son linealmente independientes: $latex \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{

Tarea 2, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 10 de febrero Problema 1 Indica cuáles de los siguientes conjuntos forman un espacio vectorial sobre el campo dado, con las operaciones descritas Los números reales $latex \R$ sobre $latex \Q$, con suma y multiplicación usuales El conjunto de las funciones discontinuas en 0 en $latex \R$, sobre $latex \R$, con suma de funciones y multiplicación escalar usuales El conjunto $latex \R_+$ de números positivos, sobre $latex \R$, con suma $latex x\oplus y = xy$ y multiplicación escalar $latex \alpha x = x^\alpha$ El conjunto  V de parejas $latex (x,y)$ de números reales, sobre $latex \R$, con suma $latex (x,y)\oplus(u,v) = (x + u, y + v)$ y multiplicación escalar $latex \alpha(x,y) = (\alpha x, 2\alpha y)$ Problema 2 Demuestra las siguientes propiedades de un espacio vectorial  V sobre el campo $latex \mathbb K$ Para todo $latex \alpha\in\mathbb K$, $latex \alpha\cdot 0 = 0$ El negativo $latex -v$ de cada $latex v\in V$ es único Para cada $latex u, v\

Tarea 1, Álgebra lineal

Fecha de entrega: 3 de febrero Problema 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Expresa su conjunto solución en forma vectorial. $latex \begin{array}{rcl} -2x_2 + 4x_3 + x_4 & = & -4\\ 2x_1 - 2x_2 + 8x_3 + x_5 & = & -16\\ x_1 + 2x_3 & = & -6\\ 3x_2 - 6x_3 - x_4 & = & 7 \end{array}$ $latex \begin{array}{rcl} x_1 + x_2 - 2x_3 &=& -1\\ 8x_1 + x_2 + 5x_3 &=& 6 \\ -6 x_1 - 3 x_2 + 3 x_3 &=& 0\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl} 3x_1 + 6x_3 & = & 1\\ 4x_1 + 2x_2 + 24x_3 & = & -3\\ 3x_1 - 2x_2 - 9x_3 & = & 5 \end{array}$ $latex \begin{array}{rcl} 2 x_2 - 6 x_3 &=& 3 \\ x_1 + x_3 &=& 1 \\ x_1 + 3 x_2 - 8 x_3 &=& 4 \end{array}$ $latex \begin{array}{rcl} - x_1 - 5 x_2 &=& -16 \\ -2 x_1 + 6 x_2 &=& 16 \\ - 4 x_1 + 3 x_2 &=& 5 \\ x_1 + 2 x_2 &=& 7 \end{array}$ Problema 2 Considera el sistema cuya matriz inducida está dada por $latex \le