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### Homework 16, Real Analysis

Due date: November 24 Problem 1 If the measurable $f_n\searrow f\ge 0$ with $\int f_1 < \infty$, then $\int f_n \to \int f.$ Explain the condition $\int f_1 < \infty$. Problem 2 Let $f\in L^1(\R)$ and $f^\delta(x) = f(\delta x)$. Then $\displaystyle \int f^\delta = \frac{1}{\delta}\int f.$ Problem 3 There exists a positive continuous $f \in L^1(\R)$ such that $\limsup_{|x|\to\infty} f(x) = \infty.$ If $f\in L^1(\R)$ is uniformly continuous, then $\lim_{|x|\to\infty}f(x) = 0.$ Problem 4 If $f\in L^1(\R)$ and $F(x) = \int_{-\infty}^x f$. Then  F is uniformly continuous.

### Homework 15, Real Analysis

Due date: November 17 Problem 1 For each $n\in\Z$, let $e_n(x) = e^{2\pi i nx}$. Then $\displaystyle \int_0^1 e_n(x) \overline{e_m(x)} dx = \begin{cases} 1 & n=m\\ 0 & n\not=m. \end{cases}$ Problem 2 For $f\in C([0,1])$, the sequence $\widehat f(n) \to 0$ as $|n|\to\infty$. Problem 3 Let $f\in C^1([0,1])$ with $f(0)=f(1)$. $\widehat{f'}(n) = 2\pi i n \widehat f(n)$ The Fourier series of  f converges uniformly to  f . Problem 4 Let $E\subset \R$ and $U_n$ the open set $U_n = \{x\in\R: d(x,E)<1/n\}.$ If  E is compact, $|E| = \lim |U_n|$. However, the previous conclusion may be false if either  E is closed and unbounded, or bounded and open. Problem 5 Let  E be the subset of $[0,1]$ of numbers which do not have the digit 4 in their decimal expansion. Find $|E|$.

### Tarea 28, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Averigua si las siguientes matrices son invertibles, y en tal caso calcula su inversa. $\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}-6&9\\4&-6\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}-2&4\\2&0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}1&-1&0\\2&3&-1\\-1&6&5\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}2&1&2\\1&2&0\\-1&-1&-1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}2&1&2\\1&0&-1\\-1&-1&-3\end{pmatrix}$

### Tarea 27, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Considera las siguientes matrices: $\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&0&2\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2&2&1\\0&1&-2\end{pmatrix},\; C=\begin{pmatrix}0&1&1\\2&-1&3\\3&1&0\end{pmatrix},\; D=\begin{pmatrix}1&-1\\2&-3\\1&1\end{pmatrix}.$ Calcula $A+B$ $2A-B$ $AC$ $AD$ $BC$ $BD$ $C^2$ $CD$ $DA$ $DB$

### Tarea 26, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 22 de septiembre Problema 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $\begin{array}{rcl}2x-2y+z&=&2\\x-y-z&=&-1\\-3x+6y-z&=&6\end{array}$ $\begin{array}{rcl}3x+3y-z&=&1\\2x+y+z&=&0\\x-y+3z&=&1\end{array}$ $\begin{array}{rcl}2x-3y&=&1\\3x-y&=&2\\x-5y&=&0\end{array}$ $\begin{array}{rcl}x+y+z &=& 2\\x-y-2z&=&-3\end{array}$ $\begin{array}{rcl}2x+4y-z&=&-1\\x+y+z&=&0\\-x-y+z&=&3\end{array}$

### Tarea 16, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Demuestra que, si $a,b,c\in\Q, a\not=0$, la ecuación $ax + b = c$ tiene solución en $\Q$, y es única. Problema 2 Demuestra que, si $\dfrac{p}{q}, \dfrac{m}{n}, \dfrac{u}{v}\in\Q$ satisfacen $\dfrac{p}{q} < \dfrac{m}{n}$ y $\dfrac{m}{n} < \dfrac{u}{v}$, entonces $\dfrac{p}{q} < \dfrac{u}{v}$.

### Suspensión de clase: 31 de agosto

Debido a la suspensión de clases de la Universidad para mañana, 31 de agosto, no tendremos clase de Fundamentos de matemáticas . La hora de oficina a las 4, sin embargo, no se cancela. También habrá tarea, desde luego. https://twitter.com/udec_oficial/status/903054441926070274?s=09

### Tarea 15, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Ordena los siguientes números racionales de menor a mayor: $\dfrac{2}{4}, \;\dfrac{-2}{-7}, \;\dfrac{5}{-2}, \;\dfrac{13}{-11}, \;\dfrac{1}{4}, \;\dfrac{44}{-60}, \;\dfrac{4}{5}, \;\dfrac{5}{4}, \;\dfrac{-23}{11}, \;\dfrac{5}{-5}$. Problema 2 Demuestra que, si $\dfrac{p}{q} = \dfrac{m}{n}$ y $q\not=-n$, entonces $\dfrac{p+m}{q+n} = \dfrac{p}{q}$.

### Tarea 14, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Calcula $\phi(n)$ para $n = 7, 9, 10, 12, 15, 16, 20, 30, 60, 105$. Problema 2 Calcula la clase de congruencia de $2^{340} \pmod{341}$. ¿Qué te dice sobre la inversa del teorema de Fermat?

### Homework 4, Real Analysis

Due date: September 1 Problem 1 Let $f_n:[a,b]\to\R$ a monotone sequence of continuous functions which converges pointwise to the continuous function $f:[a,b]\to\R$. Then $f_n\rightrightarrows f$ on $[a,b]$. Problem 2 Let $K:[0,1]\times[0,1]\to[0,1]$ be a continuous function and define the operator $\mathscr L:C([0,1])\to C([0,1])$ by $\displaystyle \mathscr Lf(x) = \int_0^1 K(x,y) f(y) dy$. Then, the image of the closed ball $\bar B_1(0)$ in $C([0,1])$ under $\mathscr L$ is compact. Such operator is called a  compact operator . Problem 3 Let $w:[0,1]\to\R$ be continuous. Then the operator $\displaystyle \mathscr Lf(x) = \int_0^x f(t) w(t)dt$ is compact. Problem 4 Let $\Omega\subset\R^m$ be open and $f_n:\Omega\to\R$ an equicontinuous sequence of functions that converges pointwise. Then $f_n$ converges uniformly on each compact subset of $\Omega$. Problem 5 Let  X be a compact metric space.

### Tarea 13, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 1 de septiembre Problema 1 Calcula la clase de congruencias de las siguientes potencias de enteros $2^{82} \pmod 5$ $3^{1502}\pmod{13}$ $26^{1004}\pmod 7$ $6^{654654654}\pmod{11}$ Problema 2 Resuelve las siguientes ecuaciones, si tienen solución. $8x\equiv 4\pmod 6$ $15x\equiv 6 \pmod{21}$ Problema 3 Construye la tabla del grupo multiplicativo $\Z^*_8$. ¿Es este grupo abeliano? ¿Es cíclico?

### Tarea 12, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Expresa los siguientes números en la base indicada. 431 en base 5 219661 en base 60 13254 en base 12 Problema 2 Utiliza los criterios de divisibilidad vistos en clase para averiguar si los siguientes números son divisibles entre 3, 9 u 11. 13214 23144 22665 Problema 3 Describe un criterio de divisibilidad entre 8 para un número de tres dígitos o menos. ¿Cómo usas este criterio para un número de más dígitos?

### Tarea 11, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de enteros, usando el algoritmo de Euclides. 30 y 84 792 y 561 568 y 4292 227761 y 661643 Problema 2 Decide si las siguientes ecuaciones tienen solución con enteros $x$ y $y$ y, en tal caso, encuentra sus soluciones. $25x + 40y = 345$ $66x + 561y = 22$ $3145x + 23001y = 4$ $3145x + 23001y = -85$

### Tarea 10, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Muestra las siguientes propiedades de divisibilidad. Si $n,a,b\in\Z$ y $n$ divide a $a$, entonces $n$ divide a $ab$. Si $a,b,c\in\Z$, $a$ divide a $b$ y $b$ divide a $c$, entonces $a$ divide a $c$. Problema 2 Indica cuáles de los siguientes enteros son números primos. 365, 401, 451, 517, 533, 543, 575, 693, 797, 823, 917, 993, 1011, 1035, 1131, 1383, 1513, 1697, 1741, 1945. Problema 3 Encuentra números $q$ y $r$ tales que, para cada par de enteros $a,b$, $b>0$, dados, $a=bq+r$ y $0\le r < b$. $a=100, b=17$ $a=0, b=8$ $a= -25, b=11$ $a=-2,b=2$

### Homework 3, Real Analysis

Due date: August 25 Problem 1 Let  X  be a compact space and $f:X\to Y$ a continuous bijection. Then $f^{-1}:Y\to X$ is continuous. Give an example of a continuous bijection $f:X\to Y$, for a noncompact X , whose inverse is not continuous. Problem 2 Let $(X,d_1), (X,d_2)$ have the same convergent sequences. Then $(X,d_1)$ is compact if and only if $(X,d_2)$ is compact. Problem 3 Let $x_n$ be a Cauchy sequence and $x_{n_k}\to x$. Then $x_n \to x$. Problem 4 Give necessary and sufficient conditions for the discrete space $(X,d)$ to be compact. Problem 5 Let $x_k$ be a bounded sequence in the Euclidean space $\R^n$. Then it has a convergent subsequence (assume the result in $n=1$). A closed rectangle in $\R^n$ is compact. A closed ball in $\R^n$ is compact.

### Tarea 9, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 25 de agosto Problema 1 Considera la sucesión definida por $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2},$ $n\ge 3.$ Deduce una conjetura sobre la expresión de $a_n$, y demuéstrala. Considera ahora la sucesión definida por $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2},$ $n\ge 3.$ De nuevo, deduce y demuestra una conjetura sobre la expresión de $a_n.$ Problema 2 Muestra que $F_{4n}$ es múltiplo de 3, para cada $n\ge 0$. Problema 3 Para $n\ge 0$, muestra que $F_0 + F_1 + \ldots + F_n = F_{n+2} - 1$.

### Tarea 8, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que, dados tres números naturales, la suma de dos de ellos es un número par. Problema 2 Demuestra, o da un contraejemplo, para el siguiente enunciado:  Cualquier conjunto A de nueve números naturales contiene un subconjunto B tal que la suma de los elementos de B es un múltiplo de 10.

### Tarea 7, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que, para todo $n\in\N$, $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$ Problema 2 Muestra que, para todo $n\in\N$, $1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2.$ Problema 3 (Desigualdad de Bernoulli) Muestra que, para todo número natural $n>1$ y todo real $\alpha>-1, \alpha\not=0$, $(1 + \alpha)^n > 1 + n\alpha$.

### Tarea 6, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 18 de agosto Problema 1 Muestra que $\sqrt 2 + \sqrt 5$ es irracional. Problema 2 Muestra que, para todo  m , existe  k tal que, si $n\ge k$, entonces $(m-n)^2 > m^2.$ Problema 3 Muestra que existe un único elemento aditivo en $\Z$, es decir, un único $e\in\Z$ tal que $n + e = n$ para todo $n\in\Z$.

### Tarea 1, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 11 de agosto Problema 1 Considera las proposiciones: P = "Daniel estudia"; Q = "Daniel obtiene buenas calificaciones"; y R = "Daniel busca ayuda cuando la necesita". Escribe cada una de las siguientes proposiciones en símbolos. “Daniel estudia pero no obtiene buenas calificaciones”. “Daniel busca ayuda cuando la necesita o no estudia”. “Daniel estudia o no estudia, y obtiene buenas calificaciones”. “Daniel estudia y busca ayuda cuando la necesita, o no obtiene buenas calificaciones”. Problema 2 Muestra que la proposición $(P \wedge \sim Q)\vee (\sim P \wedge Q) \vee (\sim P \vee Q)$ es una tautología, calculando su tabla de verdad. Problema 3 Utiliza tablas de verdad para verificar la ecuación $\sim(P\wedge Q) \wedge \sim Q = \sim Q$. Justifica con palabras la validez de esta ecuación. Problema 4 Demuestra la propiedad distributiva $(P\wedge Q) \vee R = (P\vee R) \wedge (Q\vee R)$.

### Proyectos finales, Álgebra lineal

La calificación ordinaria del curso Álgebra lineal está distribuida de la siguiente forma: Examen escrito: 50% Proyecto final: 50% El examen escrito evaluará la totalidad del material cubierto en la clase. Tendrá una duración de dos horas, y será presentado el lunes 26 de junio, a las 4:00 pm. El proyecto final consiste de una serie de problemas con un tema común, que puede tener como objetivo el desarrollo de un tema o la demostración de un teorema, no visto en clase. A cada estudiante le es asignado un proyecto distinto, y los proyectos no son transferibles. Para resolver los problemas del proyecto se permite revisar las notas de clase o las referencias bibliográficas del curso. No está permitido recibir la ayuda de algún compañero o alguien ajeno a la clase. Sin embargo, si está permitido hacerme preguntas sobre el proyecto, y habrá horas de oficina para preguntas en los siguientes horarios: miércoles 14 de junio, 4:30 - 6:00pm jueves 15 de junio, 4:30 - 6:00pm martes 20 d