Tarea 13, Cálculo 4

Fecha de entrega: 9 de mayo

Problema 1

Muestra que, si $latex f(z)$ y $latex g(z)$ tienen período $latex \omega$, entonces también $latex f(z) + g(z)$ y $latex f(z)g(z)$.

Problema 2

Expande la función $latex 1/\cos(2\pi z)$ en una serie de potencias de $latex e^{2\pi i z}$ que converge en el semiplano superior. Determina dónde la serie converge absolutamente y dónde uniformemente.

Problema 3

Expande $latex \tan z$ en una serie de potencias de $latex e^{ikz}$ que converge en el semiplano superior. También encuentra una serie de exponenciales que converge en el semiplano inferior.

Problema 4

Considera la función continua $latex f(e^{i\theta}) = |\theta|, -\pi\le\theta\le\pi$. Encuentra la serie de Fourier de $latex f(e^{i\theta})$ y muestra que se puede escribir en una serie de cosenos. Discute su convergencia. En particular, ¿converge uniformemente?

Problema 5

Sea $latex f(e^{i\theta}) = \theta, -\pi < \theta\le\pi$. Encuentra su serie de Fourier, y escríbela como una serie de senos. Muestra que la serie de exponenciales diverge en $latex \pm\pi$, pero la serie de senos sí converge en $latex \pm\pi$.

Problema 6

Sea $latex f(e^{i\theta}) = \theta^2, -\pi\le\theta\le\pi$. Encuentra su serie de Fourier, y escríbela como serie de cosenos. Discute la convergencia de ambas series. Sustituye la serie en $latex \theta=0$ para obtener la identidad

$latex \dfrac{\pi^2}{12} = 1 - \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} - \dfrac{1}{4^2} + \cdots$.

Utiliza la identidad anterior para mostrar las identidades

$latex \dfrac{\pi^2}{8} = 1 + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{7^2} + \cdots$

y

$latex \dfrac{\pi^2}{6} = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + \cdots$.