Ricardo A. Sáenz

Capítulo 8: El diferencial exterior Capítulo 9: Integración de formas diferenciales

Capítulo 7: Formas diferenciales

La convergencia de una serie $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ se define en términos de la convergencia de la sucesión de sumas parciales $latex \displaystyle s_n = \sum_{k=0}^n a_k.$ Sin embargo, el de las sumas parciales no es el único método de sumabilidad de una serie. Los siguientes problemas elaboran sobre la sumabilidad de Cesàro.

Fecha de entrega: 15 de abril Problema 1. Muestra la propiedad asociativa de la suma y la propiedad distributiva de las operaciones definidas en clase, en la construcción de un campo de fracciones para un dominio entero. Problema 2. Sea $latex D$ un dominio entero con campo de fracciones $latex F$. Muestra que cualquier monomorfismo $latex \psi:D\to K$, donde $latex K$ es un campo, se puede extender a un monomorfismo $latex \Psi:F\to K$ por medio de $latex \Psi(a/b) = \psi(a)/\psi(b).$ Más aún, si $latex K$ es otro campo de fracciones para $latex D$, concluye que $latex K \cong F$. Problema 3. ¿Para cuáles de los siguientes polinomios $latex m(x)$ existen extensiones $latex K(\alpha):K$ tales que $latex m(t) = \min_K(\alpha)$? $latex m(t) = t^2 + 1, \quad K = \F_3$ $latex m(t) = t^2 + 1, \quad K = \F_5$ Problema 4. Muestra que existen ecuaciones cuadráticas en campos de característica 2 que no pueden descomponerse sobre extensiones agregando solo raíces cuadradas de elementos d

Fecha de entrega: 15 de abril, 2011 Problema 1. Dibuja un bosquejo de los siguientes campos vectoriales en $latex \R^2$: $latex F(x,y) = (-y,x)$; $latex F(x,y) = (x,0)$. Problema 2. Calcula el producto cuña $latex \phi\wedge\psi$ de las siguientes 1-formas en $latex \R^3$. $latex \phi = 3dx + dz, \quad\psi = dy - dz$; $latex \phi = dx - dy + 2dz, \quad\psi = 3dx - 4dy - 2dz$. Escribe el resultado en la base $latex dy\wedge dz, dz\wedge dx, dx\wedge dy$. Problema 3. Sean $latex \phi, \psi\in(\R^3_p)^*$. Muestra que $latex \phi\wedge\psi$ es bilineal y alternante, y que $latex \phi\wedge\psi = -\psi\wedge\phi.$ Problema 4. Calcula el diferencial $latex d\omega$ de las siguientes 1-formas diferenciales en $latex \R^3.$ $latex \omega(x,y,z) = (z^2 - x^2)dx + (y^2 - z^2)dy + (x^2 - y^2)dz$; $latex \omega(x,y,z) =(3x^2 - y^2z)dx - 2xyz dy - xy^2 dz$. Problema 5. Sea $latex T:\overbrace{V\times\cdots\times V}^k\to\R$ multilineal y alternante. Muestra que si $latex \sigma\in S

Seminario CUICBAS : Fermiones extras en la geometría Randall-Sundrum , por Alfonso Díaz Furlong de la BUAP. Lunes , 4:00pm. Resumen: En el contexto del modelo de Randall-Sundrum, estudiamos la posibilidad de incorporar una cuarta generación de fermiones para poder obtener una nueva fuente de corrientes neutras que cambian sabor. Consideramos que esta nueva generación de fermiones (t' y b') son del orden de 300 GeVs a 3 TeVs.

Capítulo 6: Cambio de variable y aplicaciones

Fecha de entrega: 8 de abril Problema 1. Muestra que, si $latex p<1$, la función $latex f_p:(0,1)\to\R$ dada por $latex f_p(x) = \dfrac{1}{x^p}$ es integrable y calcula $latex \displaystyle \int_{(0,1)}f_p$. Problema 2. Sea $latex f:(a,b)\to\R$ continua tal que $latex f(x)\ge 0$ para todo $latex x\in(a,b)$. Muestra que $latex f$ es integrable si y solo si $latex \displaystyle \lim_{\e\to0} \int_{[a+\e,b-\e]}f$ existe. Problema 3. Sean $latex A_1,\ldots,A_k$ abiertos y disjuntos, y $latex A\subset\R^n$ abierto, tales que $latex A_1\cup \ldots \cup A_k = A.$ Muestra que $latex f$ es integrable en $latex A$ si, y solo si, para cada $latex i$, $latex f_i = f|_{A_i}$ es integrable en $latex A_i$ y, en tal caso, $latex \displaystyle\int_A f = \sum_{i=1}^k \int_{A_i} f_i.$ Problema 4. Sea $latex T:\R^n\to\R^n$ una transformación lineal y $latex R\subset\R^n$ un rectángulo. Muestra lo siguiente. Si $latex T(e_i) = \begin{cases}e_i & i\not=j\\\lambda e_j & i=j,\end{cases}$ ento

Fecha de entrega: 8 de abril Problema 1. Muestra que los siguientes polinomios sobre $latex \Q$ no son solubles por radicales. $latex x^5 - 4x+2$ $latex x^5 - 4x^2 + 2$ $latex x^5 - 6x^2 + 3$ Problema 2. En general, si $latex N$ es un entero mayor que 1 y $latex p$ es primo, entonces el polinomio $latex x^5 - Npx + p$, sobre $latex \Q$, no es soluble por radicales. Problema 3. Si $latex f$ es un polinomio irreducible sobre $latex K\subset\C$ y una de sus raíces es expresable por radicales, entonces $latex f$ es soluble sobre $latex K$. Problema 4. Resuelve la ecuación $latex x^6 + 6x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 1 = 0$ por radicales. ( Sugerencia: Utiliza el cambio de variable $latex u = x + \dfrac{1}{x}$ y la fórmula de Cardano.) Problema 5. Da un ejemplo de una extensión radical $latex L:K$ y un campo intermedio $latex K\subset M\subset L$ tal que $latex M:K$ no es radical. ( Sugerencia: Considera el problema anterior.)