Tarea 1, Cálculo 4

Fecha de entrega: 31 de enero

Problema 1

Muestra que la ecuación $latex |z|^2-2\Re(\bar a z) + |a|^2=\rho^2$ representa un círculo centrado en $latex a$ con radio $latex \rho$.

Problema 2

Dado $latex a\in\mathbb C$, muestra que $latex |z-a|/|1-\bar a z|=1$ si $latex |z|=1$ y $latex 1 - \bar a z\not=0$.

Problema 3

Dado $latex \rho>0$, $latex \rho\not=1$, y dados $latex z_0, z_1\in\mathbb C$, muestra que el conjunto de los números $latex z\in\C$ que satisfacen $latex |z-z_0| = \rho|z-z_1|$ es un círculo si $latex \rho\not=1$. Dibuja un boceto para $latex \rho=1/2, 2$ con $latex z_0=0, z_1=1$. Describe qué sucede cuando $latex \rho=1$.

Problema 4

Dibuja los siguientes conjuntos:

1. $latex |\arg z|<\dfrac{\pi}{4}$


2. $latex 0 < \arg (z-1-i) < \dfrac{\pi}{3}$


3. $latex |z| = \arg z$


4. $latex \log |z | = -2\arg z$

Problema 5

Dado $latex n\ge 1$, mostrar que las $latex n$-ésimas raíces de $latex 1$, $latex \omega_0, \omega_1, \ldots, \omega_{n-1}$, satisfacen

1. $latex (z-\omega_0)(z-\omega_1)\cdots(z-\omega_{n-1}) = z^n-1$


2. $latex \omega_0 + \omega_1 + \ldots + \omega_{n-1} = 0$, para $latex n\ge 2$


3. $latex \omega_0\omega_1\cdots\omega_{n-1}=(-1)^{n-1}$


4. $latex \sum_{j=0}^{n-1}\omega_j^k = \begin{cases}0&1\le k\le n-1\\n&k=n\end{cases}$

Problema 6

Dibuja la imagen de los siguientes conjuntos la proyección estereográfica:

1. el hemisferio inferior $latex Z\le 0$


2. la tapa polar $latex 3/4\le Z \le 1$


3. las líneas de latitud $latex X=\sqrt{1-Z^2}\cos\theta, Y=\sqrt{1-Z^2}\sin\theta$, para $latex Z$ fijo y $latex 0\le \theta\le 2\pi$


4. las líneas de longitud $latex X = \sqrt{1-Z^2}\cos\theta, Y=\sqrt{1-Z^2}\sin\theta$, para $latex \theta$ fijo y $latex -1\le Z\le 1$


5. la tapa esférica $latex A\le X\le 1$ con centro sobre el ecuador, para $latex A$ fijo. Separa en los casos relevantes dependiendo del valor de $latex A$