Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 3 de junio Problema 1. Sea $latex p$ primo y $latex n\ge 1$. Muestra que $latex \displaystyle \Phi_{pn}(x) = \begin{cases}\Phi_n(x^p) & p|n\\\dfrac{\Phi_n(x^p)}{\Phi_n(x)}&p\not|n\end{cases}.$ ( Sugerencia: Verifica que, si $latex \zeta$ es una raíz $latex pn$-ésima primitiva de 1, entonces es raíz de los polinomios de la derecha en ambos casos; compara los grados calculando $latex \varphi(pn)$ en ambos casos.) Problema 2. Si $latex n\ge 1$ es impar, muestra que $latex \Phi_{2n}(x) = \Phi_n(-x)$. Problema 3. Sea $latex p$ primo y $latex p\not|m$, donde $latex m\ge 1$. Muestra que $latex \displaystyle\Phi_p(x^m) = \sum_{i=0}^{p-1}(x^p)^{e_i}x^i$, donde los $latex e_i$ son exponentes apropiados. ( Sugerencia: Utiliza el algoritmo de la división para ordenar los términos $latex mi$ de $latex \Phi_p(x^m)$ apropiadamente.) Muestra que $latex \displaystyle\Phi_p(x^m)(x-1) = \sum_{i=0}^{p-1}\big((x^p)^{a_i} - (x^p)^{b_i}\big) x^i$, donde los $latex a_i,b_i$

Fecha de entrega: 27 de mayo Problema 1. Construye campos con 8, 9 y 16 elementos. Problema 2. Sea $latex \phi$ el mapeo de Frobenius en $latex \F_{p^n}$. Encuentra el mínimo $latex m$ tal que $latex \phi^m$ es la identidad. Problema 3. Muestra que los subcampos de $latex \F_{p^n}$ son isomorfos a $latex \F_{p^r}$, donde $latex r|n$, y que existe un único subcampo para cada tal $latex r$. Problema 4. Encuentra generadores para el grupo multiplicativo de $latex \F_n$ para $latex n = 8, 9, 13, 16, 17.$ Problema 5. Muestra que el grupo aditivo de $latex \F_{p^n}$ es isomorfo al producto de $latex n$ grupos $latex \Z_p\oplus\cdots\oplus\Z_p$.

Fecha de entrega: 27 de mayo, 2011 Problema 1. Muestra que el anillo $latex \mathbb A = \{(x,y)\in\R^2: 1\le x^2 + y^2\le 2 \}$ es un 2-cubo. Calcula $latex \partial\mathbb A$. Problema 2. Sea $latex R$ un rectángulo en $latex \R^n$, y sea $latex \mathcal P$ un partición de $latex R$. Muestra que $latex \displaystyle \sum_{S\in\mathcal P} \partial S = \partial R.$ Problema 3. Considera la curva $latex c$ en $latex A$, y $latex \mathcal P = \{s_0 = 0 < s_1 < \ldots < s_p = 1\}$ una partición de $latex [0,1]$. Sea $latex c_i:[0,1]\to A$, $latex i=1,\ldots,p$, la curva $latex c_i(t) = c(s_{i-1} + (s_i - s_{i-1})t),$ y $latex \tilde c$ el complejo $latex \tilde c = c_1 + \ldots + c_p.$ Muestra que, para una 1-forma $latex \w$ en $A$, $latex \displaystyle \int_{\tilde c} \w = \int_c \w.$ Problema 4. De la proposición 9.19 de las notas , muestra las implicaciones $latex (1)\Rightarrow(3)\Rightarrow(2).$ Problema 5. Sea $latex \w = yz dx + xz dy + xy dz$. Calcula $latex \display

Fecha de entrega: 20 de mayo Problema 1. Sea $latex F$ un campo vectorial en $latex \R^n$, y $latex \curl F$ su rotacional, es decir la $latex (n-2)$-forma $latex \curl F = *(d\w_F).$ En el caso $latex n=3$, el rotacional $latex \curl F$ es una 1-forma que a su vez puede ser identificada con un campo vectorial, también denotado por $latex \curl F$. Muestra que $latex \diver(\curl F) = 0$. Problema 2. Sea $latex \w = f dx$ una 1-forma en $latex [0,1]$ tal que $latex f(0) = f(1)$. Muestra que existe un único $latex \lambda\in\R$ tal que $latex \w - \lambda dx = dg$, donde $latex g$ es una función que satisface $latex g(0) = g(1)$. Problema 3. Sea $latex \w = \w_1 dx + \w_2 dy + \w_3 dz$ una 1-forma diferencial en $latex \R^3$ tal que $latex \w_1,\w_2,\w_3$ son homogéneas de grado $latex \alpha$. Muestra que, si $latex \w$ es cerrada, entonces $latex \w = df$ donde $latex f(x,y,z) = \dfrac{1}{\alpha+1}(\w_1(x,y,z)x + \w_2(x,y,z)y + \w_3(x,y,z)z).$ Problema 4. Sea $latex f:U\to\R^n$ di

Seminario CUICBAS : El algoritmo de Leverrier-Faddeev y los polinomios ortogonales clásicos , por Javier Hernández, de la Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado, en Venezuela. Viernes, 4:00pm. Resumen: Usando propiedades de los polinomios ortogonales clásicos, implementamos el algoritmo de Leverrier-Faddeev para obtener el polinomio característico de una matriz cuadrada de elementos complejos en función de una base de polinomios ortogonales clásicos. También se implementa un algoritmo para el cálculo de la inversa de una matriz polinomial de orden arbitrario.

Para poder analizar las sumas de Cesàro, de Riesz y, en general, operadores de multiplicación de expansiones de Hermite especiales, tenemos que estudiar dos técnicas que son fundamentales en análisis armónico: integrales singulares y teoría de Littlewood-Paley. En el primer caso, no es suficiente con la teoría estándar de Calderón-Zygmund, sino que, debido a que las expansiones de Hermite especiales corresponden a la convolución torcida, necesitamos estudiar operadores de la forma $latex \displaystyle Tf(z) = \int_{\C^n} e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w} K(z-w)f(w) dw, \qquad\qquad (1)$ donde el núcleo $latex K$ satisface hipótesis análogas a las de los núcleos estándar de Calderón-Zygmund, en particular, existe una constante $latex C>0$ tal que $latex |K(z)| \le C |z|^{-2n} \qquad \text{y} \qquad |\nabla K(z)| \le C |z|^{-2n-1}.$ La integral que define a $latex Tf$ se entiende como un límite de valor principal. Operadores de la forma (1) han sido estudiados extensamente (por ejemplo,

Fecha de entrega: 13 de mayo Problema 1. Enlista los enteros $latex n\le 100$ construibles. Problema 2. Muestra que los únicos enteros $latex n$ impares que se sabe que son construibles son precisamente los divisores de $latex 2^{32}-1 = 4294967295.$ Problema 3. Utiliza el hecho $latex 641 = 5^4 + 2^4 = 5\times 2^7 + 1$ para mostrar que 641 divide a $latex F_5$. Problema 4. Muestra que $latex F_{n+1} = 2 + F_n F_{n-1}\cdots F_0$ y deduce que, si $latex m\not= n$, entonces $latex F_n$ y $latex F_m$ son primos relativos. Problema 5. Se sabe que $latex F_{382449}$ es compuesto. ¿Cuántos dígitos tiene, aproximadamente, este número?

Fecha de entrega: 13 de mayo Problema 1. Sea $latex f:\R^n\to\R$ diferenciable. Muestra que, si $latex \grad f(p) \not= 0$, entonces $latex \grad f(p)$ es el vector con la dirección de crecimiento más rápido de $latex f$ en el punto $latex p$. Es decir, si $latex \hat u = \dfrac{\grad f(p)}{|\grad f(p)|}$, entonces $latex Df(p)(\hat u) = \max\{ Df(p)(v) : |v| = 1\}.$ ( Sugerencia: Nota que $latex (\grad f(p))\cdot v_p = Df(p)(v)$, para $latex v_p\in\R^n_p$.) Problema 2. Calcula la estrella de Hodge $latex *\omega$ para cada una de las siguientes formas en $latex \R^4$. Calcula además $latex d(*\omega)$ y $latex *d\omega$. $latex \omega = (x^2 + x^3 + x^4)^2 dx^1$; $latex \omega = x^3x^4 dx^1\wedge dx^2 - x^1x^2 dx^3\wedge dx^4$. Problema 3. Muestra que $latex **\w = (-1)^{k(n-k)}\w$. Problema 4. Sea $latex F$ un campo vectorial en $latex \R^n$, y $latex \diver F$ su divergencia, es decir $latex (\diver F)dx^1\wedge\ldots\wedge dx^n = d(*\w_F),$ donde $latex \w\mapsto*\w$ es l

Fecha de entrega: 6 de mayo de 2011 Problema 1. Si $latex K$ es un campo contable y $latex L:K$ es finitamente generada, muestra que $latex L$ es contable. Concluye que las extensiones $latex \R:\Q$ y $latex \C:\Q$ no son finitamente generadas. Problema 2. Calcula el grado de trascendencia de las siguientes extensiones. $latex \Q(t,u,v,w):\Q$, donde $latex t^2 = 2$, $latex u$ es trascendente sobre $latex \Q(t)$, $latex v^3 = t + 5$ y $latex w$ es trascendente sobre $latex \Q(t,u,v)$. $latex \Q(t,u,v,w):\Q$, donde $latex t^2 = u^3 = v^4 = 7$ y $latex w$ es trascendente sobre $latex \Q(t,u,v)$. Problema 3. Sean $latex K\subset L\subset M$ y $latex M:K$ y $latex L:K$ finitamente generadas. Muestra que $latex M:K$ y $latex L:K$ tienen el mismo grado de trascendencia si y solo si $latex M:L$ es finita. Problema 4. Sea $latex \chi(K) = 0$, y sea $latex L:K$ normal y finita con grupo de Galois $latex G=\{g_1,\ldots,g_n\}.$ Define la traza de $latex a\in L$ como $latex T(a) = g_1(a) +

Fecha de entrega: 6 de mayo de 2011 Problema 1. Calcula $latex \omega\wedge\eta$ para las siguientes formas diferenciales en $latex \R^3$. $latex \omega = xdx - ydy, \eta = zdx\wedge dy + x dy\wedge dz$; $latex \omega = dx + dy + dz, \eta = dx\wedge dy + dx\wedge dz + dy\wedge dz$; $latex \omega = z dx\wedge dy + x dy\wedge dz, \eta = \omega$. Problema 2. Sea $latex \omega$ la 2-forma diferencial en $latex \R^{2n}$ dada por $latex \omega = dx^1\wedge dx^2 + dx^3\wedge dx^4 + \ldots + dx^{2n-1}\wedge dx^{2n}.$ Calcula $latex \displaystyle \overbrace{\omega\wedge\omega\wedge\cdots\wedge\omega}^{n \text{veces}}$. Problema 3. Sean $latex f,g:\R^n\to\R$ diferenciables. Muestra lo siguiente. $latex d(f + g)=df + dg$; $latex d(fg) = f dg + g df$; Si $latex h:\R^m\to\R^n$ es diferenciable, entonces $latex d(f\circ h) = h^*df$. Problema 4. Calcula el diferencial exterior de las siguientes formas en $latex \R^4$. $latex \omega = (x^2 + x^3 + x^4)^2 dx^1$; $latex \omega = x^3x