Ricardo A. Sáenz

La calificación ordinaria del curso Álgebra lineal está distribuida de la siguiente forma: Examen escrito: 50% Proyecto final: 50% El examen escrito evaluará la totalidad del material cubierto en la clase. Tendrá una duración de dos horas, y será presentado el lunes 26 de junio, a las 4:00 pm. El proyecto final consiste de una serie de problemas con un tema común, que puede tener como objetivo el desarrollo de un tema o la demostración de un teorema, no visto en clase. A cada estudiante le es asignado un proyecto distinto, y los proyectos no son transferibles. Para resolver los problemas del proyecto se permite revisar las notas de clase o las referencias bibliográficas del curso. No está permitido recibir la ayuda de algún compañero o alguien ajeno a la clase. Sin embargo, si está permitido hacerme preguntas sobre el proyecto, y habrá horas de oficina para preguntas en los siguientes horarios: miércoles 14 de junio, 4:30 - 6:00pm jueves 15 de junio, 4:30 - 6:00pm martes 20 d...

Fecha de entrega: 2 de junio Problema 1 Verifica que cada una de las siguientes transformaciones es autoadjunta, y encuentra una base ortonormal de eigenvectores. $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matrix $latex A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2\\ -2 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matrix $latex A = \begin{pmatrix} 2 & i & 0\\ -i & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr P_2\to\mathscr P_2$ dada por $latex \displaystyle Tp(x) = \frac{1}{4} \int_{-1}^1 (15x^2 y^2 - 6xy - 3) p(y) dy$ Problema 2 Clasifica las siguientes formas cuadráticas de acuerdo a su positividad $latex Q(x) = x_1 x_2$ en $latex \R^2$ $latex Q(x) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_2^2$ en $latex \R^2$ $latex Q(p) = p(0)^2 + 2 p(1)^2 + p(2)^2$ en $latex \mathscr P_2$ Problema 3 Identifica la curva en el plano descrita por cada una de las siguientes ecuaciones. $latex x^2 + xy + y^2 ...

Fecha de entrega: 26 de mayo Problema 1 Considera las siguientes transformaciones lineales $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 4 & -5 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^4 \to \C^4$ dada por multiplicación por $latex \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\4 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr P_2\to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = p(1)x^2 + p'(x)x + p''(x) + p(0)$ Para cada una de ellas: calcula el determinante; calcula el polinomio característico; verifica que el coeficiente libre de su polinomio característico es $latex \pm 1$ veces su determinante; calcula sus eigenvalores; y encuentra una base tal que la matriz con respecto a ella es triangular. Problema 2 Sea  V un espa...

Fecha de entrega: 19 de mayo Problema 1 Calcula el polinomio mínimo de las siguientes transformaciones lineales. Utilízalo para calcular los eigenvalores de cada una. $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ $latex T:\C^3\to\C^3$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & -4 & 3 \end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr P_2\to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = (x-1)^2 p''(x)+2p(x)$ Problema 2 Da un ejemplo de una transformación lineal $latex T:\C^3\to\C^3$ cuyo polinomio mínimo sea $latex p_m(x) = x^2$. Da un ejemplo de una transformación lineal $latex T:\C^4\to\C^4$ cuyo polinomio mínimo sea $latex p_m(x) = x(x-1)^2$. Problema 3 Sean $latex T:V\to V$ lineal y $latex v\in V$. Sea $latex p(...

Fecha de entrega: 12 de mayo Problema 1 Calcula los eigenvalores y eigenvectores de las siguientes transformaciones lineales. Indica en cada caso si los eigenvectores forman una base. $latex T:\C^2\to\C^2$ dada por multiplicación por las siguientes matrices: $latex A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}1&1\\-1&3\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sen\theta\\ \sen\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$ $latex T:\C^3 \to\C^3$ dada por multiplicación por la matriz $latex A = \begin{pmatrix}4&-3&1\\1&0&1\\0&0&3\end{pmatrix}$ $latex T:\mathscr M_{2,2}\to\mathscr M_{2,2}$ dada por $latex T(A) = A^H$ $latex T:\mathscr P_2 \to \mathscr P_2$ dada por $latex Tp(x) = p''(x) + p'(x) + p(x) + p(0)$ Problema 2 Sea $latex P:V\to V$ una transformación  idempotente : o sea, $latex P^2 = P$. ¿Cuáles son los posibles eigenvalores...

Fecha de entrega: 5 de mayo Problema 1 Considera la matriz $latex A = \begin{pmatrix}1& 2&2&4\\2 & 4 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & -4 & 2\end{pmatrix}$. Encuentra el rango de  A . Encuentra la dimensión de $latex \ker A^H$. Explica si los vectores $latex \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ forman una base para $latex (\ker A^H)^\perp$. Problema 2 Considera la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 1 & -2i & 3 + i\\ 2 & 3 & -1 + i \\ 4 & i & 3-5i\end{pmatrix}$. Encuentra $latex \rho(A)$. Encuentra las dimensiones de $latex \ker A^H, (\ker A^H)^\perp$. Calcula la matriz de Gram $latex A^H A$, y calcula su rango. Problema 3 Calcula la matriz de Gram  G  para la base estándar $latex \{1, x, x^2\}$ de $latex \mathscr P_2$ con respecto a cada uno de los siguientes productos internos. $latex \langle p, q \rangle = \int_0^1 pq$ $latex \langle p, q \rangle = ...

Fecha de entrega: 28 de abril Problema 1 Sea $latex U = \gen\Bigg\{ \begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\2\\0\end{pmatrix}\Bigg\}$. Para cada uno de los siguientes vectores  v , obtén la proyección ortogonal de  v sobre  U con dos métodos: primero, usando una base ortonormal de  U , y, segundo, usando la matrix de Gram asociada. $latex v = \begin{pmatrix}0\\2\\1\\1\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}4\\0\\1\\2\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\-1\end{pmatrix}$ Calcula, además, la matrix de la proyección con respecto a la base estándar. Problema 2 Sea  U el plano $latex x + y + z + w = 0$ en $latex \R^4$. Calcula la proyección ortogonal sobre  U de los siguientes vectores. $latex v = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}1\\-2\\-1\\2\end{pmatrix}$ $latex v = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$ Problema 3 Sea $latex f(x) = 1$, y considera el producto inter...

Fecha de entrega: 7 de abril Problema 1 Averigua si las siguientes funciones escalares son productos internos en el espacio vectorial indicado. En $latex \R^2$, $latex \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 - 5x_1y_2 - 5x_2y_1 + 4x_2y_2$ En $latex \R^2$, $latex \langle x,y \rangle = 7x_1y_1 + 5x_1y_2 + 5x_2y_1 + x_2y_2$ En $latex \mathscr P_2$, $latex \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)$ En $latex \mathscr P_3$, $latex \langle p,q \rangle = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)$ Problema 2 Usa la ley de cosenos para mostrar que, si $latex x,y\in\R^2$, entonces $latex x\cdot y = |x| |y| \cos\theta$, donde $latex \theta$ es el ángulo entre  x y  y . Problema 3 Si  V es un espacio con producto interno real y $latex u,v\in V$, muestra que $latex \langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2\big)$. Problema 4 Si  V es un espacio con producto interno complejo y $latex u,v\in V$, muestra que $latex \langle u,v \rangle = \dfrac{1}{4}\big( ||u+v||^2 - ||u-v||^2 + i||...

Fecha de entrega: 31 de marzo Problema 1 Verifica si las siguientes funciones $latex \phi:V\to K$ son funcionales en  V . $latex V = \R^2, \phi\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = (x+1)^2 + (y + 2)^2 - (x-2)^2 - (y-1)^2$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x^2 p(x) dx$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x^2 p'(x) dx$ $latex \displaystyle V = \mathscr P_2, \phi(p) = \int_1^2 x p(x)^2 dx$ $latex V = \mathbf M, \phi(A) = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ Problema 2 Calcula explícitamente la base dual $latex \widehat{\mathscr B}$ de cada una de las siguientes bases para los espacios V  dados. $latex V = \R^3, \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}$ $latex V = \mathscr P_2, \mathscr B = \{x, x^2-1, (x-1)^2\}$ $latex V = \mathbf M, \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1&1&1\\...

Fecha de entrega: 24 de marzo Problema 1 Para cada una de las siguientes matrices  A , calcula la matriz  B de la transformación $latex x\mapsto Ax$ en $latex \R^3$ con respecto a la base, vista en clase, $latex \mathscr B = \Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}.$ $latex A = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix}1&4&7\\-1&2&5\\-3&0&3\end{pmatrix}$ Problema 2 Calcula la integral indefinida $latex \displaystyle \int x^2 e^x dx$ utilizando la inversa de la matriz del operador $latex \dfrac{d}{dx}$ en el espacio $latex V = \gen\{x^2 e^x, x e^x, e^x\}$. Problema 3 Calcula la integral indefinida, para $latex n\in\N$, $latex \displaystyle \int x^n e^x dx$ como en el problema anterior. Problema 4 Considera la base $latex \mathscr B = \Bigg\{ \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}, \begin...

Fecha de entrega: 17 de marzo Problema 1 Para cada una de las siguientes matrices, considera la transformación $latex Tx = Ax$. Calcula una base para $latex \ker T$, y utilízala para calcular su dimensión y la dimensión de $latex \rg T$. $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & 5\\ 2 & 0 & -2 & 1 & 6\\ 3 & 0 & 2 & 1 & 3\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\ 1 & 2 & -1\\ 0 & -2 & -4\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ $latex A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 7 & 1 & -2\\2 & 1 & 4 & 1 & -2\end{pmatrix}$ Problema 2 Para cada una de las siguientes matrices, considera la transformación $latex Tx = Ax$. Calcula una base para $latex \rg T$, y utilízala para calcular su dimensión y la dimensión de $late...

Fecha de entrega: 10 de marzo Problema 1 Considera la matriz $latex A = \begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0 & -1 & -1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1\\2 & 4 & 1 & -2 & 2 & 3\end{pmatrix}$ Encuentra una base para $latex \ker A$ Encuentra bases para $latex \rg A$, utilizando los dos métodos vistos en clase. Problema 2 Sea A  una matriz de $latex m\times n$ de rango 1. Muestra que existen vectores $latex \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{pmatrix} \in\mathbb K^m \qqy \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}\in\mathbb K^n$ tales que $latex A = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 &b_2 &\cdots &b_n\end{pmatrix}$. Problema 3 Demuestra que, para cada vector $latex v\in\R^{n+1}$, existe un polinomio $latex p(x)\in\mathscr P_n$ tal que $latex \displaystyle v_k = \int_k^{k+1} p(x) dx.$ Problema 4 Sea  A una matriz de $latex m\times n$ tal que s...

Fecha de entrega: 3 de marzo Problema 1 Indica si las siguientes transformaciones lineales son inyectivas y/o sobreyectivas. Calcula su espacio nulo. $latex T:\R^4\to\R^4$ dada por $latex T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1&2&1\\1&0&1&2\\1&2&3&0\\1&-1&0&3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$ $latex T:\mathbb K^\infty \to \mathbb K^\infty$ dada por $latex T(a_1,a_2,a_3,\ldots) = (a_2, a_3,\ldots)$ $latex T:\mathcal M_{2,2}\to \mathcal M_{2,2}$ dada por $latex TA = A + A^t$, donde $latex A^t$ es la transpuesta de $latex A$ $latex T:\mathbf M\to\R^3$ dada por $latex T\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{22}\\a_{33}\end{pmatrix}$, donde  M es el espacio de cuadrados mágicos. Problema 2 Sea $latex T:V\to W$ una transformación lineal. Si  T es inyectiva y $latex v_...

Fecha de entrega: 24 de febrero Problema 1 Indica si los siguientes subconjuntos son bases de los espacios vectoriales dados: $latex \{(1+x)^2, (2 + x)^2, (3+x)^2 \} \subset \mathscr P_2$ $latex \left\{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\1\\1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\2\\1\\1\end{pmatrix} \right\}\subset \R^4$ $latex \left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \right\} \subset \mathcal M_{2\times2}$ Problema 2 Sea  V un espacio de dimensión finita y  U un subespacio tal que $latex \dim U = \dim V$. Muestra que $latex U=V$. Problema 3 Calcula una base para cada uno de los siguientes subespacios vectoriales. $latex \left\{ \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \in \R^3 : x_1 + x_2 - x_3 = 0 \right\}$ en $latex \R^3$ $latex \{ p(x)\in\mathscr P_3: p(2)=0\}$ ...

Fecha de entrega: 17 de febrero Problema 1 Averigua si los siguientes vectores se encuentran en el espacio generado dado: $latex x^2+1$ en $latex \gen\{ 1, x-2, (x-2)^2\}\subset\mathscr P$ $latex \begin{pmatrix}-1\\-4\\1\end{pmatrix}$ en $latex \gen\Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\Bigg\}\subset\R^3$ $latex \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ en $latex \gen\Bigg\{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\Bigg\}\subset\R^3$ $latex \sen^2x$ en $latex \gen\{1, \cos x, \cos 2x, \cos 3x, \cos 4x,\ldots\}\subset C$ Problema 2 Muestra que, si los vectores $latex v_1, v_2, \ldots, v_k$ generan el espacio  V , entonces también lo hacen los vectores $latex v_1 - v_2, v_2 - v_3, \ldots, v_{k-1} - v_k, v_k$. Problema 3 Averigua si los siguientes vectores son linealmente independientes: $latex \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{...

Fecha de entrega: 10 de febrero Problema 1 Indica cuáles de los siguientes conjuntos forman un espacio vectorial sobre el campo dado, con las operaciones descritas Los números reales $latex \R$ sobre $latex \Q$, con suma y multiplicación usuales El conjunto de las funciones discontinuas en 0 en $latex \R$, sobre $latex \R$, con suma de funciones y multiplicación escalar usuales El conjunto $latex \R_+$ de números positivos, sobre $latex \R$, con suma $latex x\oplus y = xy$ y multiplicación escalar $latex \alpha x = x^\alpha$ El conjunto  V de parejas $latex (x,y)$ de números reales, sobre $latex \R$, con suma $latex (x,y)\oplus(u,v) = (x + u, y + v)$ y multiplicación escalar $latex \alpha(x,y) = (\alpha x, 2\alpha y)$ Problema 2 Demuestra las siguientes propiedades de un espacio vectorial  V sobre el campo $latex \mathbb K$ Para todo $latex \alpha\in\mathbb K$, $latex \alpha\cdot 0 = 0$ El negativo $latex -v$ de cada $latex v\in V$ es único Para cada $latex u, v\...

Fecha de entrega: 3 de febrero Problema 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Expresa su conjunto solución en forma vectorial. $latex \begin{array}{rcl} -2x_2 + 4x_3 + x_4 & = & -4\\ 2x_1 - 2x_2 + 8x_3 + x_5 & = & -16\\ x_1 + 2x_3 & = & -6\\ 3x_2 - 6x_3 - x_4 & = & 7 \end{array}$ $latex \begin{array}{rcl} x_1 + x_2 - 2x_3 &=& -1\\ 8x_1 + x_2 + 5x_3 &=& 6 \\ -6 x_1 - 3 x_2 + 3 x_3 &=& 0\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl} 3x_1 + 6x_3 & = & 1\\ 4x_1 + 2x_2 + 24x_3 & = & -3\\ 3x_1 - 2x_2 - 9x_3 & = & 5 \end{array}$ $latex \begin{array}{rcl} 2 x_2 - 6 x_3 &=& 3 \\ x_1 + x_3 &=& 1 \\ x_1 + 3 x_2 - 8 x_3 &=& 4 \end{array}$ $latex \begin{array}{rcl} - x_1 - 5 x_2 &=& -16 \\ -2 x_1 + 6 x_2 &=& 16 \\ - 4 x_1 + 3 x_2 &=& 5 \\ x_1 + 2 x_2 &=& 7 \end{array}$ Problema 2 Considera el sistema cuya matriz inducida está dada por $latex \le...