Tarea 14, Cálculo 3

Fecha de entrega: 14 de noviembre

Problema 1

Usa el teorema de Stokes para evaluar las siguientes integrales. En cada caso, determina la dirección en la cual es necesario orientar $latex C$ para obtener un valor positivo.

a)

$Latex \displaystyle \oint_C ydx+(2x-z)dy+(z-x)dz,$

$Latex \qquad$ donde $Latex C$  es la intersección de $Latex x^2+y^2+z^2=$ y $Latex z=1$.

b)

$Latex \displaystyle \oint_C (y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy+(x^2-y^2)dz,$

$Latex \qquad$ donde $Latex C$ es formada por la intersección de $Latex x+2y+3z=4$ con los planos $Latex x=3, y=2$ y, $latex z=1$, respectivamente.

Hint: $Latex C$ es la frontera de un triángulo. Encuentra el pullback de este triángulo al triángulo fundamental en el espacio $Latex uv$.

Problema 2

Verifica que las imagenes del campo vectorial $Latex \vec F(0,e^{-x^2},0)$ son paralelas, pero su rotacional no es $Latex \vec 0$. Explica por qué una hoja empujada por el flujo descrito por el campo vectorial, rota sobre sí misma.

Problema 3

Encuentra un campo potencial para

$Latex \displaystyle \omega = r^a(xdx+ydy+zdz),\qquad a\ne -2$.

Problema 4

Justifica cada una de las siguientes identidades. Cuando sea posible, traduce al lenguaje de formas diferenciales. Donde

$Latex \displaystyle \frac{\partial f}{\partial n} = \nabla f\cdot\vec n, \qquad dV=dxdydz$,

a)

$Latex \displaystyle \int_{\partial R}f\frac{\partial g}{\partial n}d\sigma = \int_Rf\nabla^2gdV+\int_R\nabla f\cdot\nabla gdV$,

b)

$Latex \displaystyle \int_S (\nabla f)\times \vec g\cdot \vec n d\sigma = \oint_{\partial S}f\vec g\cdot d\vec r - \int_S f(\nabla\times \vec g)\cdot \vec nd\sigma$,

Problema 5

Sea $Latex \vec F=(x^2-y^2+3z,y^2+z^2-2x,z^2-2x^2+y)$. Usa el teorema de Stokes para evaluar

$Latex \displaystyle \int_S \nabla\times\vec F\cdot\vec n d\sigma$,

donde $LAtex S$ es la porción del paraboloide $Latex z= 4-x^2-y^2$ que cae sobre el plano $Latex z=2$, orientado de forma  que el vector $Latex (0,0,1)$ tenga dirección positiva con respecto al flujo descrito por $Latex \vec F$.

Problema 6

Sea $Latex \vec F$ y $Latex G$ campos vectoriales de $Latex \mathbb R^3$ a $Latex \mathbb R^3$. Demuestra que

$Latex \displaystyle\nabla\cdot(\vec F\times\vec G) = (\nabla\times\vec F)\cdot\vec G-\vec F\cdot(\nabla\cdot\vec G)$.