Fecha de entrega: 14 de noviembre
Problema 1
Usa el teorema de Stokes para evaluar las siguientes integrales. En cada caso, determina la dirección en la cual es necesario orientar $latex C$ para obtener un valor positivo.
a)
$Latex \displaystyle \oint_C ydx+(2x-z)dy+(z-x)dz,$
$Latex \qquad$ donde $Latex C$ es la intersección de $Latex x^2+y^2+z^2=$ y $Latex z=1$.
b)
$Latex \displaystyle \oint_C (y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy+(x^2-y^2)dz,$
$Latex \qquad$ donde $Latex C$ es formada por la intersección de $Latex x+2y+3z=4$ con los planos $Latex x=3, y=2$ y, $latex z=1$, respectivamente.
Hint: $Latex C$ es la frontera de un triángulo. Encuentra el pullback de este triángulo al triángulo fundamental en el espacio $Latex uv$.
Problema 2
Verifica que las imagenes del campo vectorial $Latex \vec F(0,e^{-x^2},0)$ son paralelas, pero su rotacional no es $Latex \vec 0$. Explica por qué una hoja empujada por el flujo descrito por el campo vectorial, rota sobre sí misma.
Problema 3
Encuentra un campo potencial para
$Latex \displaystyle \omega = r^a(xdx+ydy+zdz),\qquad a\ne -2$.
Problema 4
Justifica cada una de las siguientes identidades. Cuando sea posible, traduce al lenguaje de formas diferenciales. Donde
$Latex \displaystyle \frac{\partial f}{\partial n} = \nabla f\cdot\vec n, \qquad dV=dxdydz$,
a)
$Latex \displaystyle \int_{\partial R}f\frac{\partial g}{\partial n}d\sigma = \int_Rf\nabla^2gdV+\int_R\nabla f\cdot\nabla gdV$,
b)
$Latex \displaystyle \int_S (\nabla f)\times \vec g\cdot \vec n d\sigma = \oint_{\partial S}f\vec g\cdot d\vec r - \int_S f(\nabla\times \vec g)\cdot \vec nd\sigma$,
Problema 5
Sea $Latex \vec F=(x^2-y^2+3z,y^2+z^2-2x,z^2-2x^2+y)$. Usa el teorema de Stokes para evaluar
$Latex \displaystyle \int_S \nabla\times\vec F\cdot\vec n d\sigma$,
donde $LAtex S$ es la porción del paraboloide $Latex z= 4-x^2-y^2$ que cae sobre el plano $Latex z=2$, orientado de forma que el vector $Latex (0,0,1)$ tenga dirección positiva con respecto al flujo descrito por $Latex \vec F$.
Problema 6
Sea $Latex \vec F$ y $Latex G$ campos vectoriales de $Latex \mathbb R^3$ a $Latex \mathbb R^3$. Demuestra que
$Latex \displaystyle\nabla\cdot(\vec F\times\vec G) = (\nabla\times\vec F)\cdot\vec G-\vec F\cdot(\nabla\cdot\vec G)$.
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