Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 2 de septiembre Problema 1 Sea $latex f(x) = \sen x$. Encuentra el error $latex e(f,x,\pi/2)$ como función de  x . Encuentra un $latex \delta>0$ que sea suficiente para que $latex |e(f,x,\pi/2)|<\e$ para $latex \e = 0{.}1, 0{.}001, 10^{-100}$. ¿Cómo debemos seleccionar $latex \delta$ para $latex \e$ arbitrario dado? Problema 2 Muestra que si  f es continua en $latex x_0$ y $latex \lim_{x\to x_0} f'(x)$ existe, entonces  f es diferenciable en $latex x_0$ y $latex \lim_{x\to x_0} f'(x) = f'(x_0)$. Problema 3 Sean $latex f, g$ diferenciables en $latex x_0$. Encuentra $latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{xf(x_0) - x_0f(x)}{x-x_0}$ $latex \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x)}{x-x_0}$ Problema 4 Sea  f diferenciable en $latex p$ y $latex x_n, y_n$ sucesiones que convergen a $latex p$, tales que $latex x_n\not= p, y_n\not=p, x_n\not=y_n$, para todo  n . Da ejemplos para los cuales el cociente $latex \dfrac{f(x_n) - f(y_n)...

Fecha de entrega: 26 de agosto Problema 1 Identifica el problema del siguiente argumento: Dada una función  f , tenemos que $latex \displaystyle \int_1^2 f(x)dx = \int_0^2 f(x)dx - \int_0^1 f(x)dx.$ Si hacemos el cambio de variable $latex x=2y$ en la primer integral de la derecha, tenemos $latex \displaystyle \int_0^2 f(x)dx = 2\int_0^1 f(2y) dy.$ Sea  f una función tal que $latex f(2x) = \frac{1}{2}f(x)$ para todo  x . Entonces $latex \displaystyle \int_1^2 f(x)dx = 2\int_0^1 \frac{1}{2}f(x)dx - \int_0^1 f(x)dx = 0.$ La función $latex f(x) = 1/x$ satisface que $latex f(2x) = f(x)/2$. Así $latex \int_1^2 dx/x = 0$ y, por lo tanto, $latex \log 2 = 0.$ Problema 2 Encuentra una función sencilla $latex \omega$, en términos de $latex \log$, tal que $latex \displaystyle \lim\Big( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{2n-1} - \omega(n)\Big) = 0.$ Problema 3 Muestra la identidad de Bernoulli vista en clase integrando repetidamente por partes: $latex \displaystyle \int_0^x f(t)dt =...

Fecha de entrega: 19 de agosto Problema 1 Encuentra el límite de las siguientes series. Para cada una, encuentra  n tal que sus sumas parciales, a partir de la  n -ésima, están a distancia .001 del límite. $latex 1 - \dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{16} - \dfrac{27}{64} + \ldots$ $latex \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{36} - \dfrac{25}{216} + \ldots$ $latex 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{32} + \ldots$ Problema 2 Demuestra la convergencia de la serie $latex 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots = \dfrac{1}{(1-x)^2}$ para $latex |x|<1$, utilizando las ideas de Cauchy. Repite el problema anterior con las siguientes series. $latex 1 - \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{9} - \dfrac{4}{27} + \ldots$ $latex 2 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{9} - \dfrac{3}{27} + \dfrac{6}{81} - \dfrac{5}{243} + \ldots$ Problema 3 Demuestra la identidad de Machin $latex \dfrac{\pi}{4} = 4\arctan\dfrac{1}{5} - \arctan\dfrac{1}{239}$. Problema 4 ¿Cuántos terminos necesitas suma...

Fecha de entrega: 12 de agosto Problema 1 Grafica las superficies obtenidas por las sumas parciales al sumar 1, 2, 5, 10, 100 términos de la serie $latex \displaystyle \frac{4}{\pi} \Big( e^{-\frac{\pi y}{2}} \cos\frac{\pi x}{2} - \frac{1}{3} e^{-\frac{3\pi y}{2}}\cos\frac{3\pi x}{2} + \frac{1}{5}e^{-\frac{5\pi y}{2}}\cos\frac{5\pi x}{2} - \frac{1}{7}e^{-\frac{7\pi y}{2}}\cos\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big)$ para $latex x\in[-1,1], y\in[0,2]$. Problema 2 Considera la suma de Fourier vista en clase $latex \displaystyle \frac{4}{\pi} \Big( \cos\frac{\pi x}{2} - \frac{1}{3} \cos\frac{3\pi x}{2} + \frac{1}{5}\cos\frac{5\pi x}{2} - \frac{1}{7}\cos\frac{7\pi x}{2} + \ldots \Big).$ ¿A qué valor se acerca esta serie cuando  x se acerca a 1 por la izquierda? ¿A qué valor se acerca esta serie cuando  x se acerca a 1 por la derecha? ¿Cuál es el valor de esta serie si  x =1? Problema 3 Considera la suma que obtenemos si diferenciamos término a término la suma anterior: $latex \displaystyle ...