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### Tarea 16, Análisis real

Due November 27 Problem 1 If $f_n$ is a sequence of measurable functions, then $\{x:\lim f_n \text{ exists} \}$ is a measurable set. Problem 2 If $f:\R\to\R$ is monotone, then is Borel measurable. Problem 3 If $f_n\in L^+$ decreases pointwise to $f$, and $\int f_1 < \infty$, then $\int f = \lim \int f_n$. Problem 4 Let $f_n\in L^1$ such that $f_n\rightrightarrows f$. If $\mu(X)<\infty$, then $f\in L^1$ and $\int f_n\to\int f$. If $\mu(X)=\infty$, then the conclusions of (1.) might fail. Problem 5 If $1\le p<r\le \infty$, $L^p\cap L^r$ is a Banach space with norm $||f||=||f||_p + ||f||_r$. If $1\le p<q<r\le\infty$, the inclusion map $L^p\cap L^r\to L^q$ is continuous.

### Tarea 5, Varias variables

Fecha de entrega: 27 de febrero Problema 1 Si extendemos la definición de derivadas direccionales a vectores $u$ no necesariamente unitarios, demuestra que satisfacen $D_{tu}f(x_0) = t D_uf(x_0)$ y $D_{u+v}f(x_0) = D_u f(x_0) + D_v f(x_0),$ si $f$ es diferenciable en $x_0$. Problema 2 Si $f:U\to\R$ tiene un mínimo local en $x_0$ y sus derivadas parciales existen, muestra que $D_if(x_o)=0$ para cada $i=1,\ldots,n$. Problema 3 Muestra que, si $U\subset\R^n$ es abierto, $f:U \to \R$ es tal que sus derivadas parciales existen en cada $x\in U$, $x_0\in U$, y $t\in\R$ es tal que $(x_0^1, \ldots, x_0^i + s, \ldots, x_0^n) \in U$ para todo $s\in[0,t]$ (o $s\in[t,0]$, si $t<0$), entonces existe $c$ entre $x_0^i$ y $x_0^i+t$ tal que $f(x_0^1,\ldots,x_0^i+t,\ldots,x_0^n) - f(x_0^1,\ldots,x_0^i,\ldots,x_0^n) = t D_if(x_0^1,\ldots,c,\ldots,x_0^n).$ Problema 4 Sea \$l

### Tarea 4, Varias variables

Fecha de entrega: 20 de febrero Problema 1 Si $f:U\to\R^m$ es diferenciable en $x_0\in U$, entonces es continua en $x_0$. Problema 2 Sea $U\subset\R^n$ abierto y $f,g:U\to\R$ tales que $f$ es continua en $x_0\in U$, $g$ es diferenciable en $x_0$ y $g(x_0) = 0$. Muestra que $fg$ es diferenciable en $x_0$. Problema 3 Calcula la derivada y el Jacobiano de cada una de las siguientes funciones, utilizando la regla de la cadena. $(x,y) \mapsto (x^2 - y^2, 2xy)$, en cada punto $(x_0, y_0)\in\R^2$ $(x,y) \mapsto (\sen(x^2 + xy + y^2), e^{xy} )$, en cada punto $(x_0,y_0)\in\R^2$ Problema 4 Decimos que $f:\R^n\to\R$ es homogénea de grado $\alpha$ si $f(tx) = t^\alpha f(x)$, para $x\in\R^n, t>0$. Si, además, $f$ es diferenciable, muestra la fórmula de Euler $\displaystyle\sum_{i=1}^n x^i D_if(x) = \alpha f(x)$. Problema 5 Si $f:\R^n\to\R$ es diferenciab

### Tarea 3, Varias variables

Fecha de entrega: 13 de febrero Problema 1 Muestra que, si $f:A\to\R^m$ tiene límites $L$ y $M$ en $x_0$, entonces $L = M$. Problema 2 Demuestra que la función $f:A\to\R^m$ es continua en $x\in A$ si y solo si cada una de sus componentes $f^i:A\to\R$ es continua en $x$. Problema 3 Considera la función en $\R^2$ definida por $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{x^2 + y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\0 & (x,y)=(0,0).\end{cases}$ Muestra que, aunque cada una de las funciones $x\to f(x,y_0)$    y    $y\to f(x_0,y)$ son continuas en $\R$ para cualquier $x_0,y_0\in\R$, la función $f$ no es continua en $(0,0)$. Problema 4 Da un ejemplo de un conjunto $A\subset\R^n$ no acotado tal que toda función continua en $A$ es uniformemente continua. Problema 5 Calcula la oscilación en el punto $(0,0)$ de la función del problema 3.

### Tarea 2, Varias variables

Fecha de entrega: 6 de febrero Problema 1 Sea $(x_k)$ una sucesión en $\R^n$ tal que  $x_k\to L$ y $x_k\to M$. Muestra que $L = M$. Problema 2 Si $(x_k)$ es una sucesión de Cauchy, entonces es acotada. Sea $(x_k)$ una sucesión de Cauchy tal que una subsucesión converge, digamos $x_{k_l} \to L$. Muestra que $x_k\to L$. Concluye que toda sucesión de Cauchy en $\R^n$ converge. (Utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass.) Problema 3 Considera, en $\R^n$, la cubierta $\{A_n\}_n$ definida por $A_n = \{ x\in\R^n: \dfrac{1}{2n} < |x| < \dfrac{3}{2n}\},$ para la bola punteada $B_1^*(x) = \{ x: 0 < |x| \le 1 \}$. Muestra que esta cubierta no tiene subcubiertas finitas. Problema 4 Sean $A_1\supset A_2\supset\ldots$ compactos no vacíos en $\R^n$. Muestra que $\bigcap_i A_i \not=\emptyset.$ Muestra que el enunciado anterior es falso si los $A_i$ son solo cerrados. Problema

### Tarea 1, Varias variables

Fecha de entrega: 30 de enero Problema 1 Muestra la desigualdad del triángulo inversa: si $x,y\in\R^n$, $\big| |x| - |y|\big| \le |x-y|.$ Demuestra la identidad del palalelogramo: si $x,y\in\R^n$, $|x|^2 + |y|^2 = \frac{1}{2}\big(|x+y|^2 + |x-y|^2 \big).$ Problema 2 Muestra que, si $x_1,x_2\in\R^n$, el conjunto $\{x\in\R^n: |x - x_1| = |x - x_2| \}$ es un hiperplano. Problema 3 Muestra que la intersección de dos rectángulos en $\R^n$ es vacía o es otro rectángulo. Problema 4 Muestra que si $\{U_\alpha\}$ es una colección de conjuntos abiertos en $\R^n$, entonces la unión $\bigcup_\alpha U_\alpha$ es un conjunto abierto. Muestra que si $U_1,U_2,\ldots,U_k$ son conjuntos abiertos en $\R^n$, entonces la intersección $\bigcap_{i=1}^k U_i$ es un conjunto abierto. Problema 5 Muestra que, para cualquier $A\subset\R^n$, $\fr A = \bar A \cap \overline{(\R^n \setminus A)}$.