Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 3 de junio Problema 1 Calcula la resistencia total de la siguiente red. Problema 2 Calcula la resistencia total de la siguiente red. Problema 3 Calcula la matriz  H para cada una de las redes anteriores. Problema 4 Encuentra las matrices  H para las siguientes formas cuadráticas tales que $latex \mathcal E(v) = -(v,Hv)$. $latex (x,y)\mapsto x^2 - 2xy + 2y^2$ $latex (x,y)\mapsto xy$ $latex (x,y,z)\mapsto x^2+3xy - y^2 - 2z^2 + xz$ $latex (x,y,z)\mapsto x^2+y^2+z^2-3xy - xz - 4yz$ $latex (x,y,z)\mapsto x^2+2y^2+2z^2 - 6xy + 2xz + 6yz$ Problema 5 Averigua cuáles de las formas cuadráticas anteriores corresponden a formas de Dirichlet.  

Fecha de entrega: 27 de mayo Problema 1 Muestra que un código es  d-error-correcting si y solo si es  2d-error-detecting . Problema 2 Muestra que cualquier cadena de 0 y 1 de longitud 7 es ya sea una palabra en el código de Fano, o proviene de una única palabra del código de Fano cambiando un bit. Problema 3 Considera el código obtenido del plano proyectivo sobre $latex \mathbb F_3^2$, análogo al de Fano. ¿Qué tanta detección y corrección de errores posee? Problema 4 El siguiente texto fue encriptado con un algoritmo de sustitución simple (no fueron reemplazados los signos de puntuación). Descífralo. xgqykakuar, pgtkuar, mratkuar, qra yovq arwlovq tra dka wuprpkvayv. qka vwluonr pu nvayv evtvayv, yvwv wuq vp ppuwuoqv hvotgpuar. qvo ga mortgpr ju vq ga evqtuor, mgvq ar qupv evp tkotgpr utver. vp bgv qupv dvpks vq vzmver, mvor umvqyu u evwrakrq j u oujrq. qka vwluonr mu' hutvopr lrakyr, ga kwlvtkp qv mgqr vzmvekyr. ¡bgv evpktku, qvcro, ev tokuygou, huqyu va vqr qv iv qg dkagou! vq m

Fecha de entrega: 20 de mayo Problema 1 Muestra que, en un diseño de bloques, la hipótesis que cada individuo pertenece al mismo número de bloques es superflua; es decir, se sigue del resto de las hipótesis. Problema 2 Encuentra cinco números $latex v, b, k, r, \lambda$ que satisfagan las ecuaciones vistas en clase, pero $latex b<v$. Para cada $latex v>1$, construye un diseño de bloques con $latex b=v$. Problema 3 Muestra que el plano de Fano es el único sistema de Steiner con $latex v=7$. Problema 4 Supón que un sistema de Steiner tiene un subconjunto  S  de $latex (v-1)/2$ individuos tales que forman un sistema de Steiner por sí mismos considerando los bloques que pertenecen a  S . Muestra que  S es una muestra representativa de clubes. Problema 5 Muestra que el plano de Fano y $latex \mathbb F_3^2$ pueden ser coloreados con 3 colores, tal que cada bloque usa al menos dos colores (aunque no necesariamente los tres de ellos). Problema 6 ¿Cuántos cuadrados latinos hay de $

Fecha de entrega: 13 de mayo Problema 1 Considera el plano de Fano  $latex \mathcal F$ visto en clase. Representa cada recta en el plano de Fano por un punto, y cada punto x  de $latex \mathcal F$ como una recta que contiene, como puntos, a las rectas en $latex \mathcal F$ que pasan por  x . Describe el espacio geométrico obtenido. Un conjunto de 3 puntos en $latex \mathcal F$ que no pertenecen a una recta es llamado un  círculo , y una  tangente al círculo es una recta que pasa por uno solo de sus puntos. Muestra que para cada punto de un círculo existe una única tangente que pasa por él. Un  hipercírculo es un conjunto de 4 puntos en $latex \mathcal F$ tal que no 3 de ellos pertenecen a una recta. Muestra que los 3 puntos afuera de un hipercírculo forman una recta, y viceversa. Describe la manera en que podemos rearreglar los puntos de $latex \mathcal F$ de tal forma que, digamos, el vértice superior de la representación vista en clase ocupa ahora el punto central. Problema

Fecha de entrega: 6 de mayo Problema 1 Muestra que los siguientes grafos no son 3-coloreables. Problema 2 Considera  n  rectas genéricas en el plano, y considera el grafo formado por sus puntos de intersección y los segmentos de recta entre ellos. Muestra que este grafo es 3-coloreable. Problema 3 Muestra el corolario visto en clase:  si G es un grafo tal que cada subgrafo de G tiene al menos un vértice de grado d, entonces G es (d+1)-coloreable. Problema 4 Sea  G el grafo cuyos vértices corresponden a las aristas de $latex K_5$, y en el cual son adyancentes si dichas aristas tienen un vértice en común. Calcula el número cromático de  G .  Problema 5 Muestra que las regiones formadas por rectas en el plano son 2-coloreables. Muestra que las regiones formadas por una curva cerrada en el plano (que se interseca a sí misma) son 2-coloreables. Problema 6 Da un ejemplo de un mapa, con países no necesarimente conexos, que no sea 100-colorables. Problema 7 Si cada cara de un mapa plana