Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: viernes 11 de mayo Tomados del texto de S. Ross,  A First Course in Probability , 7ma edición. Capítulo 8 Problemas: 2, 3, 6, 13 Problemas teóricos:  4, 5  

Fecha de entrega: 4 de mayo Tomados del texto de S. Ross,  A First Course in Probability , 7ma edición. Capítulo 7 Ejercicios de práctica: 48, 49, 50, 52, 53.

Fecha de entrega: 27 de abril Problema 1 Un grupo de $latex n$ mujeres y $latex n$ hombres se alinean aleatoriamente. Encuentra el número esperado de hombres que tienen una mujer al lado. Repite la pregunta, pero si esta vez son sentados en una mesa redonda. Problema 2 Cada una de las 52 cartas de una baraja estándar se descubren; decimos que tenemos una coincidencia  si la primer carta es un az, la segunda un 2, etc., la 14ta es un az, la 15ta un 2, etc., sin importar el palo. Calcula el valor esperado de coincidencias que ocurren en una baraja aleatoria. Problema 3 Considera un grupo aleatorio de 100 personas. Calcula el número esperado de días del año que son cumpleaños de exactamente 3 personas. Calcula el número esperado de cumpleaños distintos. Problema 4 Sean $latex X, Y$ variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas, con media $latex \mu$ y varianza $latex \sigma^2$. Encuentra $latex E[(X-Y)^2].$ Problema 5 Después de tirar un dado honesto $latex n$ ve...

Fecha de entrega: 20 de abril Problema 1 Se tiran dos dados. Sean $latex X$ y $latex Y$ el valor más grande y el más pequeño de ellos, respectivamente. Calcula la función de masa condicional de $latex Y$ dado $latex X=1,2,3,4,5,6.$ ¿Son estas variables independientes? Explica. Problema 2 La función conjunta de densidad de las variables $latex X$ y $latex Y$ está dada por $latex f(x,y) = x e^{-x(y+1)}, \qquad x,y > 0.$ Calcula la densidad condicional de $latex X$, dada $latex Y=y$. Calcula la densidad condicional de $latex Y$, dada $latex X=x$. Calcula la función de densidad de $latex Z = XY$. Problema 3 Un jugador tira una moneda y un dado, ambos honestos. Si la moneda cae águila, gana el doble del valor del dado; si la moneda cae sello, gana la mitad del valor del dado. Calcula su ganancia esperada. Problema 4 Sean $latex X,Y$ variables aleatorias independientes, con valores $latex 1, 2, \ldots, m,$ cada uno con la misma probabilidad. Muestra que $latex \displaystyle E[|X- Y|...

Fecha de entrega: 30 de marzo Problema 1 Se tiran dos dados honestos . Encuentra la función conjunta de masa de $latex X$ y $latex Y$ cuando $latex X$ es el valor máximo de los dados y $latex Y$ su suma. $latex X$ es el valor del primer dado y $latex Y$ el valor máximo de ambos. $latex X$ es el valor mínimo y $latex Y$ es el máximo. Problema 2 La función conjunta de densidad de $latex X$ y $latex Y$ está dada por $latex f(x, y) = c(y^2 - x^2)e^{-y}, \qquad -y \le x \le y, \quad y>0.$ Encuentra $latex c$. Encuentra las densidades de $latex X$ y $latex Y$. Encuentra $latex E[X]$. Problema 3 El número de personas que llegan a una farmacia en un periodo de una hora es una variable de Poisson con parámetro $latex \lambda = 10.$ Calcula la probabilidad condicional de que en una hora entraron a lo más 3 hombres, dado que entraron 10 mujeres en la misma hora. Explica tus hipótesis. Problema 4 Sean $latex X$ y $latex Y$ independientes, $latex X$ uniformemente distribuida en $late...

Fecha de entrega: 23 de marzo Problema 1 De las   10,000 veces que  hemos tirado una moneda, 5,800 veces ha caído águila. ¿Es razonable suponer que la moneda es honesta? Indica un intervalo confiable (95%) de la probabilidad de que, en cada tiro, caiga águila. Problema 2 El tiempo, en horas, que se necesita para reparar una máquina es una variable exponencial con parámetro $latex \lambda = \dfrac{1}{2}.$ ¿Cuál es la probabilidad de que necesitemos más de dos horas para reparar la máquina? ¿Cuál es la probabilidad condicional de que necesitemos al menos 10 horas, dado de que ya llevamos 9? Problema 3 El número de años en que funciona un radio está distribuido exponencialmente con parámetro $latex \lambda = \dfrac{1}{8}.$ Si Alejandra compra uno usado, ¿cuál es la probabilidad de que le durará 8 años? Problema 4 Mariela averigua que el número de kilómetros, en miles, que dura un auto antes de tener que mandarlo al yonque  está distribuido exponencialmente con parámetro $latex \lambda...

Fecha de entrega: 16 de marzo Problema 1 La función de densidad de la probabilidad de la variable aleatoria $latex X$, que mide la duración de cierto tipo de aparato electrónico en horas, está dada por $latex \displaystyle f(x) = \begin{cases}\dfrac{10}{x^2}&x>10\\0&x\le10.\end{cases}$ Encuentra $latex P(X>20)$ Calcula la función de distribución acumulada de $latex X$. ¿Cuál es la probabilidad de que, de 6 de esos aparatos, al menos 3 funcionen por al menos 15 horas? (Enlista explícitamente tus hipótesis.) Problema 2 La duración en horas de un tubo electrónico es una variable aleatoria continua con función de densidad dada por $latex f(x) = x e^{-x};$ $latex x\ge 0.$ Calcula la duración esperada de dicho tubo. Problema 3 Mariela ha llegado a la parada del camión a las 10 en punto, y sabe que que el camión llegará en algún momento uniformemente distribuido entre las 10 y las 10:30. ¿Cuál es la probabilidad de que Mariela deba esperar más de 10 minutos? Si el cami...

Fecha de entrega: 9 de marzo Problema 1 Cada noche, los meteorólogos nos indican la probabilidad de lluvia para el día siguiente. Para evaluar sus predicciones, daremos el siguiente puntaje a un meteorólogo que ha afirmado que la probabilidad de lluvia es igual $latex p$: $latex \begin{cases}1 - (1-p)^2&\text{si llueve}\\1-p^2&\text{si no llueve.}\end{cases}$ Un meteorólogo, que conoce este método de evaluación, sabe que la probabilidad de lluvia para el día siguiente es $latex p^*$. Si quiere maximizar su puntaje esperado, ¿cuál es el valor de $latex p$ que deberá afirmar como la probabilidad de lluvia para el día siguiente? Problema 2 Un voceador compra periódicos cada día en $10.00 y los vende en $15.00, y no puede regresar aquéllos que no vendió. Si su demanda diaria es una variable aleatoria binomial con $latex n=10$ y $latex p=\dfrac{1}{3}$, ¿cuántos periódicos debe comprar para optimizar el valor esperado de sus ganancias? Problema 3 Un canal de comunicaciones trasmite l...

Fecha de entrega: 2 de marzo Problema 1 Una urna contiene 8 bolas blancas, 4 negras y 2 amarillas. Suponemos que por cada bola negra que sacamos de la urna ganamos $20.00, y por cada bola blanca perdemos $10.00. Sea $latex X$ nuestra ganancia total al sacar dos bolas al azar. Describe la imagen de $latex X$, y calcula la probabilidad de obtener cada uno de los valores posibles de $latex X$. Problema 2 Si tiramos un dado dos veces, describe la imagen de las siguientes variables aleatorias. $latex X_1 = $ el valor máximo que aparece en los dos tiros. $latex X_2 = $ el valor mínimo. $latex X_3 = $ la suma de los valores. $latex X_4 = $ el valor del primer tiro menos el valor del segundo. Asumiendo que el dado es honesto, calcula las probabilidades de cada valor de cada una de esas variables aleatorias. Problema 3 Un vendedor   tiene dos citas  en las cuales intentará vender enciclopedias. En la primera, la probabilidad de   realizar una  venta es .3, mientras que en la segunda la ...

Fecha de entrega: 24 de febrero Problema 1 Si se lanza una moneda repetidamente, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros 4 resultados sean AAAA? ¿Cuál es la de SAAA? ¿Cuál es la probabilidad de que la repetición SAAA aparezca antes de AAAA? Problema 2 Suponemos que la probabilidad del sexo de cada hijo en una familia es la misma para niño o niña, y es independiente de la distribución de sexos de los demás. De una pareja con cinco hijos, calcula las probabilidades de los siguientes eventos. Todos son del mismo sexo. Los tres mayores son niños, y los otros niñas. Exactamente tres niños. Las dos mayores son niñas. Al menos uno es niña. Problema 3 Alejandra y Mariela juegan una serie de partidos. En cada partido, la probabilidad de que gane Alejandra es $latex p$, y la probabilidad de que gane Mariela es $latex 1-p$, independientemente del resultado de los partidos anteriores. La ganadora de la serie estará determinada por aquella que llegue a tener dos partidos ganados más ...

El martes pasado discutimos en la clase de probabilidad la paradoja del hijo favorito donde, si a una madre de dos hijos se le ve con una niña, entonces la probabilidad de que tenga dos niñas depende de la manera en que ella decide a cuál de sus hijos sacar a la calle. La probabilidad también depende del nombre de la niña. He hablado de esto en mi blog: La importancia de llamarse Ernesto La importancia de llamarse Ernesto, II

Fecha de entrega: 17 de febrero Problema 1 Calcula, para cada $latex s=2, 3, \ldots, 12$, la probabilidad de que al tirar dos dados al menos uno cae 6, si su suma es $latex s$. Problema 2 Considera una urna con 18 bolas, 8 de ellas blancas. Se toma una muestra aleatoria con reemplazo de 4 bolas. ¿Cuál es la probabilidad que la primera y la última de ellas son blancas, dado que exactamente 3 de ellas lo son? Repite la pregunta, pero sin reemplazo. Problema 3 Si una mujer embarazada fuma, el riesgo de sufrir un embarazo ectópico se duplica, comparado con el riesgo de una que no fuma. Si 32% de las mujeres en edad de embarazarse fuman, ¿cuál es la proporción de mujeres con embarazo ectópico que fuman? Problema 4 En una comunidad, 36% de las familias tienen un perro, y 22% de ellas (de las que tienen perro) tienen además un gato. El porcentaje total de las familias que tienen un gato es 30%. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia seleccionada al azar tenga un perro y un gato? ¿Cu...

Richard Bass , de la Universidad de Connecticut, puso en su página las notas de algunas de sus clases: Lecture Notes . Entre ellas están las notas de su clase de probabilidad de licenciatura. Como utilizó, al igual que nosotros, el libro de Ross, sus notas les pueden servir a ustedes también. Échenles un vistazo. Están en el link  Undergraduate probability (from Ross' book)  de su página.

Fecha de entrega: 10 de febrero Problema 1 Una caja contiene tres canicas, de colores rojo, verde y azul. Considera el siguiente experimento: tomamos una canica de la caja, la regresamos, y luego tomamos otra más. Describe el espacio muestral. Repite lo anterior, pero sin  regresar la primer canica a la caja. Problema 2 Una dado se tira repetidamente hasta que aparece un 6, cuando el experimento se detiene. Describe el espacio muestral $latex S$. Sea $latex E_n$ el evento donde es necesario tirar el dado $latex n$ veces para completar el experimento. ¿Cuáles son los elementos de $latex E_n$? ¿Cuál es el conjunto $latex S\setminus\bigcup E_n$? Problema 3 Se sabe que 60% de los estudiantes de un a escuela no usan anillos ni collares, mientras 20% usan anillo, y 30% usan collar. Si escogemos un estudiante al azar, calcula las siguientes probabilidades. De que porte un anillo o un collar. De que porte un anillio y un collar. Problema 4 En un pueblo viven 20 familias, de las c...

Fecha de entrega: 3 de febrero Tomados del texto de S. Ross, A First Course in Probability , 7ma edición.  C apítulo 1 , e jercicios de práctica: 1, 7, 9, 19, 21; ejercicios teóricos: 11, 12a.