Tarea 1, Cálculo 3

Fecha de entrega: 15 de agosto

Problema 1

Para $latex a\ge b > 0$,  $latex \theta\in[0,2\pi]$ fijos, definimos

$latex G = G(\phi) = (a\cos(\theta + \phi), b\sen(\theta + \phi))$

$latex G' = G'(\phi) = (a\cos(\theta - \phi), b\sen(\theta - \phi))$.

Nota que, en la notación vista en clase, $latex Q=G(\phi/2), Q'=G'(\pi/2)$.

1. Muestra que la pendiente de $latex GG'$ es $latex (-b/a)\cot\theta$ para todo $latex \phi$. Así, $latex GG'$ es paralela a $latex QQ'$.


2. Si $latex H$ en la elipse es tal que $latex GH$ es paralela a $latex QQ'$, entonces $latex H = G'$.


3. Prueba la propiedad (ii) vista en clase usando el punto anterior, y mostrando que el punto medio de $latex GG'$ es igual a $latex M=\cos\phi(a\cos\theta,b\sen\theta)$.


4. Prueba la propiedad (iii) mostrando que $latex |PM||P'M| = \sen^2\phi |OP|^2$, y que $latex |GM|^2 = \sen^2\phi |OQ|^2$.


5. Muestra que el área del triángulo $latex QOP$ es $latex ab/2$. Concluye la propiedad (iv).

Problema 2

Muestra que

$latex \dfrac{d\theta}{dt} = \dfrac{x(dy/dt) - y(dx/dt)}{x^2+y^2}$.

Concluye la aceleración es radial si y solo si $latex x(dy/dt)$ y $latex y(dx/dt)$ difieren por una constante.

Problema 3

Sea $latex \vec r(t) = (t^2-t,t\sqrt{2t-t^2})$, $latex t\in[0,2]$.

1. Bosqueja la curva descrita por $latex \vec r(t)$.


2. Encuentra $latex r(t)$.


3. Encuentra $latex \vec u_r$ y $latex \vec u_\theta$ como funciones de $latex t$.


4. Encuentra $latex \dfrac{dr}{dt}$ y $latex \dfrac{d\theta}{dt}$. (Sugerencia: Usa el problema 2.)


5. Expresa la velocidad en términos de las coordenadas locales $latex \vec u_r, \vec u_\theta$.


6. Expresa la aceleración en términos de las coordenadas locales.