Tarea 16, Cálculo 4

Fecha de entrega: 30 de mayo

Problema 1

Encuentra todas las posibles expansiones de Laurent las siguientes funciones, centradas en el punto dado. Describe los anillos de convergencia de cada una.

1. $\displaystyle \frac{1}{z^2+z}$, alrededor de $z=1$


2. $\displaystyle e^{1/z^3}$, alrededor de $\infty$


3. $\displaystyle \frac{1}{(z-1)(z^3+z)}$, alrededor de $z=0$

Problema 2

Encuentra la descomposición en fracciones parciales de cada una de las siguientes funciones.

1. $\dfrac{1}{(z+1)(z^2+2z+2)}$


2. $\dfrac{z^9+1}{z^6-1}$


3. $\dfrac{1}{(z^2+1)^2}$

Problema 3

Evalúa las siguientes integrales.

1. $\displaystyle \oint_{|z|=2} \frac{e^z}{z^2-1}dz$


2. $\displaystyle \oint_{|z-1|=1} \frac{1}{z^8-1}dz$

Problema 4

Utiliza la teoría del residuo de verificar las siguientes integrales.

1. $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{x}{(x^2+2x+2)(x^2+4)} dx = -\frac{\pi}{10}$


2. $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{x^3-1} dx = \frac{4\pi^2}{27}$


3. $\displaystyle \PV \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(x^2+1)(x-a)} dx = -\frac{\pi a}{a^2+1}, \qquad -\infty < a < \infty$