Ricardo A. Sáenz

Terry Tao publicó en su blog, con motivo de su curso Teoría de la medida , una colección de estrategias para resolver problemas de teoría de la medida. Algunas de estas estrategias las hemos visto, y usado, en nuestra clase. Les recomiendo la lectura de esta colección, que incluye una discusión de situaciones generales donde pueden aplicarlas.

Los siguientes problemas corresponden a integración de funciones en $latex L^+$, en un espacio de medida $latex (X,\mathscr A,\mu)$. Problema 1. Sea $latex \phi\in L^+$ simple. Entonces, la función $latex \displaystyle A \mapsto \int_A \phi = \int \phi\cdot \chi_A,$ definida para $latex A\in\mathscr A$, es una medida. Problema 2. Generaliza el problema anterior a cualquier función $latex f\in L^+$. Problema 3. Encuentra una sucesión $latex \phi_n\in L^+$ tal que converge a $latex 0$ punto por punto, pero la sucesión de integrales $latex \displaystyle \int \phi_n$ no es acotada. Problema 4. Muestra que el Lema de Fatou implica el Teorema de Convergencia Monótona. Problema 5. Sea $latex f\in L^+$ tal que $latex \displaystyle \int f < \infty$. Entonces El conjunto $latex \{ x: f(x) = \infty\}$ es de medida cero. El conjunto $latex \{x : f(x) > 0\}$ es $latex \sigma$-finito. Problema 6. Sea $latex (f_n)$ tal que $latex f_n\to f$ y $latex \displaystyle \int f_n \to \int f ...

Sobre funciones medibles. Discutiremos la solución de estos problemas en la próxima clase, antes de iniciar el estudio de la integral de Lebesgue. Problema 1. Sea $latex (f_n)$ una sucesión de funciones medibles en $latex X$. Entonces, el conjunto $latex \{ x\in X: \lim f_n(x) \text{ existe} \}$ es medible. Problema 2. Si $latex f: X\to \overline\R$ es tal que $latex f^{-1}\big((r,\infty]\big)\in\mathscr A$ para cada $latex r\in\Q$, entonces $latex f$ es medible. Problema 3. Si $latex X = A\cup B$, con $latex A,B\in\mathscr A$, entonces una función $latex f$ en $latex X$ es medible si y solo si es medible en $latex A$ y en $latex B$ (vistos como subespacios de $latex X$). Problema 4. El supremo de un conjunto incontable de funciones medibles puede ser no medible. Problema 5. Si $latex f:\R\to\R$ es monótona, entonces es Borel medible.

Sobre medidas de Borel en $latex \R$. Problema 1. Sea $latex \mu$ una medida de Borel y $latex \mu(E) < \infty$. Entonces, para cada $latex \e>0$, existe una unión finita de intervalos abiertos $latex U$ tal que $latex \mu(E\triangle U) < \e$. Problema 2. Sea $latex F$ creciente y continua por la derecha, y sea $latex \mu_F$ la medida de Borel inducida por $latex F$. Entonces $latex \mu\big(\{ a \}\big) = F(a) - F(a-)$; $latex \mu\big([a,b)\big) = F(b-) - F(a-)$; $latex \mu\big([a,b]\big) = F(b) - F(a-)$; y $latex \mu\big( (a,b) \big) = F(b-) - F(a)$. Para $latex x\in\R$, $latex F(x-)$ es el límite de $latex F$ por la izquierda en $latex x$. Problema 3. Considera el conjunto no-medible $latex N$ discutido en clase, y sea $latex E$ un conjunto Lebesgue-medible. Si $latex E\subset N$, entonces $latex m(E) = 0$. Si $latex m(E)>0$, entonces $latex E$ contiene un subconjunto no medible. ( Sugerencia: Considera el caso $latex E\subset[0,1]$ y las intersecciones $l...

Terry Tao dará este semestre el curso introductorio de teoría de la medida en UCLA y estará publicando las notas de su curso en su blog. Ya ha iniciado con el prólogo , donde discute sobre el problema de la medida y la relación con la integral. Desde luego, recomiendo esta notas como referencia adicional en nuestro curso de fractales (primera parte), además de alentarlos a resolver los ejercios propuestos: 245A, prologue: The problem of measure .

Aquí va una lista adicional de problemas sobre teoría de la medida. Problema 1. Si $latex \mu_1, \ldots, \mu_n$ son medidas en $latex (X,\mathscr A)$ y $latex a_1,\ldots, a_n$ son números positivos, entonces la función $latex \displaystyle \sum_{k=1}^n a_n \mu_n$ es una medida en $latex (X,\mathscr A)$. Problema 2. Si $latex (X,\mathscr A,\mu)$ es un espacio de medida y $latex (E_n)$ es una sucesión en $latex \mathscr A$, entonces $latex \mu(\liminf E_n) \le \liminf \mu(E_n)$; Si $latex \mu(\bigcup_n E_n) < \infty$, entonces $latex \mu(\limsup E_n) \ge \limsup \mu(E_n)$. Problema 3. Si $latex (X,\mathscr A,\mu)$ es un espacio de medida y, para $latex A\in\mathscr A$, definimos $latex \mu_A$ en $latex \mathscr A$ como $latex \mu_A(E) = \mu(E\cap A)$, entonces $latex \mu_A$ es una medida en $latex (X,\mathscr A)$. Problema 4. Si $latex (X,\mathscr A,\mu)$ es un espacio de medida y $latex \mu$ es $latex \sigma$-finita, entonces es semifinita. Problema 5. Si $latex \mu$ es la m...

Los siguientes ejercicios elaboran el concepto de $latex \sigma$-álgebra. Problema 1. Un álgebra $latex \mathscr A$ es una $latex \sigma$-álgebra si y solo si es cerrada bajo uniones disjuntas crecientes; es decir, si $latex E_n \in \mathscr A$ con $latex E_1 \subset E_2 \subset \ldots$, entonces $latex \bigcup_n E_n \in \mathscr A$. Problema 2. Sea $latex \mathscr A$ una $latex \sigma$-álgebra infinita. Entonces $latex \mathscr A$ contiene una sucesión infinita de conjuntos disjuntos; $latex \mathscr A$ es incontable. Problema 3. $latex \mathcal B_\R$ es generada por cada uno de las siguientes colecciones. Los intervalos abiertos $latex \mathcal E_1 = \{ (a,b): a < b, a,b\in\R \}$; Los intervalos cerrados $latex \mathcal E_2 = \{ [a,b]: a < b, a,b\in\R \}$; Los intervalos semiabiertos $latex \mathcal E_3 = \{ (a,b]: a < b, a,b\in\R \}$ y $latex \mathcal E_4 = \{ (a,b]: a < b, a,b\in\R \}$; Los rayos abiertos $latex \mathcal E_5 = \{ (a,\infty): a\in\R \}...

El seminario de Análisis en fractales se llevará a cabo en el salón B7 (ex-postdocs), a partir de las 3:00pm. Habrá café y galletas en mi oficina (B3) media hora antes de la clase (2:30pm).

Como tarea para esta semana, leer el primer capítulo del libro de Stein & Shakarchi, Real Analysis , sobre la medida de Lebesgue en $latex \R^n$ (el primer capítulo está disponible en la página del libro: Real Analysis ). Además, resolver los siguientes problemas. Problema 1. Sea $latex E \subset \R^n$ y $latex \mathcal O_n$ el conjunto $latex \mathcal O_n = \{ x: d(x,E) < 1/n \}.$ Si $latex E$ es compacto, entonces $latex m(E) = \lim_{n\to\infty} m(\mathcal O_n)$. Lo anterior puede ser falso si $latex E$ es solo acotado o solo cerrado. Problema 2. Da un ejemplo de un conjunto abierto $latex A\subset\R$ tal que la frontera de su cerradura tiene medida positiva. Problema 3. Sea $latex A\subset[0,1]$ el conjunto de números que no tienen el dígito 4 en su expansión decimal. Calcula $latex m(A)$. Problema 4 (Lema de Borel-Cantelli). Sea $latex \{E_n\}$ una colección contable de conjuntos medibles en $latex \R^n$ tales que $latex \displaystyle \sum_{n=1}^\infty m(E_n) < \i...

Las notas Some elementary aspects of Hausdorff measure and dimension , escritas por Stephen Semmes de la Universidad Rice, pueden ser útiles como referencia para la clase de Análisis en fractales.