Tarea 16, Cálculo 3

Fecha de entrega: 28 de noviembre

Problema 1

Verifica que

$Latex \displaystyle f(x,y,z,t) = \sin\big(k_1(u_1 x+u_2 y+u_3 z-ct)+k_2\big)$

satisface la ecuación de derivadas parciales

$Latex \displaystyle \square^2f=0$.

Problema 2

Muestra que si $Latex g$ es una función dos veces diferenciable, $Latex \vec u = (u_1,u_2,u_3)$ es un vector unitario, y si $Latex f(x,y,z,t) = g(u_1 x+u_2 y+u_3 z-ct)$, entonces

$Latex \displaystyle \square^2f=0$.

Problema 3

Sea $Latex \phi$ un campo escalar que depende solo de $Latex x, z$, y $Latex t$ y satisface la ecuación de d'Alembert:

$Latex \displaystyle \square^2 \phi =0$.

Muestra que $Latex \vec B=(0,-c^2\partial\phi/\partial t,0)$ y $Latex \vec E = (\partial\phi/\partial z,0,-\partial\phi/\partial z)$ satisfacen las ecuaciones de Maxwell en la ausencia de cualquier carga o corriente.

Problema 4

Sea

$Latex \displaystyle \Phi = \sin\Big(\frac{\sqrt{2}}{2}(x+z)-ct\Big)dzdxdt$.

Verifica que $Latex \Phi$ es cerrada y satisface

$Latex \displaystyle \epsilon\square^2\Phi=0$.

Encuentra los campos magnético y eléctrico asociados a este potencial.

Problema 5

Verifica que el d'Alemberciano es invariante bajo rotaciones espaciales.

Problema 6

Verifica que

$Latex x' = \beta(x-vt)$

$Latex y'=y$

$Latex z'=z$

$Latex t'=\beta\Big(t-\dfrac{v}{c^2}x\Big),$

es la única transformación lineal que satisface las cuatro condiciones siguientes:

1. El determinante es positivo.


2. Sus variables son tales que
   
   
   
   1. $Latex y$ y $Latex z$ permanecen invariantes, $Latex \displaystyle y'=y, z' = z, $
   
   
   2. $Latex x'$ y $Latex t'$ son independientes de $Latex y$ y $Latex z$.
   
   
   
   


3. Una partícula moviéndose con velocidad $Latex v$ en la posición positiva con respecto al eje $Latex x,$ según lo observado por un observador en reposo, aparece en reposo para el observador en movimiento. Esto implica que existe una constante $Latex \beta$ tal que $Latex x'=\beta(x-vt)$.


4. El d'Alemberciano de un campo escalar $Latex f$ con respecto a $Latex (x,y,z,t)$ es igual al d'Alemberciano de $Latex f$ con respecto a $Latex (x',y',z',t')$.