Tarea 11, Cálculo 3

Fecha de entrega: 24 de octubre

Problema 1

Usa diferenciación implícita para expresar $Latex dy / dx$ como función de $Latex x$ y $Latex y$.

1. $Latex x^2 y + x^3 y^4 =1$,


2. $Latex x e^y + y e^x = 2e$.

Problema 2

Encuentra $Latex \partial y /\partial x$ en el punto especificado, si existe.

1. $Latex x^3 + y^3 + z^3 = 10$ en $Latex (1,2,1)$,


2. $Latex (x^2 + y^2)/(y^2 + z^2) = 1$ en $Latex (-1,3,1)$,


3. $Latex \log(xyz) = 3$ en $Latex (e,e^2,1)$,


4. $Latex \sin x \cos y - \cos y\sin z = 0$ en $Latex (\pi,0,\pi/2)$.

Problema 3

Sean $Latex x, y, u, v$ tales que

$Latex \begin{array}{rcl} xy &=& 2e^{uv},\\x+y &=& e^{u+v}.\end{array}$

Encuentra $Latex \partial x/\partial u$ considerando $latex v$ constante en el punto $Latex (x,y,u,v) = (1,2,0,\log 3)$. Después, calcula $Latex \partial x/\partial u$ en el mismo punto tomando $latex y$ constante.

Problema 4

Sean $Latex x, y, r, \theta$ relacionados por

$Latex \begin{array}{rcl} x&=&r\cos\theta,\\y&=&r\sin\theta.\end{array}$

Probar que

$Latex \begin{array}{rcl}\partial r/\partial x &=&\cos\theta,\end{array} \qquad \begin{array}{rcl}\partial\theta/\partial x &=&-r^{-1}\sin\theta,\end{array}$

$Latex \begin{array}{rcl}\partial r/\partial y &=&\sin\theta,\end{array} \qquad \begin{array}{rcl}\partial\theta/\partial y &=&r^{-1}\cos\theta.\end{array}$.

Problema 5

Considera la transformación

$Latex \begin{array}{rcl} u&=&x^3-y,\\v&=&3x^3+2y.\end{array}$

Muestra que el jacobiano es cero sobre el eje $Latex y$. Muestra también que la transformación es invertible sobre el plano $Latex xy$.

Problema 6

Considera la transformación

$Latex \begin{array}{rcl} u&=&e^x\cos y,\\v&=&e^x\sin y.\end{array}$

Prueba que el jacobiano es distinto de cero y que la transformación es invertible en alguna vecindad de cada punto. Muestra que la transformación no es invertible en todo $Latex R^2$.

Problema 7

Encuentra y clasifica los puntos estacionarios de cada una de las siguientes funciones

1. $Latex f(x,y) = x^2-2xy-y^2+4x-2y$,


2. $Latex f(x,y) = \sin x\cos y$,


3. $Latex f(x,y) = (x^2-y^2)/e^{-(x^2+y^2)}$.