Ricardo A. Sáenz

Para poder analizar las sumas de Cesàro, de Riesz y, en general, operadores de multiplicación de expansiones de Hermite especiales, tenemos que estudiar dos técnicas que son fundamentales en análisis armónico: integrales singulares y teoría de Littlewood-Paley. En el primer caso, no es suficiente con la teoría estándar de Calderón-Zygmund, sino que, debido a que las expansiones de Hermite especiales corresponden a la convolución torcida, necesitamos estudiar operadores de la forma $latex \displaystyle Tf(z) = \int_{\C^n} e^{\frac{i}{2}\Im z\cdot\bar w} K(z-w)f(w) dw, \qquad\qquad (1)$ donde el núcleo $latex K$ satisface hipótesis análogas a las de los núcleos estándar de Calderón-Zygmund, en particular, existe una constante $latex C>0$ tal que $latex |K(z)| \le C |z|^{-2n} \qquad \text{y} \qquad |\nabla K(z)| \le C |z|^{-2n-1}.$ La integral que define a $latex Tf$ se entiende como un límite de valor principal. Operadores de la forma (1) han sido estudiados extensamente (por ejemplo,...

La convergencia de una serie $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n$ se define en términos de la convergencia de la sucesión de sumas parciales $latex \displaystyle s_n = \sum_{k=0}^n a_k.$ Sin embargo, el de las sumas parciales no es el único método de sumabilidad de una serie. Los siguientes problemas elaboran sobre la sumabilidad de Cesàro.

Aquí les paso una lista de problemas sobre espacios $latex L^p$ que seguimos estudiando en clase. Los últimos dos problemas incluyen algunos puntos que quedaron pendientes en clase. Problema 1. Si $latex 1\le p<r\le\infty$, entonces $latex L^p\cap L^r$ es un espacio de Banach con norma $latex ||f|| = ||f||_p + ||f||_r$ y, si $latex p<q<r,$ la inclusión $latex L^p\cap L^r \to L^q$ es continua. Problema 2. Si $latex 1\le p<r\le\infty$, entonces $latex L^p + L^r$ es un espacio de Banach con norma $latex ||f|| = \inf\{||g||_p + ||h||_r: f = g+h \}$ y, si $latex p<q<r,$ la inclusión $latex L^q \to L^p\cap L^r$ es continua. Problema 3. Sean $latex 0 < p_0 < p_1 \le \infty$. Encuentra ejemplos de funciones $latex f$ en $latex (0,\infty)$ (con medida de Lebesgue), tales que $latex f\in L^p$ si y solo si $latex p_0 < p < p_1$; $latex f\in L^p$ si y solo si $latex p_0 \le p \le p_1$; y $latex f\in L^p$ si y solo si $latex p < p_0$. ( Sugerencia: Cons...

Problema 1: Los polinomios de Tchebichev de segundo tipo están definidos por $latex \displaystyle U_n(x) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}, \quad x=\cos\theta, \quad n\geqslant 0.$ Mostrar que $latex U_n(x)$ es un polinomio de grado $latex n$, y que $latex \displaystyle \int_{-1}^{1} U_n(x)U_m(x)(1-x^2)^{1/2}dx = \frac{\pi}{2}\delta_{n,m}.$ Problema 2: Sea $latex \mathcal{L}[x^n]=a^n, (n\geqslant0, a\in\mathbb C)$. Probar que no existe una SPO para $latex \mathcal{L}$. Problema 3: Sea $latex P_n(x)=x^n, (n\geqslant0)$. Mostrar que $latex \{P_n\}_{n\ge 0}$ no es una SPO. Problema 4: Sea $latex \mathcal{L}$ un funcional lineal asociado a $latex \{\mu_n\}_{n\ge 0}$, y sea $latex \tilde{\mathcal{L}}$ definido por  $latex \tilde{\mathcal{L}}[x^n]=\mathcal{L}[(ax+b)^n],$ con $latex a\neq0$, $latex n\geqslant0$. Si $latex \{P_n\}_{n\ge 0}$ es la SPO con respecto a $latex \mathcal{L}$, encontrar la SPO con respecto a $latex \tilde{\mathcal{L}}$.

Aquí va la primer lista de problemas del Seminario de análisis . Discutiremos algunos de ellos en clase. Problema 1: Sea $latex X$ un espacio de Banach y $latex T\in\mathcal L(X,X)$. Si $latex ||I - T|| < 1$, donde $latex I$ es el operador identidad, entonces $latex T$ es invertible y, además, la serie $latex \sum_0^\infty (I - T)^n$ converge a $latex T^{-1}$ en $latex \mathcal L(X,X).$ Si $latex T$ es invertible y $latex S\in\mathcal L(X,X)$ satisface $latex ||S - T|| < ||T^{-1}||^{-1},$ entonces $latex S$ es invertible. Notamos que (2) implica que el conjunto de operadores invertibles es abierto en $latex \mathcal L(X,X)$. Si $latex Y$ es un subespacio de $latex X$, el espacio cociente $latex X/Y$ se define como el espacio de las clases de equivalencia de la relación $latex x\sim y$ si, y solo si, $latex x - y\in Y,$ denotadas por $latex x + Y$, con operaciones $latex (x + Y) + (y + Y) = (x + y) + Y$, $latex \lambda (x + Y) = (\lambda x) + Y$. Problema 2: Sea $latex X$ un...