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Tarea 3, Cálculo 4

Fecha de entrega: 14 de febrero


Problema 1


Encuentra y dibuja en el plano los valores de $latex \log z$ paralos siguientes números complejos $latex z$:

  1. $latex 2$

  2. $latex i$

  3. $latex 1 + i$

  4. $latex \dfrac{1+i\sqrt 3}{2}$


Problema 2


Dibuja la imagen bajo la función $latex w = \Log z$ de cada una de las siguientes figuras:

  1. el semiplano derecho $latex \Re z>0$

  2. el semidisco $latex |z|<1, \Re z >0$

  3. el anillo cortado $latex \sqrt e <|z|<e^2, z\not\in(-e^2,-\sqrt e)$

  4. la recta vertical $latex x = e$


Problema 3


Encuentra y dibuja en el plano los siguientes números:

  1. $latex (1+i)^i$

  2. $latex (-1)^{1+i}$

  3. $latex 2^{-1/2}$

  4. $latex (1+i\sqrt 3)^{1-i}$


Problema 4


Muestra que $latex (zw)^\alpha = z^\alpha w^\alpha$, donde en la derecha tomamos todos los posibles productos.

Problema 5


Muestra que la función $latex \sqrt{z^2-1/z}$ puede ser definida continuamente afuera del círculo unitario. Dibuja las cortaduras de rama apropiadas, y describe su superficie de Riemann.

Problema 6


Muestra que $latex |\cos z|^2 = \cos^2x+\sinh^y$. Encuentra los ceros y los períodos de $latex \cos$.

Problema 7


Muestra que

$latex \displaystyle \tan^{-1}z = \frac{1}{2i}\log\Big(\frac{1+iz}{1-iz}\Big),$


donde interpretamos ambos lados de la identidad como subjuntos de $latex \C$.

Problema 8


Encuentra la derivada de las siguientes funciones:

  1. $latex (z^2-1)^n$

  2. $latex \dfrac{1}{1-z}$

  3. $latex \dfrac{az+b}{cz+d}$

  4. $latex \dfrac{z}{z^3-5}$

  5. $latex \dfrac{1}{(cz+d)^2}$

  6. $latex \tan z$

  7. $latex \tanh z$

  8. $latex \sec z$


Problema 9


Sea $latex f(z) = az^2+bz\bar z+c\bar z^2$, donde $latex a,b,c\in\C$. Utiliza la definición de la derivada para mostrar que $latex f$ es differenciable en $latex z$ si y solo si $latex bz+2c\bar z = 0$.

Problema 10


Muestra que si $latex f$ es analítica en un dominio $latex D$ y $latex |f|$ es constante, entonces $latex f$ es constante.

Problema 11


Deduce la forma polar de las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

$latex \displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta},\qquad \frac{\partial u}{\partial\theta}=-r\frac{\partial v}{\partial r}.$

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