Tarea 3, Cálculo 4

Fecha de entrega: 14 de febrero

Problema 1

Encuentra y dibuja en el plano los valores de $latex \log z$ paralos siguientes números complejos $latex z$:

1. $latex 2$


2. $latex i$


3. $latex 1 + i$


4. $latex \dfrac{1+i\sqrt 3}{2}$

Problema 2

Dibuja la imagen bajo la función $latex w = \Log z$ de cada una de las siguientes figuras:

1. el semiplano derecho $latex \Re z>0$


2. el semidisco $latex |z|<1, \Re z >0$


3. el anillo cortado $latex \sqrt e <|z|<e^2, z\not\in(-e^2,-\sqrt e)$


4. la recta vertical $latex x = e$

Problema 3

Encuentra y dibuja en el plano los siguientes números:

1. $latex (1+i)^i$


2. $latex (-1)^{1+i}$


3. $latex 2^{-1/2}$


4. $latex (1+i\sqrt 3)^{1-i}$

Problema 4

Muestra que $latex (zw)^\alpha = z^\alpha w^\alpha$, donde en la derecha tomamos todos los posibles productos.

Problema 5

Muestra que la función $latex \sqrt{z^2-1/z}$ puede ser definida continuamente afuera del círculo unitario. Dibuja las cortaduras de rama apropiadas, y describe su superficie de Riemann.

Problema 6

Muestra que $latex |\cos z|^2 = \cos^2x+\sinh^y$. Encuentra los ceros y los períodos de $latex \cos$.

Problema 7

Muestra que

$latex \displaystyle \tan^{-1}z = \frac{1}{2i}\log\Big(\frac{1+iz}{1-iz}\Big),$

donde interpretamos ambos lados de la identidad como subjuntos de $latex \C$.

Problema 8

Encuentra la derivada de las siguientes funciones:

1. $latex (z^2-1)^n$


2. $latex \dfrac{1}{1-z}$


3. $latex \dfrac{az+b}{cz+d}$


4. $latex \dfrac{z}{z^3-5}$


5. $latex \dfrac{1}{(cz+d)^2}$


6. $latex \tan z$


7. $latex \tanh z$


8. $latex \sec z$

Problema 9

Sea $latex f(z) = az^2+bz\bar z+c\bar z^2$, donde $latex a,b,c\in\C$. Utiliza la definición de la derivada para mostrar que $latex f$ es differenciable en $latex z$ si y solo si $latex bz+2c\bar z = 0$.

Problema 10

Muestra que si $latex f$ es analítica en un dominio $latex D$ y $latex |f|$ es constante, entonces $latex f$ es constante.

Problema 11

Deduce la forma polar de las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

$latex \displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta},\qquad \frac{\partial u}{\partial\theta}=-r\frac{\partial v}{\partial r}.$