Tarea 4, Cálculo 3

Fecha de entrega: 5 de septiembre

Problema 1

Evalúa la forma diferencial $latex 4dx - 2dy + 3dz$ en cada uno de los segmentos definidos por las siguientes parejas de vectores.

1. $latex (-1, 2, 5), (-3, 3, 2)$


2. $latex (2,0,1), (-1,0,2)$


3. $latex (0,5,3), (-3,3,2)$

Problema 2

Evalúa la forma $latex ydx + zdy + xdz$ en cada uno de los segmentos del problema anterior.

Problema 3

Muestra que el campo gravitacional generado por un cuerpo de masa $latex M$ en el origen está dado por

$latex -GM \Big( \dfrac{x}{r^3}dx + \dfrac{y}{r^3}dy + \dfrac{z}{r^3}dz\Big)$,

donde $latex r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. (Nota que no está definido en el origen.) Además, muestra que el trabajo realizado por este campo al mover una partícula de $latex \vec a$ a $latex \vec b$ depende solo en $latex |\vec a|$ y $latex |\vec b|$.

Problema 4

Calcula el flujo del fluido con velocidad $latex \vec v=(x+y,xy)$ en el plano a través de los segmentos definidos por los siguientes pares de vectores.

1. $latex (2,2), (3,5)$


2. $latex (2,2), (3,2)$


3. $latex (-2,1), (4,-1)$

Problema 5

Calcula el pullback de la forma $latex 2dydz + 3dzdx - 2dxdy$ con respecto a los siguientes triángulos.

1. $latex [(-2,0,6), (2,1,5), (0,1,-3)]$


2. $latex [(1,-3,2), (2,1,1), (0,-7,5)]$

Problema 6

Encuentra el flujo del fluido con velocidad constante $latex \vec v =(3,0,-1)$ a través de los siguientes triángulos.

1. $latex [(-2,1,0),(5,3,-1), (8,-5,2)]$


2. $latex [(0,0,0), (0,1,0), (1,0,0)]$


3. $latex [(0,0,0), (1,0,0), (0,0,1)]$

Problema 7

Muestra que el plano que contiene al triángulo $latex T = [(0,1,-2), (3,1,0), (-2,2,1)]$ está dado por la ecuación

$latex 2x + 13y - 3z = 19$.

Resuelve para $latex z$, y escribe la forma

$latex 2dydz - dzdx + 3dxdy$

en términos de solo $latex dxdy$.