Tarea 11, Cálculo 4

Fecha de entrega: 4 de abril.

Problema 1

Encuentra los ceros y sus órdenes en las siguientes funciones:

• $latex \dfrac{z^2+1}{z^2-1}$


• $latex \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^5}$


• $latex \dfrac{\cos{z}-1}{z}$


• $latex \cos{z}-1$

Problema 2

De las funciones del ejercicio anterior determina cuáles son analíticas en $latex \infty$, y determina el orden de todos los ceros en $latex \infty$.

Problema 3

Muestra que los ceros de $latex \tan{z}$ son todos simples.

Problema 4

Encuentra todas las posibles expansiones de Laurent centradas en $latex 0$ de las siguientes funciones:

• $latex \dfrac{1}{z^2-z}$


• $latex \dfrac{z-1}{z+1}$


• $latex \dfrac{1}{(z^2-1)(z^2-4)}$

Problema 5

Para cada una de las funciones en el ejercicio anterior, encuentra la expansión de Laurent centrada en $latex z=-1$ que converge en $latex z=\frac{1}{2}$. Determina el mayor conjunto abierto en el cual cada serie converge.