Tarea 13, Cálculo 3

Fecha de entrega: 7 de noviembre

Problema 1

Determina cuáles de las siguientes formas son cerradas:

1. $Latex (2xy+y^2)dx+(2xy+x^2)dy$,


2. $Latex y^2dx+(2xy+z^2)dy+2yzdz$,


3. $Latex (xdx+ydy+zdz)/(x^2+y^2+z^2)$.

Problema 2

Determina cuáles de las 1-formas del problema anterior son exactas. Para aquellas que lo son, encuentra un campo escalar del cual la forma es el diferencial. Si la forma no es exacta, encuentra dos trayectorias con los mismos extremos donde las integrales de línea sean diferentes.

Problema 3

Usa el teorema de Green para evaluar

$Latex \displaystyle \oint_C x^3ydx+xydy,$

donde $Latex C$ es el cuadrado con vertices en $Latex (0,0), (2,0), (2,2), (0,2)$.

Problema 4

Usa el teorema de Green para evaluar

$Latex \displaystyle \oint_C ydx+x^2dy,$

donde $Latex C$ es la parabola $Latex y=x^2$ de $Latex (-1,1)$ a $Latex (1,1)$ junto con la recta de $Latex (1,1)$ a $Latex (-1,1)$.

Problema 5

Si un fluido tiene vector de velocidad $Latex (3x^2-y^2,x^2+3y^2)$ en el punto $Latex (x,y)$, encuentra la razón en la cual el fluido fluye hacia afuera del rectángulo con vértices en $Latex (1,0), (3,0), (3,2), (1,2)$.

Problema 6

Usa el teorema de Gauss para evaluar

$Latex \displaystyle \int_S x^2ydydz + 3y^2dzdx-2xz^2dxdy$,

donde $Latex S$ es la superficie el cubo unitario

$Latex \displaystyle 0\le x\le 1,\quad 0\le y\le 1,\quad 0\le z\le 1$,

y la dirección positiva es la normal exterior.