Ricardo A. Sáenz

Fecha de entrega: 29 de mayo Problema 1 Sea $latex V$ un espacio vectorial de dimensión $latex n$, $latex u\in V$ y $latex W = \{u\}^\perp$. Muestra que, si $latex \{u_1, \ldots, u_{n-1} \}$ y $latex \{v_1, \ldots, v_{n-1} \}$ son dos bases de $latex W$ tales que $latex [u, u_1, \ldots, u_{n-1} ] = [ u, v_1, \ldots, v_{n-1} ]$, entonces $latex [u_1, \ldots, u_{n-1} ] = [ v_1, \ldots, v_{n-1} ]$. ( Sugerencia: Escribe cada $latex v_i$ en la base $latex \{u_j\}$ y muestra que el determinante de la matriz de cambio de base es positivo.) Problema 2 Sea $latex M^{n-1}\subset\R^n$ una variedad diferenciable con orientación $latex \mu$. Para cada $latex p\in M$, definimos el vector normal $latex \nu_p\in(M_p)^\perp\subset\R^n$ como el vector unitario tal que $latex [\nu_p, (v_1)_p, \ldots, (v_{n-1})_p]$ es la orientación estándar de $latex \R^n$, para cualquier base $latex \{(v_1)_p, \ldots, (v_{n-1})_p\}$ de $latex M_p$ tal que $latex [(v_1)_p, \ldots, (v_{n-1})_p] = \mu_p$. Muestra que el

Fecha de entrega: 22 de mayo Problema 1 Describe el espacio tangente del cilindro $latex C = \{(x,y,z)\in\R^3: x^2 + y^2 = 1, 0\le z\le 1\}$ en un punto $latex p = (\cos\theta, \sen\theta, z_0)$, $latex \theta\in[0,2\pi), z_0\in[0,1]$. Problema 2 Verifica que las siguientes funciones en $latex C$ son campos vectoriales del cilindro. $latex \displaystyle F(x,y,z) = \begin{pmatrix} y \\ -x \\ 0 \end{pmatrix}_{(x,y,z)}$ $latex \displaystyle F(x,y,z) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}_{(x,y,z)}$ $latex \displaystyle F(x,y,z) = \begin{pmatrix} yz \\ -xz \\ z^2 \end{pmatrix}_{(x,y,z)}$ $latex \displaystyle F(x,y,z) = \begin{pmatrix} xy - yz \\ xz - x^2 \\ yz - z^2 \end{pmatrix}_{(x,y,z)}$ Problema 3 Considera la 1-forma en el cilindro $latex \omega(p) = z_0\cos^2\theta dx - \cos\theta\sen\theta dy + z_0\sen2\theta dz,$ para $latex p = (\cos\theta, \sen\theta, z_0)$, $latex \theta\in[0,2\pi), z_0\in[0,1]$. Utiliza un sistema de coordenadas apropiado para calcular $latex d\ome

Fecha de entrega: 15 de mayo Problema 1 Demuestra que un subespacio de dimensión $latex k$ de $latex \R^n$ es una variedad diferenciable de dimensión $latex k$. Problema 2 Sea $latex g:\R^2\to\R$ dada por $latex g(x,y) = x^2 - y^2$. Explica por qué el conjunto $latex g^{-1}(\{0\})$ no es una variedad diferenciable en dimensión 1 en $latex \R^2$. Problema 3 Sea $latex A\subset\R^n$ un conjunto abierto y $latex g:A\to\R$ continuamente diferenciable tal que $latex g'(x)\not=0$ para $latex x\in A$. Si $latex M = g^{-1}(\{0\})\not=\emptyset$, muestra que el espacio tangente en $latex x\in M$ es igual a $latex \{v_x\in\R^n_x: v \cdot \grad g(x) = 0 \}$. Es decir, $latex M_x$ es el hiperplano en $latex \R^n_x$ ortogonal a $latex \grad g(x)$, el gradiente de $latex g$ en $latex x$. Problema 4 Sea $latex f:\R^n\to\R^m$ y considera su gráfica $latex G = \{(x,y)\in\R^{n+m}: y = f(x)\}$. Muestra que $latex G$ es una variedad diferenciable de dimensión $latex n$ si, y solo si, $latex f$ es de

Fecha de entrega: 8 de mayo Problema 1 Muestra que el anillo $latex \mathbb A = \{(x,y)\in\R^2: 1\le x^2 + y^2 \le 2\}$ es un 2-cubo. Calcula $latex \partial\mathbb A$. Problema 2 Muestra que un conjunto abierto simplemente conexo es conexo. Problema 3 Sea $latex \w$ la 1-forma en $latex \R^2\setminus\{0\}$ dada por $latex \displaystyle \w = - \frac{y}{x^2 + y^2} dx + \frac{x}{x^2 + y^2} dy$. Muestra que, si $latex n\in\Z$ y $latex s_{R,n} (t) = (R \cos 2\pi nt, R \sen2\pi nt)$, entonces $latex \displaystyle \int_{s_{R,n}} \w = 2\pi n.$ Problema 4 Sea $latex \w = yzdx + xzdy + xydz$. Calcula $latex \displaystyle\int_c \w$ para las siguientes curvas. $latex c(t) = (\cos 2\pi t, \sen 2\pi t, \sen \pi t)$; $latex c(t) = (t, t^2, t^3)$; $latex c(t) = (t, 2t^2 - t, t)$. Problema 5 Sea $latex \w = x dy\wedge dz + y dz\wedge dx + zdx\wedge dy$ y $latex S$ la superficie dada por la gráfica de la función $latex f(x,y) = x^2 + y^2$ en $latex [-1,1]\times[-1,1]$. Calcula $latex \displaystyl