Tarea 6, Cálculo 4

Fecha de entrega: 7 de marzo.

Problema 1

Para cada una de las funciones armónicas $latex u$ encuentra $latex du, dv$ y $latex v$, la armónica conjugada de $latex u$.

• $latex u(x,y) = x-y$


• $latex u(x,y) = x^3-3xy^2$


• $latex u(x,y) = \sinh x\cos y$


• $latex u(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2}$

Problema 2

Sea $latex D =\{a<|z|<b\}\setminus(-b,-a)$, un anillo ranurado a lo largo del eje real negativo. Mostrar que cualquier función armónica en $latex D$ tiene una armónica conjugada en $latex D$.

Sugerencia: Fija $latex c$ entre $latex a$ y $latex b$, y define $latex v(z)$ explícitamente como una integral de línea a lo largo de la curva que consiste de la línea recta de $latex c$ a $latex |z|$ seguida del arco circular formado de $latex |z|$ a $latex z$. O mapea el anillo ranurado  a un rectángulo por $latex w = \Log z$.

Problema 3

Sea $latex f(z)$ una función continua en un dominio $latex D$. Mostrar que si $latex f(z)$ tiene la propiedad del valor medio con respecto a círculos, entonces $latex f(z)$ tiene la propiedad del valor medio con respecto a discos, esto es, si $latex z_0 \in D$ y $latex D_0$ es un disco centrado en $latex z_0$ con área $latex A$ y contenido en $latex D$, entonces $latex f(z_0)=\frac{1}{A}\iint_{D_0}f(z)dxdy$.

Problema 4

Usa el principio del máximo para mostrar el teorema fundamental del álgebra, esto es, que cualquier polinomio $latex p(z)$ de grado $latex n\ge 1$ tiene un zero. Aplicando el principio del máximo a $latex 1/p(z)$ en un disco de radio suficientemente grande.