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Mostrando las entradas de septiembre, 2014

Tarea 31, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Examinando el discriminante, determina la existencia y cantidad de raíces reales a los siguientes polinomios. $Latex 2x^2-8x+8$ $Latex x^2-3x+2$ $Latex x^2-4x+5$ $Latex 9x^2+6x+1$ $Latex x^2+6x+13$ $Latex x^2-9$ Problema 2 Encuentra el punto máximo o mínimo de cada uno de los polinomios anteriores. Problema 3 Utilizando los resultados obtenidos en los problemas anteriores haz un bosquejo de cada uno de polinomios del problema 1. Indica el valor donde se alcanza el máximo o mínimo e indica también las raíces de cada polinomio.

Tarea 30, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Encuentra las soluciones racionales a los siguientes polinomios.  $Latex 5x^3-3x^2-7x-2$ $Latex 14x^4-37x^3+19x^2-37x+5$ $Latex 15x^4-3x^3-8x^2+6x-4$ Problema 2 Demuestra que $Latex 3x^n = 91$ no tiene raíces racionales para ningún $Latex n>1$. Problema 3 Demuestra utilizando el criterio de Eisenstein que los siguientes polinomios son irreducibles. $Latex x^3-3x-1$ $Latex x^3+x^2-2x-1$ $Latex x^4-42x^2+21x+56$

Tarea 8, Cálculo 3

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Muestra que $latex \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} = 0$ mostrando que, dado $latex \e>0$, existe $latex \delta>0$ tal que si $latex |(x,y)-(1,0)| = \sqrt{(x-1)^2+y^2}<\delta$ entonces $latex \Big|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\Big| < \e$. Sigue los siguientes pasos. Muestra que $latex |(x,y)-(1,0)|<\delta$ implica que $latex -\delta<y<\delta$ y $latex 1-\delta<x<1+\delta$. De las desigualdades anteriores, concluye que, si $latex 0<\delta<1$, entonces $latex \Big|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\Big|<\dfrac{\delta(1+\delta)}{(1-\delta)^2}.$ Utiliza el punto anterior para encontrar $latex \delta$ en función de $latex \e$. Problema 2 Extiende la función $latex f(x,y) = \dfrac{\sen(x^2+y^2)}{x^2+y^2}, \; (x,y)\not=(0,0)$, al punto $latex (0,0)$ de tal manera que sea continua en ese punto. Problema 3 Averigua si las siguientes funciones son continuas en $latex (0,0)$. $latex f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2-y

Tarea 29, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 3 de octubre Problema 1 Considera los polinomios $latex f = x^3-x+1, \quad g = x^4-x^3+2x^2+2x-3, \quad h = 2x^4-x^2+1.$ Calcula los siguientes polinomios. $latex f + g$ $latex x^2f - xg$ $latex fg$ $latex g + 2h$ $latex h - 2g$ $latex fh$ $latex f(2g-h)$ $latex gh$ $latex 4g + 3h$ $latex 2x^3g - fh$ Problema 2 Sean $latex f, g, h$ los polinomios del problema anterior. Calcula polinomios $latex q_1, r_1$ tales que $latex g = q_1f+r_1$ y el grado de $latex r_1$ es menor que el grado de $latex f$. Calcula polinomios $latex q_2, r_2$ tales que $latex h = q_2f+r_2$ y el grado de $latex r_2$ es menor que el grado de $latex f$. Problema 3 Calcula el máximo común divisor de las siguientes parejas de polinomios. $latex x^3 + 2x^2 - 4x - 3,\; 2x^4+5x^3-3x^2-3x-9$ $latex x^4-x^3+x^2-2x-2, \; x^5-2x^4+2x^3-7x^2-6$

Tarea 28, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Averigua si las siguientes matrices son invertibles, y en tal caso calcula su inversa. $latex \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-6&9\\4&-6\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}-2&4\\2&0\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}1&-1&0\\2&3&-1\\-1&6&5\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&2&0\\-1&-1&-1\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}2&1&2\\1&0&-1\\-1&-1&-3\end{pmatrix}$

Tarea 27, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Considera las siguientes matrices: $latex \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&0&2\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2&2&1\\0&1&-2\end{pmatrix},\; C=\begin{pmatrix}0&1&1\\2&-1&3\\3&1&0\end{pmatrix},\; D=\begin{pmatrix}1&-1\\2&-3\\1&1\end{pmatrix}.$ Calcula $latex A+B$ $latex 2A-B$ $latex AC$ $latex AD$ $latex BC$ $latex BD$ $latex C^2$ $latex CD$ $latex DA$ $latex DB$

Tarea 26, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex \begin{array}{rcl}2x-2y+z&=&2\\x-y-z&=&-1\\-3x+6y-z&=&6\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}3x+3y-z&=&1\\2x+y+z&=&0\\x-y+3z&=&1\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x-3y&=&1\\3x-y&=&2\\x-5y&=&0\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}x+y+z &=& 2\\x-y-2z&=&-3\end{array}$ $latex \begin{array}{rcl}2x+4y-z&=&-1\\x+y+z&=&0\\-x-y+z&=&3\end{array}$

Tarea 7, Cálculo 3

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Averigua cuáles de las siguientes transformaciones del plano son lineales. En tal caso, calcula su matriz y su determinante. Cizalla: $latex (x,y) \mapsto (x+cy, y)$, para alguna constante $latex c$ Traslación: $latex (x,y)\mapsto (x+a,y+b)$, para $latex a,b$ constantes Explosión: $latex (x,y) \mapsto (ax,by)$, para $latex a,b$ constantes Rotación: si $latex x=r\cos\theta$ y $latex y=r\sen\theta$, entonces $latex (x,y)\mapsto (r\cos(\theta+\varphi),r\sen(\theta+\varphi))$, para alguna constante $latex \varphi$ Proyección: dado un vector fijo $latex \vec r=(a,b)$, $latex \vec x \mapsto \vec x_r = \dfrac{\vec x\cdot\vec r}{r^2}\vec r$ Reflexión: dado un vector fijo $latex \vec r=(a,b)$, $latex \vec x\mapsto \vec x - 2\vec x_{r\perp} = 2\vec x_r - \vec x$ Problema 2 Calcula el determinante de las siguientes matrices. $latex \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}$ $latex \begin{pmatrix}1&1&am

Tarea 25, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 26 de septiembre Problema 1 Para las siguientes ecuaciones, haz un bosquejo de la recta y encuentra su pendiente. $latex 2x -3y + 1 = 0$ $latex 2x=2$ $latex 2x + 4y = 1$ Problema 2 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. $latex 2x+y=1\quad 3x-y=1$ $latex -x-2y=2\quad 3x+6y=6$ $latex 2x-6y=0\quad 3x-2y=1$ $latex -5x+2y=-2\quad 8x-y=1$ $latex 2x+y=4\quad-4x-2y=-8$

Tarea 21, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 19 de septiembre Problema 1 Escribe los siguientes números complejos en forma polar. $latex z = 2-2i$ $latex z = -3\sqrt 3 + 3i$ $latex z = -4-4i$ $latex z = 4 + 4\sqrt 3 i$ $latex z = -2-2i$ Problema 2 Escribe los siguientes números complejos en forma cartesiana. $latex z = 4e^{i\pi/2}$ $latex z = 2e^{2i\pi/3}$ $latex z = e^{7i\pi/4}$ $latex z = 6e^{-5i\pi/3}$ $latex z = 3e^{-9i\pi/4}$

Tarea 6, Cálculo 3

Fecha de entrega: 19 de septiembre Problema 1 Calcula la integral $latex \displaystyle \int_T (y-1)dydz + (y+z)dzdx - xdxdy$, donde $latex T=[(1,0,-2), (-1,2,0),(1,1,2)]$. Problema 2 Encuentra el área, la masa y el centro de masa de la región elíptica $latex x^2+4y^2\le 4$ con densidad $latex \rho(x,y) = x^2+y^2$. Problema 3 Encuentra la masa del sólido descrito por $latex x\ge 0, \quad y\ge 0, \quad z\ge 0, \quad z^2\le 4x, \quad x^2+y^2\le 16,$ cuya densidad está dada por $latex \rho(x,y,z) = xyz^3$. Problema 4 Encuentra el centro de masa del sólido de densidad constante igual a 1 descrito por $latex x\ge 0, \quad y \ge 0, \quad x+y\le 2, \quad 0\le z\le 1+x+2y.$

Tarea 20, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Dibuja en el plano complejo los números $latex z, w, z+w, z-w $ y $latex zw $ para los siguientes números complejos. $latex z=2+3i, w=1-i $ $latex z=1+i, w=1-i $ $latex z=2+2i, w=1-2i $ $latex z=-3-2i, w=-3+4i $ $latex z=5i, w=1-2i $ Problema 2 Calcula $latex |z|, |w|, |z+w|$ y $latex |zw|$ para los números del problema anterior. En cada caso, verifica que $latex |z+w| \le |z| + |w|$ y que $latex |zw| = |z| |w|$. Problema 3 Sean $latex z, w\in\C $. Demuestra que $latex |z+w|^2 + |z-w|^2 = 2|z|^2 + 2|w|^2$.

Tarea 19, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Calcula las siguientes operaciones con números complejos. $latex (2-i) + (3-2i)$ $latex (2-i)(3-2i)$ $latex (5-4i)(5+4i)$ $latex (2-3i)(2-i)$ $latex (1+i)^2$ $latex \dfrac{(1+i)(2+i)}{1+2i}$ $latex \dfrac{3+i}{3-2i}$ $latex 2+i +\dfrac{2-i}{(3-i)(2+i)}$ $latex 4i(1-3i) - 2\dfrac{1+i}{1-i}$ $latex \dfrac{3-i}{2-i} + \dfrac{3+i}{2+i}$

Tarea 18, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Indica si los siguientes conjuntos son acotados por arriba o por abajo y, en tal caso, indica su supremo y/o ínfimo. $latex \Big\{\dfrac{1}{n}: n\in\N\Big\}$ $latex \Big\{\dfrac{(-1)^n}{n}:n\in\N\Big\}$ $latex \{x\in\Z: x^2 < 5 \}$ $latex \{x\in\Q: x^2-x<2\}$ $latex \{x\in\R: |x^2-5| \ge 1\}$ Problema 2 Sea $latex f:[0,1]\to[0,1]$ una función continua. Utiliza el teorema del valor intermedio para mostrar que existe $latex x\in[0,1]$ tal que $latex f(x)=x$.

Tarea 5, Cálculo 3

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Integra la forma $latex xy^2dx+ ydy$ sobre cada una de las siguientes trayectorias de $latex (0,0)$ a $latex (1,1)$. Los segmentos de $latex (0,0)$ a $latex (0,1)$ a $latex (1,1)$ La curva $latex y = x^2$ La curva $latex x = y^2$ Problema 2 Integra la forma $latex yzdx + zxdy + xydz$ sobre cada una de las siguientes trayectorias de $latex (0,1,0)$ a $latex (2,1,1)$. El segmento Los segmentos de $latex (0,1,0)$ a $latex (0,1,1)$ a $latex (2,1,1)$ El arco $latex (2t, (2t-1)^2,t),\quad 0\le t\le 1$ Problema 3 Evalúa la integral $latex \displaystyle \int_\gamma (x^2-2xy+y^2)ds,$ donde $latex \gamma = \{(2\cos t, 2\sen t): 0\le t\le \pi\}$. Problema 4 Evalúa las siguientes integrales. $latex \displaystyle \int_R (x^2+y^2)dxdy, \quad R=\{(x,y)|1\le x\le 2, -1\le y\le 1\}$ $latex \displaystyle \int_R x\sen y dxdy, \quad R=\{(x,y)|0\le x\le 1, x^2\le y\le 2x^2\}$ $latex \displaystyle \int_R xydxdy, \quad R$ el triángulo con vértic

Tarea 17, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 12 de septiembre Problema 1 Muestra que $latex \sqrt 3$ es irracional. Problema 2 Muestra que, si $latex d\in\Z_+$ y $latex \sqrt d$ es racional, entonces cada factor primo de $latex d$ aparece un número par de veces en su factorización prima y, por lo tanto, $latex d$ es un cuadrado. Problema 3 Encuentra dos números irracionales tales que su suma es un número racional. Encuentra dos números irracionales tales que su multiplicación es un número racional.

Tarea 16, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Muestra que, si $latex n$ no es primo, entonces $latex (\Z_n, +,\times)$ no es un campo. Problema 2 Muestra que, si $latex p$ es primo, entonces $latex \displaystyle p\Big|\binom{p}{k}$ para $latex 0<k<p$. ( Sugerencia: Utiliza la fórmula $latex \displaystyle \binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!}$.) Problema 3 Utiliza el problema anterior para mostrar que, en el campo $latex \mathbb F_p,$ $latex (a+b)^p = a^p + b^p$.

Tarea 15, Fundamentos de matemáticas

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Ordena los siguientes números racionales de menor a mayor: $latex \dfrac{2}{4}, \;\dfrac{-2}{-7}, \;\dfrac{5}{-2}, \;\dfrac{13}{-11}, \;\dfrac{1}{4}, \;\dfrac{44}{-60}, \;\dfrac{4}{5}, \;\dfrac{5}{4}, \;\dfrac{-23}{11}, \;\dfrac{5}{-5}$. Problema 2 Demuestra que, si $latex \dfrac{p}{q} = \dfrac{m}{n}$ y $latex q\not=-n$, entonces $latex \dfrac{p+m}{q+n} = \dfrac{p}{q}$. Problema 3 Indica si las siguientes relaciones son relaciones de equivalencia. En $latex \Z$, $latex m\sim n$ si $latex m+n$ es múltiplo de $latex 10$. Entre los países del planeta, $latex X\sim Y$ si su nombre tiene el mismo número de letras. Entre los países del planeta, $latex X\sim Y$ si en $latex X$ y en $latex Y$ se habla el mismo idioma.

Tarea 4, Cálculo 3

Fecha de entrega: 5 de septiembre Problema 1 Evalúa la forma diferencial $latex 4dx - 2dy + 3dz$ en cada uno de los segmentos definidos por las siguientes parejas de vectores. $latex (-1, 2, 5), (-3, 3, 2)$ $latex (2,0,1), (-1,0,2)$ $latex (0,5,3), (-3,3,2)$ Problema 2 Evalúa la forma $latex ydx + zdy + xdz$ en cada uno de los segmentos del problema anterior. Problema 3 Muestra que el campo gravitacional generado por un cuerpo de masa $latex M$ en el origen está dado por $latex -GM \Big( \dfrac{x}{r^3}dx + \dfrac{y}{r^3}dy + \dfrac{z}{r^3}dz\Big)$, donde $latex r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. (Nota que no está definido en el origen.) Además, muestra que el trabajo realizado por este campo al mover una partícula de $latex \vec a$ a $latex \vec b$ depende solo en $latex |\vec a|$ y $latex |\vec b|$. Problema 4 Calcula el flujo del fluido con velocidad $latex \vec v=(x+y,xy)$ en el plano a través de los segmentos definidos por los siguientes pares de vectores. $latex (2,2), (3,5)$ $latex